fd02aed

Интенсивность отказов λ122 и интенсивность восстановления μ122 являются искомыми интенсивностями отказов λс и восстановления μс. Другие характеристики системы:

3. Вероятность безотказной работы системы за определенный интервал времени t

P(t) = exp[–(λct] = 1,087·10–4. 4. Коэффициент готовности системы

По значению коэффициента готовности системы можно судить о работоспособности проектируемого объекта. Данную подстанцию можно считать надежной, т.е. способной выполнить требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания и ремонтов.

3.3.5. Надежность сложных структур

Реальные технические системы не всегда представляют собой совокупность последовательно и параллельно соединенных элементов. Существуют и более сложные структуры, например так называемая мостиковая схема (рис. 3.26, а). В этой структуре элементы соединены таким образом, что ее дальнейшее упрощение невозможно.

Существуют некоторые группы элементов, одновременный отказ которых приводит к разрыву всех путей, связывающих вход и выход структуры. Набор элементов, отказ которых приводит к отказу (т.е. разрыву всех связей между входом и выходом), в теории надежности называется сечением. Если выявить все сечения, содержащиеся в исследуемой структуре, и определить их надежность, то можно определить надежность всей структуры.

221

В структуре, представленной на рис. 3.26, а, сечения образуют наборы элементов: 1,2; 3,4; 1,2,5; 1,3,4; 1,4,5; 2,3,4; 2,3,5; 3,4,5; 1,2,3,4; 1,2,3,5; 1,2,4,5; 2,3,4,5; 1,2,3,4,5.

Чем сложнее структура, чем больше в ее составе элементов, тем труднее выявить все содержащиеся в ней сечения. Так, чтобы выявить все сечения структуры на рис. 3.26, а, потребовалось бы просмотреть 32 различных сочетания элементов. В общем случае

для структуры, содержащей n элементов, потребуется рассмотреть 2n – 1 сочетаний.

Среди множества сечений сложных структур имеются такие, которые образованы минимальным набором элементов – это мини-

мальные сечения.

а б

Рис. 3.26. Мостиковая схема (а) и минимальные сечения (б)

Минимальное сечение – это такой набор элементов в структуре, при котором система неисправна, если неисправны все элементы этого набора; исключение любого элемента из набора переводит систему в исправное состояние.

Для структуры, представленной на рис. 3.26, а, минимальными сечениями являются 1,2; 3,4; 1,4,5; 2,3,5. Если убрать в любом из этих наборов хотя бы по одному элементу, оставшийся набор уже не будет сечением.

В теории надежности выполнены исследования, которые доказывают, что надежность последовательно соединенных минимальных сечений структуры определяет нижнюю границу ее надежности. Причем, чем надежнее элементы, входящие в систему, тем точнее надежность совокупности минимальных сечений S отражает надежность всей структуры. Считаем с достаточной степенью точности, что для высоконадежных структур при соблюдении соотношения

222

надежность последовательно соединенных минимальных сечений является надежностью всей структуры.

Таким образом, приведенную на рис. 3.26, а структуру можно преобразовать в схему последовательно соединенных минимальных сечений, каждое из которых является параллельным соединением на рис. 3.26, б.

Пример 3.11. Определить надежность схемы на рис. 3.26, а, элементы которой имеют следующие показатели надежности:

Решение. Проверим, соблюдается ли условие (3.61) для приведенных показателей надежности:

Условие 3.61 соблюдается, поэтому надежность минимальных сечений соответствует надежности всей схемы.

Для преобразованной структуры (см. рис. 3.26, б) определим показатели надежности минимальных сечений. Элементы 1, 2 (эк-

вивалентный 6) по (3.20) и (3.21):

ω6 = ω1ω2 (Тв1+ Тв2)8760–1 = 0,753·10–3 год–1; Тв6 = Тв1 Тв2(Тв1+ Тв2) –1 =3,03 ч;

элементы 3, 4 (эквивалентный элемент 7):

ω7 = ω3ω4 (Тв3+ Тв4)8760–1 = 5,993·10–3 год–1;

223

Тв7 = Тв3 Тв4(Тв3+ Тв4) –1 =6,67 ч;

элементы 1, 4, 5 (элемент 8) по формулам (3.15, б) и (3.16):

ω8 = ω1Тв1ω4 Тв4 ω5 Тв5 (Тв1–1+ Тв4–1+ Тв5–1)87601–3 = 1,8·10–6 год–1; Тв8 = (Тв1–1+ Тв4–1+ Тв5–1) = 2,4 ч;

элементы 2, 3, 5 (элемент 9):

ω9 = ω2Тв2ω3 Тв3 ω5 Тв5 (Тв2–1+ Тв3–1+ Тв5–1)87601–3 = 370·10–6 год–1;

Тв9 = (Тв2–1+ Тв3–1+ Тв5–1) = 5,08 ч.

Окончательно показатели надежности структуры по последовательно соединенным элементам 6, 7, 8, 9:

ωсs = ω6 + ω7 + ω8 + ω9 = 7117·10–6 = 7,1·10–3 год–1; Твсs = (ωсs) –1 (ω6 Тв6+ ω7 Тв7+ ω8 Тв8+ ω9 Тв9) = 6,2 ч.

3.3.6. Выбор минимальных сечений

Для структуры, представленной на рис. 3.26, несложно показать, какие сечения являются минимальными. Однако если число элементов и их связей будет достаточно велико, то выбор минимальных сечений – трудоемкий процесс – число возможных сочетаний элементов возрастает по степенной зависимости.

Рассмотрим метод направленного выбора минимальных сечений, использующий элементы теории графов. Структура представляется в виде замкнутого графа, имеющего один вход А и один вы-

ход Е (рис. 3.27, а).

Замкнутым называется граф, не содержащий элементы, по которым не проходит ни один путь, связывающий вход графа с выходом. Ребрами такого графа служат элементы, надежность которых известна.

Пусть имеется граф, содержащий m ребер и M вершин. Разорвем ребра графа так, чтобы часть вершин N была присоединена только к входу графа, а остальные M–N вершин – к выходу графа

224

(рис. 3.27, б). Этим самым нарушена связь между входом и выходом графа и образованы две структуры, называемые деревьями: N- дерево (дерево, содержащее N вершин) и M–N-дерево. При этом «оборванные» ребра образуют минимальные сечения. На рис. 3.27, б минимальное сечение образуют элементы 3, 5, 6.

а б

Рис. 3.27. Структура схемы в виде замкнутого графа

Таким образом, задача поиска минимальных сечений сводится к задаче построения возможных деревьев графа. Для этого к одной из вершин графа (входу или выходу) последовательно присоединяются одна за другой вершины, непосредственно связанные с предыдущим деревом.

Алгоритм определения минимальных сечений

1.Составляется матрица непосредственных связей вершин – ребер графа.

2.Составляется массив N-деревьев графа последовательным присоединением к Ni-дереву вершин, непосредственно связанных

содной из вершин, уже принадлежащих Ni–1-дереву.

3.Для каждого Ni-дерева выбираются сечения.

4.Составляется массив сечений, из которого выбираются минимальные.

Пример 3.12. Определить минимальные сечения, содержащиеся в структуре, представленной на рис. 3.27, а.

225

с ребрами 1, 2, 3; вершина В – с ребрами 1, 4, 6 и т. п. Матрица связей для рассматриваемого графа будет иметь вид:

2. Составляется массив N-деревьев.

Первое N1-дерево – вершина А. Затем к ней непосредственно присоединяются три вершины В, C, D, являющиеся последующими N-деревьями AB, AC, AD. Далее к дереву АВ присоединяется вершина D, поскольку она связана с одной из вершин N2-дерева, а именно А. Тогда получим N3-дерево ABD. Кроме того, к N2-дереву присоединяется вершина С и т. д., пока не будут рассмотрены все вершины, за исключением Е – выхода графа (если вершину Е присоединить к N-дереву, то образуется связанная структура).

Таким образом, определяется массив N-деревьев графа:

A, AB, AC, AD, ABC, ABD, ACD, ABCD.

3. Для каждого Ni-дерева определяются сечения. По матрице ребра – вершины в столбик выписываются все ребра, непосредственно связанные с вершинами N-деревьев (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Массив N-деревьев графа

226

4. Выбираются минимальные сечения из множества полученных сечений. Для этого все сечения представляются в порядке возрастания числа элементов и уточняется, не содержатся ли в сечениях с большим числом элементов сечения с меньшим числом элементов. Так, сечение, образованное деревом ABD = 24567, содержит сечение, образованное деревом ABCD = 67. Поэтому сечение 24567 исключается. Оставшиеся сечения являются минимальными. Для приведенного примера минимальные сечения: 67, 123, 147, 356, 1345, 2346. Других минимальных сечений в графе не содержится.

Иногда приходится рассматривать структуры, в которых заданы направления по ребрам графа. Такое ориентирование ребер может наблюдаться, например, когда задается направление протекания электрического тока. В этом случае выбор минимальных сечений имеет свои особенности.

При составлении матриц непосредственных связей ребра, которые входят в вершину, отмечаются знаком «–»; ребра, которые выходят из вершины – знаком «+». В таблице N-сечений (аналогичной табл. 3.3) ребра, входящие в совокупность ребер N – четное число раз, независимо от присвоенного им знака, вычеркиваются. Кроме того, вычеркиваются также ребра, входящие в совокупность ребер N-дерева со знаком «–».

Многие реальные объекты имеют такую структуру соединения (или взаимодействия) элементов, которая не может быть сведена ни к последовательно-параллельной, ни к параллельно-последова- тельной схеме.

Наиболее простой пример подобных объектов (так называемая мостиковая схема) приведен на рис. 3.3, б. В общем случае такие объекты могут представлять собой сети очень сложной конфигурации. На практике к подобным объектам можно отнести различные системы связи, информационные системы, системы управления территориально разнесенными устройствами и т. п. Для расчета надежности таких объектов может быть предложено несколько способов. Рассматриваемый здесь метод перебора состояний не является простейшим для некоторых конкретных схем, однако его всегда можно применить, и он позволяет рассмотреть влияние различных видов отказов на работу объекта.

Метод состоит в том, что рассматриваются все взаимоисключающие способы появления отказов в объекте. Применение этих методов покажем на типовых примерах расчета.

227

3.4. Расчет надежности мостиковой структуры

На практике встречаются системы, в которых схемы соединения элементов в надежностном смысле не могут быть сведены к по- следовательно-параллельным. Это системы, содержащие так называемые мостиковые схемы, т. е. системы, содержащие элементы типа «треугольник» и «звезда». Такие схемы встречаются, например,

всхемах электрических соединений подстанций и распределительных устройств.

Имеется ряд методов, позволяющих приближенно рассчитывать надежность таких систем. К ним относятся: метод перебора возможных состояний схемы, метод преобразования треугольника

взвезду и обратно, приближенный метод исключения элементов.

3.4.1. Метод перебора возможных состояний

Найдем выражение для вероятности безотказной работы мостиковой схемы, изображенной на рис. 3.3, б. Будем считать, что все элементы схемы равнонадежны и могут иметь один вид отказа типа обрыва. Обозначим вероятность безотказной работы элемента схе-

мы Р (t) = P .

Рассмотрим возможные состояния схемы и соответствующие им вероятности. Поскольку каждый элемент схемы может находиться в одном из двух несовместных состояний (работоспособном или неработоспособном), общее число возможных состояний схемы будет равно kс = 2n = 25 = 32, где k с – число возможных состояний схемы; n – число элементов схемы.

Число возможных состояний схемы можно вычислить и другим способом. Так, если N – общее число элементов схемы, а x – число рассматриваемых отказавших элементов, то число сочетаний из N по x

есть число возможных состояний схемы с x отказавшими элементами из N. Например, для N = 5 и x = 2 имеем C52 = 10 возможных со-

стояний схемы с двумя отказавшими элементами, а общее число различных состояний схемы равно

228

N

kc = ∑ CxN = 2N .

x=0

Для удобства дальнейшего анализа надежности схемы сведем все ее возможные состояния в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Возможные состояния мостиковой схемы

229

Окончание табл. 3.4

Располагая всеми возможными состояниями схемы, выделим те из них, которые соответствуют ее неработоспособному состоянию. Для этого, используя табл. 3.4 и рис. 3.3, б, проанализируем влияние на работоспособность схемы числа ее отказавших элементов. При x = 0 и x = 1 все состояния схемы работоспособны. При x = 2 из 10 возможных состояний 8 − работоспособны, а 2 – неработоспособны. При x = 3 число работоспособных состояний равно 2,

230