fd02aed
.pdfПоказатели безотказности, например для промышленных приборов и средств автоматизации, рекомендуется устанавливать при следующих условиях:
•температура окружающего воздуха – 25+10 ºС;
•относительная влажность – 45…80 %;
•барометрическое давление – 630…800 мм рт. ст.;
•отклонение напряжения питания – от +10 до –15 %;
•частота переменного тока (питания) – 50 ± 1 Гц, 400±12 Гц;
•внешние воздействия – в пределах норм, оговоренных ТУ. Для дифференцируемой функции Q(t) можно получить плот-
ность распределения времени (дифференциальный закон распределения):
f (t)= |
d Q (t) |
|
= − |
d P (t) |
, |
(2.10) |
|
d t |
d t |
||||||
|
|
|
|
||||
где f(t) − плотность распределения времени безотказной работы объекта. Статистически f(t) определяется отношением числа отказавших в единицу времени объектов к количеству работоспособных объектов в момент времени t = 0:
f (t) = |
n (t + t)−n (t) |
= |
n( t) |
, |
(2.11) |
|
N |
N |
|||||
|
|
|
|
где n (t + t) − количество объектов, отказавших к моменту времени t + t ( t << t).
Частотой отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к первоначальному числу испытываемых изделий при условии, что все вышедшие из строя изделия не восстанавливаются.
Согласно определению частота отказов
|
|
a (t)= n( t)/ N t, |
(2.12) |
где n( |
t) |
– число отказавших образцов |
в интервале времени |
от t – |
t/2 |
до t + t/2. |
|
101
Частота отказов есть плотность вероятности (или закон распределения) времени работы изделия до первого отказа. Поэтому
|
|
t |
|
′ |
′ |
Q(t) = ∫a(t)dt, |
|
a(t)= −Р (t)= Q (t), |
|
||
|
|
0 |
|
|
t |
|
|
P(t)=1− ∫a(t)dt. |
(2.13) |
||
0
Частота отказов − величина положительная, т. к. Q(t) – неубывающая функция. Площадь, ограниченная кривой частоты отказов, равна единице, потому что
∞
∫a(t) dt = Q(t)tt==∞0 =1 .
0
|
λ(t) |
|
|
|
a(t) |
|
|
1 |
2 |
3 |
t |
Рис. 2.3. Кривые частоты a(t) и интенсивности λ(t) отказов |
|||
Конкретный вид кривой может быть различным для разных видов аппаратуры.
Типичный, часто встречающийся вид кривой частоты отказов показан на рис. 2.3. Кривая имеет три явно выраженных участка.
Первый участок – это так называемый более или менее короткий период приработки аппаратуры. Непосредственно после включения изготовленной аппаратуры проявляются скрытые дефекты производства, не обнаруженные техническим контролем. Частота
102
отказов на первом участке велика, но постепенно снижается, т. к. большая часть дефектов обнаруживается после начала эксплуатации.
Второй участок соответствует длительному периоду времени нормальной эксплуатации аппаратуры. Частота отказов здесь невелика и медленно снижается и обусловлена в основном нарушениями правил эксплуатации и внезапными перегрузками.
Третий участок – период аварийных отказов соответствует периоду старения и износа аппаратуры; из-за изменения (ухода) внутренних параметров устройства частота отказов повышается. В этот период в основном имеют место постепенные отказы, возникающие вследствие накопления ухудшений физико-химических свойств объекта. В конце третьего участка частота отказов снова снижается, т. к. вероятность безотказной работы к этому времени очень мала.
Долговечность системы определяется началом периода аварийных отказов. Практический интерес представляет рассмотрение «жизни» системы на интервалах времени, не превышающих ее долговечность. При этом, если на предприятии-изготовителе производится предварительная приработка, а период эксплуатации отсчитывается от момента поступления к потребителю, то эксплуатационный ресурс еще уменьшается.
В связи с постоянным повышением качества аппаратуры, особенно радиоэлектронной, длительность второго участка кривой для многих изделий увеличивается. Практически за все время эксплуатации до морального старения аппаратура не успевает выйти на третий участок.
Для основных элементов систем электроснабжения период приработки длится до 3…5 лет. Процессы старения и износа проявляются для воздушных линий (ВЛ) на опорах из пропитанной древесины через 15…20 лет после ввода в эксплуатацию, для трансформаторов и КЛ – через 20…30 лет (в первую очередь, за счет старения изоляции). Старение и износ коммутационной аппаратуры наступает через 40…50 лет. Обычно эта аппаратура устаревает раньше морально, нежели физически. В основном элементы СЭС высоконадежны. Время их безотказной работы значительно превышает время восстановления.
103
f (ty1) |
f (ty2) |
λ(t1)
0 |
t1 |
t2 |
t |
Рис. 2.4. Кривые интенсивности отказов в различные моменты времени
Интенсивность отказов λ(t) с позиций теории вероятностей вводится следующим образом (рис. 2.4). Предположим, что устройство исправно проработало в течение времени t1. Очевидно, что время его дальнейшей работы до отказа τу1 есть случайная величина, имеющая свою плотность распределения f(tу1).Эта плотность, вычисленная в момент времени t = t1, обозначается λ(t1).
Далее предположим, что устройство проработало время t2, повторим рассуждения и вычислим λ(t2). Меняя время t от 0 до ∞ , можно таким образом построить плавную кривую интенсивности отказа λ(t) (см. рис. 2.3).
Интенсивность отказов λ (t) определяется по формуле
λ (t)= |
|
|
f (t) |
|
= − |
1 |
|
|
d P (t) |
, |
(2.14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
−Q (t) |
P (t) |
d t |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
т. е. интенсивность отказов представляет собой условную плотность распределения времени безотказной работы в момент времени t при условии, что до этого момента времени отказ не наступил.
Статистически интенсивность отказов в момент времени t определяется отношением числа n( t) отказавших в единицу време-
ни объектов к числу Nр(t) работоспособных объектов в момент времени t:
104
λ (t)= |
n(t + t)− n(t) |
= |
n( t) |
|
||
|
|
|
, |
(2.15) |
||
[N − n(t)] t |
Nр(t) t |
|||||
где величина [N − n (t)] |
представляет собой число объектов Np(t), |
|||||
работоспособных в момент времени |
t; Np(t) = (Ni+Ni+1)/2; Ni |
– чис- |
||||
ло изделий, исправно работающих в начале интервала t; |
Ni+1 − |
|||||
число изделий, исправно работающих в конце интервала. |
|
|||||
Формула (2.15) есть статистическое определение интенсивности отказов. Вероятностная оценка этой характеристики находится из выражения
λ(t) = a(t)/P(t). |
|
|
|
|
(2.15, а) |
|||||
Представим соотношение |
(2.14) |
в виде |
λ (t)d t = −dP(t) P(t) |
|||||||
и проинтегрируем его в пределах от 0 до t: |
|
|
|
|||||||
t |
|
|
t |
|
d P(t) |
|
|
|
||
− ∫λ(t)dt = ∫ |
|
|
|
. |
|
|
||||
|
P(t) |
|
||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
d P(t) |
|
|||
|
|
|
|
|
t |
= lnP(t), получаем |
||||
Учитывая, что табличный интеграл ∫ |
|
|
||||||||
P(t) |
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∫λ(t)dt = lnP(t). |
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||
P (t)= exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.16) |
|
− |
∫ |
λ (t)d t . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула (2.16) устанавливает связь между вероятностью безотказной работы за время t и интенсивностью отказов и отражает тот факт, что при любом характере изменения λ (t) величина Р(t)
будет тем меньше, чем больше значениеλ (t). Это выражение ино-
гда называют общим законом надежности, который применим для любых потоков отказов невосстанавливаемых объектов.
При расчете вероятности безотказной работы по λ-харак- теристикам среднее квадратическое отклонение равно:
105
• для i-й детали σpi (t) ≈ λi ;
n
• для j-й сборочной единицы σp j (t ) = ∑σ2pi (t ) ;
i =1
k
• для изделия в целом σp(t) = ∑σ2p j (t) .
j =1
(2.17)
При отсутствии данных о надежности элементов в фактических условиях хранения, транспортирования λ принимает следующие соотношения пересчета интенсивности отказов:
λхр=10–3λр, λр.тр=1,5λр, λхр.тр=λхр,
где λр, λхр, λтр – интенсивность отказов элемента соответственно при работе, хранении и транспортировании.
Пример 2.2. Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна λ1 = 0,16·10–3 ч–1 = const. Интенсивности отказов двух электромеханических устройств нелинейно зависят от времени и определяются следующими формулами:
λ2 = 0,223·10–4 t ч–1, λ3 = 0,06·10–6 t2,6 ч–1.
Необходимо рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 ч.
Решение. На основании формулы (2.16) имеем:
P (t)= exp |
|
N |
|
t |
|
|
|
− |
∑∫λi (t) |
||||||
|
|
|
i =1 0 |
|
|
||
P (t)= exp |
|
|
|
|
|||
|
− λ t |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для t = 100 ч |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
10 |
−3 |
100 |
||
P (t) = exp − 0,16 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
t |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= exp − ∫λ1dt + ∫λ2dt |
+ ∫λ3dt , |
|||||||||||
dt |
|||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
t |
3,6 |
|
||
+ 0,23 10−4 |
|
|
+ 0,06 10−6 |
|
|
. |
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3,6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 1002 |
|
−6 |
1003,6 |
||||||||
+ 0,23 10 |
|
|
|
|
|
+ 0,06 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3,6 |
≈ 0,67 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.3. На испытание поставлено N = 400 изделий. За время t = 3000 ч отказало n(t) = 200 изделий, за интервал времени
106
∆t = 100 ч отказало n(∆t) = 100. Требуется определить Р*(3000),
Р*(3100), Р*(3050), а*, λ*.
Решение:
1. По формуле (2.6) найдем вероятность безотказной работы: для tн = 3000 ч (начало интервала)
P *(3000)=1− n(3000N ) =1− 200400 = 0,5 ;
для tк = 3100 ч (конец интервала)
P* (3100)=1− n(3100N ) =1− 300400 = 0,25 .
Определим среднее число исправно работающих изделий в интервале ∆t:
|
Np = |
Ni + Ni+1 |
= |
200 +100 |
=150 . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Число отказавших изделий за время t = 3050 ч |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
n(3050) = N–Nр = 400–150 = 250. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
n(3050) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P* (3050)=1 |
− |
=1 |
− 250 = 0,375 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 |
|
|
|
|
|
||||
2. По формуле (2.12) определяем частоту отказа: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
a* = |
n( |
t) |
= |
100 |
|
= 2,5 10−3 ч–1. |
|
|
|
|
|||||||||
|
N |
t |
|
400 100 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. По формуле (2.15) определяем интенсивность отказа: |
|
|
||||||||||||||||||
* |
(3050) = |
n( t) |
|
|
|
100 |
|
|
= 6,7 10 |
−3 |
|
–1 |
|
|||||||
λ |
|
|
= |
|
|
|
ч |
|
. |
|||||||||||
Np (t) |
t |
|
(200 +100) |
2 100 |
|
|
||||||||||||||
Интенсивность отказа можно также определить по формуле
(2.15, а):
|
(3050) = |
a (3050) |
0,0025 |
= 6,7 10 |
−3 |
|
–1 |
|
|
λ |
|
= |
|
|
ч |
|
. |
||
P (3050) |
0,375 |
|
|
||||||
107
Средняя наработка до отказа − это математическое ожидание наработки объекта до первого отказа. Средняя наработка до отказа Т1 определяется по формуле
∞
T1 = ∫t f
0
∞
(t)d t = ∫
0
|
d P (t) |
||
t − |
|
d t . |
|
d t |
|||
|
|
||
Интегрируя это выражение по частям, получим
|
T1 = −[t P (t)] |
|
∞ |
(t)d t . |
|
||||
|
|
0∞ + ∫P |
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
[t P (t)] |
|
0∞ |
обращается |
Практически во |
всех |
случаях член |
|
||||||
|
|||||||||
в нуль, т. к. имеет |
место |
соотношение |
|
lim tP(t)= |
0, |
следующее |
|||
|
|
|
|
|
|
t →∞ |
|
||
из того, что срок службы любого объекта ограничен, и потому Р(t) быстрее стремится к нулю, чем t → ∞. Таким образом, получаем
∞ |
|
T1 = ∫P (t)d t , |
(2.18) |
0 |
|
т. е. средняя наработка до отказа численно равна площади под кривой P(t).
Статистическая средняя наработка до отказа группы однотипных объектов определяется как отношение суммарного значения наработки каждого из них до появления отказа к общему числу объектов N, работоспособных в момент t = 0:
|
1 |
n |
|
|
T1 = |
∑ti , |
(2.19) |
||
|
||||
|
N i =1 |
|
||
где ti − наработка до отказа i-го объекта.
Имея данные о количестве вышедших из строя элементов ni в каждом i-м интервале времени, среднюю наработку до отказа лучше определять из уравнения
|
|
m |
|
N . |
(2.19, а) |
T ≈ |
n t |
|
|||
1 |
|
∑ i |
срi |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
108
В выражении (2.19, а) tср i и m находятся по следующим формулам:
tср i = (ti–1+ti) / 2, m = tk / ∆t,
где ti–1 – время начала i-го интервала; ti – время конца i-го интервала; tk – время, в течение которого вышли из строя все элементы;
∆t = ti–1– ti – интервал времени.
Поскольку практически невозможно осуществить испытания всех элементов до отказа, в первом приближении при большом числе N среднюю наработку до отказа можно определить зависимостью
T ≈ |
t1 +t2 +...tN + (N − m)t |
, |
(2.19, б) |
|
|||
1 |
N |
|
|
|
|
|
где N – число элементов, поставленных на испытания; m – число отказавших элементов; t − время испытания.
Формула (2.19, б) справедлива при числе m отказавших элементов, близких к N.
Пример 2.4. На испытания поставлено N = 10 невосстанавливаемых элементов. Испытания проводились в течение времени t = 100 ч. В процессе проведения испытаний отказало 8 элементов, при этом отказы зафиксированы в следующие моменты времени:
t1 = 20 ч, t2 = 30 ч, t3 = 50 ч, t4 = 30 ч, t5 = 40 ч, t6 = 60 ч, t7 = 70 ч, t8 = 60 ч. Оставшиеся два элемента не отказали. Определить сред-
нюю наработку до отказа.
Решение. Вычислим наработку до отказа для невосстанавливаемого элемента по формуле (2.19, б):
T1 = 20 +30 + 50 + 30 + 40 + 60 + 70 + 60 + (10 −8) 100 = 56 ч. 10
Пример 2.5. Найти интенсивность отказов λ(t) и построить график изменения кривой интенсивности отказов по данным, представленным в табл. 2.1. На испытания поставлено N = 100 элементов, испытания проводились в течение времени t = 100 ч.
Для построения кривой интенсивности отказов (рис. 2.5) воспользуемся формулой (2.15):
109
λ(t) 102
2,4
1,8
1,2
0,6
0
20 |
40 |
60 |
80 |
100 t, ч |
Рис. 2.5. |
Кривая интенсивности отказов |
|
||
λ(t ) = |
|
n( |
|
t1 ) |
= |
|
|
10 |
|
=1,11 10−2 ; |
|
λ(t |
|
) |
= |
|
|
|
9 |
|
=1,11 10−2 ; |
||||||||||||
1 |
Nр(t1 ) t1 |
|
|
|
|
90 10 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
81 10 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
λ(t3 )= |
6 |
|
|
|
= 0,80 10−2 ; |
λ(t4 )= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= 0,27 10−2 ; |
||||||||||||||||||
|
75 10 |
|
73 10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
λ(t5 )= |
|
|
|
2 |
|
= 0,28 10−2 ; |
λ(t6 )= |
|
|
|
3 |
|
= 0,44 10−2 ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
71 10 |
|
68 10 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
λ(t |
7 |
) |
= |
2 |
|
|
|
= 0,33 10−2 ; |
λ(t |
)= |
|
|
|
5 |
|
|
= 0,82 10−2; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
66 10 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
61 10 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
λ(t |
9 |
)= |
9 |
|
|
|
=1,75 10−2 ; |
λ(t |
|
) |
= |
|
|
|
10 |
|
|
|
= 2,38 10−2. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
52 |
10 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
42 10 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Таблица 2.1
Исходные данные результатов испытаний
Интервал времени, t = ti – ti –1
0 … 10
10 … 20
20 … 30
30 … 40
40 … 50
Число отказов в интервале, n( ti)
10
9
6
2
2
Число N(ti) работо- |
|
|
|
|
|
|
способных элементов |
|
ti |
|
n( ti) |
|
Nр(ti) |
к моменту времени ti |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
50 … 60 |
|
3 |
|
68 |
|
|
|
||||
81 |
|
60 … 70 |
|
2 |
|
66 |
75 |
|
70 … 80 |
|
5 |
|
61 |
73 |
|
80 … 90 |
|
9 |
|
52 |
71 |
|
90… 100 |
|
10 |
|
42 |
110