fd02aed

2.Поле фактического рассеяния ω = 6σ = 6 0,025 = 0,15 мм превосходит поле допуска δ = 0,1 мм; следовательно, условие обработки без брака не выполнено и появление брака возможно.

3.x = δ/2 = 0,1/2 = 0,05; t = x/σ = 0,05/0,025 = 2,0. Ф(t) = 0,4772,

что соответствует 47,72 % годных деталей для половины партии. Для всей партии количество годных деталей – 95,44 % или 286 шт.,

абракованных – 4,56 % или 14 шт.

Метод оценки точности на основе кривых распределения универсален и позволяет объективно оценить точность механической обработки, сборочных, контрольных и других операций. Недостаток метода – невозможность выявить изменение изучаемого параметра во времени, т. е. последовательности обработки заготовок, что не позволяет осуществить регулирование хода технологического процесса. Кроме того, переменные систематические погрешности нельзя отделить от случайных; это затрудняет выявление и устранение причин погрешностей. От этих недостатков свободен метод статистического регулирования технологического процесса.

1.9.2. Усеченное нормальное распределение

Усеченное нормальное распределение случайной величины – это такое распределение, для которого в крайних областях (х < а, х > b) плотность распределения принимается равной нулю; при этом усеченное распределение принимает вид

Из условия нормировки

следует формула для коэффициента

где F − функция основного (не усеченного) распределения. Указанные распределения представлены на рис. 1.18.

51

f (x)

f (x)

f (x)

Рис. 1.18. Плотность усеченного распределения

Приведем основные формулы для усеченного распределения:

Вэтих формулах x и σ относятся к основному распределению.

Вчастном случае для описания распределения положительных

случайных величин (при х < 0, f (х) = 0) формулы усеченного нормального распределения при а = 0 и b = ∞ имеют следующий вид:

52

1.9.3. Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов элементов и систем. Для экспоненциального распределения основные параметры задаются уравнениями:

где λ − параметр распределения, являющийся строго положительной константой.

Среднее значение х и среднеквадратическое отклонение σ экспоненциального распределения совпадают и равны обратному значению параметра х = σ = λ–1. Графики функций F(х) и f (х) приведены на рис. 1.19. Отличительной особенностью экспоненциального распределения является то, что интенсивность отказов λ(х) постоянна, т. e. не зависит от аргумента (значения случайной величины).

Основное свойство экспоненциального закона состоит в том, что при нем вероятность безотказной работы на данном интервале не зависит от времени предшествующей работы, а зависит от длины интервала. Это значит, что будущее поведение элемента не зависит от прошлого, если в данный момент он исправлен.

53

Применимость экспоненциального закона зависит в основном от характера отказов. Как уже сказано, внезапные отказы случайного характера хорошо описываются экспоненциальным законом, но отказы, связанные с износом, не следуют этому закону. Если учитывается сезонная нестационарность потока отказов, то поток отказов не будет простейшим и экспоненциальный закон неприменим. Аналогичное запрещение накладывается в случае учета начальных отказов.

1.9.4. Распределение Эрланга

Это распределение при х > 0 задается следующими формулами:

где λ и l – параметры распределения, причем параметр λ строго по-

ложителен, а l – целое положительное число.

Следует помнить, что частным случаем распределения Эрланга является экспоненциальное распределение (при l = 1). Случайную величину X, имеющую распределение Эрланга с параметрами λ и l, можно интерпретировать как сумму взаимно независимых случайных величин X1, Х2, ..., Хl, имеющих экспоненциальное распределение с параметром λ:

54

Среднее значение x и среднеквадратическое отклонение σ распределения Эрланга определяются по формулам:

Графики плотности распределения f(х) при разных значениях l представлены на рис. 1.20. Интенсивность отказов λ(х) в данном случае монотонно возрастает.

С ростом значения параметра l распределение Эрланга стремится к нормальному распределению. Это ясно из содержания центральной предельной теоремы теории вероятностей и представления по формуле (1.44). Поэтому при больших значениях l можно считать:

1.9.5. Логарифмически нормальное распределение

Случайная величина Х имеет логарифмически нормальное распределение, если ее натуральный логарифм 1nХ имеет нормальное распределение, параметры которого обозначим xн и σн . Основные

характеристики этого распределения имеют следующий вид:

Среднее значение xн и дисперсия σн2 выражаются с помощью параметров распределения по формулам:

x = exp {xн + 0,5 σн2 }; σ2 = [exp (σн2 )−1]exp (2 xн + σн2 ). (1.49)

На рис. 1.21 изображены графики функций f(x) и λ(х). Характерной особенностью логарифмически нормального распределения является то, что интенсивность отказов λ(х) вначале увеличивается, а потом уменьшается (рис. 1.21, б).

55

Работать с логарифмически нормальным распределением удобнее, если свести его к хорошо известному нормальному распределению. Для этого следует рассматривать не случайную величину X, а ее логарифм 1n X.

Рис. 1.21.

Графики плотности f (x) (а) и интенсивности отказов λ(x) (б) логарифмически нормального распределения

1.9.6. Распределение Вейбулла

Это распределение характеризуется следующими формулами:

где ν иμ − параметры распределения, причем ν, μ > 0. Следовательно, в данном случае интенсивность отказов про-

порциональна величине наработки х (рис. 1.22). Частными случаями этого распределения являются экспоненциальное распределение (при μ = 1) и распределение Релея (при μ = 2).

56

57

то распределение действительных размеров партии деталей подчиняется закону равной вероятности.

Например, при установившемся износе режущего инструмента уменьшение его размеров во времени подчиняется прямолинейному закону, что соответственно увеличивает (при обработке валов) или уменьшает (при обработке отверстий) диаметры обрабатываемых заготовок. Тогда в момент времени t1 вал будет иметь размер а, в момент времени t2 − b. Естественно, что изменение размеров обрабатываемых заготовок тоже происходит по закону прямой линии.

При изменении случайной величины X в интервале от a до b плотность f(x) постоянна и равна с; вне этого интервала она равна нулю. Поскольку площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице,

Функция распределения (рис. 1.24) и интенсивность отказов (см. рис. 1.23) имеют вид:

Вычислим математическое ожидание и дисперсию:

58

Определяем среднее квадратическое отклонение и поле рассеяния:

Коэффициент асимметрии Sk = 0 (распределение симметрично). Для определения коэффициента эксцесса найдем четвертый центральный момент:

С таким законом распределения хорошо согласуется погрешность от трения в опорах электромеханических приборов, погрешность дискретности в цифровых приборах и др. Равномерное

59

распределение наиболее характерно для неисключенных систематических погрешностей. Если отсутствуют данные о виде распределения систематической погрешности, то они принимаются равномерными, т. к. оцениваются границами (пределами) допускаемых погрешностей.

1.9.8. Закон Релея (эксцентриситета)

Распределение таких существенно положительных величин, как эксцентриситет, биение, разностенность, непараллельность, неперпендикулярность, овальность, конусообразность – характеризуется их абсолютными значениями (без учета знака), подчиняется закону распределения эксцентриситета (закон Релея).

x

O2

Rс

y

Rс

O1 x

Рис. 1.25. Образование эксцентриситета (радиус-вектора R) втулки 1 при ее обработке на цилиндрической оправке 2

при наличии зазора между оправкой и отверстием втулки

Распределение по закону Релея формируется тогда, когда случайная величина Rс представляет собой геометрическую сумму двух случайных величин Х и У (рис. 1.25), т. е.

каждая из которых подчиняется закону Гаусса.

60