fd02aed

Зависимости основных количественных характеристик надежности для распределения Релея приведены на рис. 2.13. Из формулы для интенсивности отказов видно, что эта интенсивность растет линейно с течением времени. Поэтому распределение Релея применимо для описания характеристик надежности объектов с явно выраженным эффектом старения, например электровакуумных приборов.

141

Пример 2.15. Время работы изделия до отказа (например, некоторых электровакуумных приборов) подчиняется закону распределения Релея. Требуется вычислить количественные характеристики надежности изделия P(t), a(t), λ(t), Т1* для t = 500, 1000, 2000 ч, если параметр распределения σ =1000 ч.

Решение.

1. По формуле (2.59) определяем вероятность безотказной работы для t = 500 ч:

P(500) = exp(–5002/(2·10002) = 0,88.

По формуле (2.58) определим частоту отказа:

a(500) = 500/10002exp(–5002/(2·10002) = 0,44·10–3 ч–1.

По формуле (2.60) определим интенсивность отказа:

λ(500) = 500/10002 = 0,5·10–3 ч–1.

По формуле (2.61) определим среднее время до отказа:

Т1 = 1000 · π2 = 1253 ч.

2. Аналогично определим параметры надежности для t = 1000 ч:

P(1000) = exp(–10002/(2·10002) = 0,606;

a(1000) = 1000/10002exp(–10002/(2·10002) = 0,606·10–3 ч–1; λ(1000) = 1000/10002 = 10–3 ч–1.

3. t = 2000 ч:

P(2000) = exp(–20002/(2·10002) = 0,1353; a(2000) = 2000/10002exp(–20002/(2·10002) = 0,27·10–3 ч–1.

λ(2000) = 2000/10002 = 2·10–3 ч–1.

Из примера видно, что данные электровакуумные приборы имеют низкую надежность и практически могут работать в течение времени t < 500 ч.

142

Гамма-распределение используется при оценке надежности объектов в начальный период эксплуатации, при исследовании надежности электромеханических объектов, высоконадежной электронной аппаратуры с интенсивностью отказов, уменьшающейся во времени. Оно описывает также распределение времени отказов объектов, резервированных способом замещения, если наработка на отказ основного и резервного объектов следует экспоненциальному закону.

Плотность гамма-распределения задается выражением

при целом k. При k > 1 гамма-распределение является распределением суммы k независимых случайных величин, каждая из которых имеет экспоненциальное распределение с параметром λ0 =1T1 .

Для такого распределения

143

ческое ожидание числа отказов n на интервале времени, равном t,

составит n = λ0t.

Параметр формы k характеризует асимметрию и эксцесс гаммараспределения. В зависимости от его величины существенно изменяется вид основных количественных характеристик надежности. Зависимости f (t), λ(t) и P(t) приведены на рис. 2.14, из которого видно, что при k = 1 гамма-распределение превращается в экспоненциальное распределение. При k >1 интенсивность отказов возрастает, а при k < 1 – убывает.

Рис. 2.14. Зависимости λ (t), f (t), P (t) для гамма-распределения

144

Пример 2.16. Наработка некоторого элемента до отказа имеет гамма-распределение с параметрами k = 3 и λ0 = 0,05. Определите вероятность безотказной работы элемента и интенсивность отказов при наработке, равной 24 ч.

Решение. Используя формулу (2.64), определяем

С помощью формулы (2.63) вычисляем

По формулам (2.65), (2.66) получаем

При исследовании характеристик надежности полупроводниковых приборов, при ускоренных испытаниях объектов в форсированных режимах, при анализе надежности объектов в период приработки используется распределение Вейбулла. Модель надежности Вейбулла, называемая также моделью Вейбулла–Гнеденко, была предложена шведским ученым В. Вейбуллом в качестве модели прочности материалов, а затем обоснована математически советским ученым Б. В. Гнеденко. Плотность распределения наработки до отказа в этом случае определяется выражением

145

Параметр λ0 задает масштаб кривой по оси абсцисс, а пара-

метр k – асимметрию и эксцесс распределения. Ориентировочно значение k = 0,2…0,4 для электронных устройств с убывающей функцией интенсивности отказов и k =1,2…1,4 для механических устройств с возрастающей функцией интенсивности отказов.

Для распределения Вейбулла основные количественные характеристики надежности выражаются следующими формулами:

где Г− гамма-функция.

Дисперсия времени безотказной работы

λk0

Зависимости основных количественных характеристик надежности от времени приведены на рис. 2.15. Из рисунка видно, что при k = 1 распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение. При k > 1 интенсивность отказов начинается с нуля и с течением времени возрастает. При k < 1 интенсивность отказов начинается с +∞ и в области больших t стремится к нулю. При соответствующем подборе параметра k можно с помощью закона Вейбулла описывать надежность и стареющих элементов,

146

у которых λ0(t) возрастает, и надежность элементов, имеющих скрытые дефекты, у которых λ0(t) убывает с течением времени. Закон Вейбулла очень удобен для вычислений, но связан с эмпирическим подбором параметров λ0 и k для имеющейся зависимости λ0(t).

Пример 2.17. Наработка некоторого элемента до отказа имеет распределение Вейбулла с параметрами k = 4, в интервале времен от 1000 до 2000 ч. Найти вероятность безотказной работы элемента и интенсивность отказов при наработке, равной 1500 ч.

Решение. Подставляя заданные значения в формулу (2.68), получаем

147

Пример 2.18. Время безотказной работы устройства подчиняется закону Вейбулла с параметрами k = 1,5 λ0 = 10–4 ч–1, время работы t = 100 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности устройства.

Решение. Определим вероятность безотказной работы по фор-

муле (2.68)

Р(100) = exp(–10–4·1001,5) = 0,9.

Частота отказов определяется по формуле (2.67):

а(100) = 10–4·1,5·1000,5·0,9 = 1,35·10–3 ч–1.

Интенсивность отказов определяем по формуле

Вычислим среднюю наработку до первого отказа по формуле (2.70). Вычислим вначале значение гамма-функции. В нашем случае х = (1/k)+1 = (1/1,5)+1 = 1,67, тогда Г(х) = 0,9033. Подставляя значение Г(х) и параметры распределения λ и k в выражение для Т1, получим

Т1 = 0,9033/(10–4)1/1,5 = 418 ч.

Пример 2.19. Определить вероятность безотказной работы устройства для экспоненциальной модели и модели Вейбулла через 105 ч работы при условии, что Р = 0,99 за время работы t = 1000 ч.

Решение. В случае экспоненциальной модели интенсивность отказов λ = 10–5 ч–1.

148

В случае модели Вейбулла при k = 0,5 λ0 = –lnP(t)/tk = 0,000316. Следовательно, через 105 ч работы вероятность безотказной ра-

= exp(–0,000316·102,5) = 0,905. Следовательно, выбор правильной модели надежности не безразличен для практики.

Выбор модели надежности – сложная научно-техническая проблема. Она может быть удовлетворительно решена стандартными методами математической статистики, если имеется большой статистический материал об отказах исследуемых объектов. В случае приближенных оценок часто выбирается экспоненциальная модель как наиболее удобная с точки зрения аналитических преобразований. Экспоненциальную модель рекомендуется применить при выполнении расчетов надежности в случае отсутствия других исходных данных для расчета, кроме интенсивности отказов. В случае наличия более полных исходных данных целесообразно пользоваться другой, более точной моделью, например моделью Вейбулла.

На этом заканчивается нахождение распределений наработки до отказа и соответствующих им вероятностей безотказной работы и интенсивностей отказов.

2.6. Построение эмпирической функции распределения

Предполагается, что известен закон распределения времени работы элемента до отказа

F (t)= P{T1 ≤ t},

где T1 − случайная наработка до первого отказа; F(t) – функция распределения времени работы до первого отказа.

Если функция F(t) задана в ступенчатом виде (рис. 2.16), то среднее время наработки до отказа определится по формуле

i =0

149

Таблица 2.7

Результаты испытаний

150