Методическое пособие 699

Рис. 3.3 К решению уравнения (3.14)

Из анализа этого тригонометрического уравнения следует, что при каждом значении Bi существует бесконечное множество решений. Наиболее просто уравнение (3.14) можно решить графическим способом.

Обозначим левую часть уравнения (3.14) через y1 = ctg , а правую - через y1 = /Bi. Пересечение котангенсоиды y1 с прямой y2 дает нам значение корней характеристического

198

уравнения, т. е. (рис. 3.3).

Из рис. 3.3 следует, что мы имеем бесконечное множест-

Важно отметить, что каждому значению числа Bi отвечает своя совокупность корней уравнения (3.14).

198

Таблица 3.1

Первые четыре корня уравнения (3.14) 1, 2, 3, и 4 приведены в табл. 3.1 для различных значений числа Bi (от 0 до ).

При Bi прямая y2 = /Bi совпадает с осью абсцисс и корни уравнения будут равны:

тангенс угла наклона прямой стремится к бесконечности, при этом корни уравнения (3.14) равны:

где n = 1, 2, 3 ...

Для других конечных значений числа Bi величины n имеют промежуточные значения (см. табл.3.1).

Следовательно, каждому найденному значению корня будет соответствовать свое частное распределение температуры:

198

ристическим уравнением (3.14). Для этой последовательности чисел n справедлива формула

с помощью которой можно определить все коэффициенты An в уравнении (3.17). Для этого умножим обе части уравнения (3.17) на cos ( nx/ ) dx и затем проинтегрируем полученное соотношение по толщине пластины. Тогда

ибо все остальные слагаемые в правой части, для которых n m, обращаются в нуль. Интеграл в правой части соотношения (3.18) равен

Из уравнения (3.19) следует, что An является функцией только корня характеристического уравнения и начального распределения температуры.

Подставив полученное выражение для постоянной An в уравнение (3.16), получим окончательное выражение для температурного поля при охлаждении однородной пластины:

Уравнение (3.20) позволяет получить значение температуры в любой точке пластины для любого момента времени

198

Подставляя значение An, полученное для случая равномерного распределения температуры в пластине в начальный момент времени, в уравнение (3.20), получаем:

придать безразмерную форму. Для этого разделим правую и

следующий смысл:

0 = безразмерная температура; х/ = Х . безразмерная координата;

a / 2 = Fo - число Фурье, представляющее собой безразмерное время; Dn - безразмерный коэффициент.

С учетом последних обозначений уравнение (3.23) запишется:

129

тем меньше роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число Fo, тем члены ряда будут убывать быстрее с увеличением номера n.

Многочисленные исследования показали, что уже при Fo 0,3 ряд (3.24) становится настолько быстросходящимся, что распределение температуры достаточно точно описывается

первым членом ряда:

том этого обозначения уравнение (3.25) можно записать в следующем виде:

Величина D1 является только функцией числа Bi и заранее может быть рассчитана и табулирована. Кроме того, если рассматривать температуру для определенного значения Х = х/ , то и cos ( 1Х) является функцией Bi. Конкретно для оси

Для оси пластины произведение D1cos(0) обозначим как некоторую функцию N(Bi). Тогда уравнение (3.25) можно за-

значим как некоторую функцию P(Bi) и уравнение (3.25 ) запишется так:

Функции N(Bi) и P(Bi) в уравнениях (3.26) и (3.27) табулированы и для расчета могут быть взяты из справочников.

198

Кроме того, из уравнений (3.26) и (3.27) следует, что при заданной координате безразмерная температура является только функцией двух безразмерных параметров Bi и Fo:

X 0 f1 Bi, Foи X 1 f2 Bi, Fo .

Логарифмируя уравнение (3.26), получаем:

Аналогичное уравнение может быть получено после логарифмирования уравнения (3.27).

Из уравнения (3.28) следует, что при заданном значении координаты и при заданном Bi натуральный логарифм безразмерной температуры линейно зависит от времени. Последнее обстоятельство дает возможность представить для уравнений (3.26) и (3.27) графическое решение (рис. 3.4 и 3.5).

198

Рис. 3.4 Зависимость = f1 (Fo, Bi) для середины пластины

198

Рис. 3.5 Зависимость = f2 (Fo, Bi) для поверхности пластины

198