fd02aed

3.3.1. Объекты с последовательным соединением элементов

Последовательное соединение элементов, по-видимому, является наиболее распространенной и наиболее простой для анализа надежности моделью объекта. Чтобы объект с последовательным соединением функционировал, все его блоки и элементы должны работать безотказно. Структурная схема надежности объекта с последовательным соединением элементов показана на рис. 3.1. В данном случае

Рс (t)= P [S1 ∩S2 ∩... ∩Sn ],

и вследствие принятого нами допущения о независимости отказов

Рс (t) = P (S1 ) Р(S2 ) Р(Sn )

или

где правая часть представляет собой произведение вероятностей безотказной работы элементов объекта.

Формула (3.6) выражает правило умножения вероятностей для независимых событий. Очень часто структура объекта требует применения именно этого правила для вычисления вероятности безотказной работы объекта. К сожалению, надежность объекта быстро убывает при увеличении числа последовательно соединенных элементов; надежность объекта всегда не превышает ее значения для наименее надежного элемента. Таким образом, для объекта с последовательным соединением элементов имеем

Рс (t) ≤ min [ Pi (t) ].

i

Приближенное вычисление вероятности безотказной работы объекта производится следующим образом. Пусть q – вероятность отказа i-го элемента. Тогда, полагая, что для всех элементов значения q одинаковы, имеем

Рс (t) = (1 – q)N ,

где правая часть представляет собой бином Ньютона.

182

Разложим бином Ньютона:

1+ N(− q)1 + N(N −1)(− q)2 + .

2

Полагая значение q малым и отбрасывая члены высокого порядка, получаем

Рс (t) ≈1 – N q.

При использовании этой аппроксимации полезно знать, что если Nq = 0,1, то получаем результат с точностью до двух десятичных знаков.

Приближенное выражение для надежности объекта с последовательным соединением элементов при различных значениях qi имеет вид

i =1

Формула (3.7) справедлива при выполнении условия

N max qi <<1.

1≤i≤N

На практике наиболее распространенной характеристикой надежности элементов является интенсивность отказов. Поэтому необходимо получить расчетные формулы для определения надежности объекта через интенсивности отказов элементов.

Вначале, продифференцировав по времени уравнение (3.6), получим:

dPdсt(t) = dPd1t(t) P2 (t) P3 (t) PN (t)+...

... + P1(t) P2 (t) PN −1(t)dPN (t). dt

Используя формулу (2.14), запишем:

dPdсt(t) = −Pс(t) Λ(t),

где Λ (t) – интенсивность отказов сложного объекта.

183

С учетом формулы (2.14) получим:

n

Рс (t)Λ(t)= ∏Pi (t)[λ1(t)+ λ2 (t)+ + λn (t)].

i =1

Из этой формулы следует выражение для интенсивности отказов объекта через интенсивности отказов элементов:

i=1

Таким образом, интенсивность отказов сложного объекта, состоящего из последовательно соединенных элементов, при сделанных выше допущениях, равна сумме интенсивностей отказов элементов. С использованием интенсивностей отказов элементов расчет надежности сводится к их суммированию и определению по формуле вероятности безотказной работы объекта:

Обычно в объект входит несколько групп однотипных элементов. Если предположить, что интенсивности отказов в группах однотипных элементов одинаковы, то формулы (3.6) и (3.8) соответственно приобретают вид:

k

Рс (t)= P1n1 (t) P2n2 (t) Pknk (t)= ∏Pini (t);

i=1

k

Λ (t)= n1 λ1(t)+ n2 λ2 (t)+...+ nk λk (t) = ∑ni λi (t),

i=1

где k – число групп однотипных элементов в объекте; ni – число эле-

ментов i-й группы: n1 + n2 + … + nk = N.

В частном случае, при экспоненциальном законе надежности (п. 2.4), формулы для расчета интенсивности отказа, интенсивности восстановления, вероятности безотказной работы и времени наработки до отказа объекта упрощаются и принимают вид:

i=1

184

i =1

Среднее время восстановления сложного объекта

где Твi – время восстановления i-го элемента, является математическим ожиданием времени восстановления, взвешенным по интенсивности отказов n последовательно соединенных элементов.

Вероятность отказа последовательной структуры определится таким образом:

Если все элементы равнонадежны, т.е. Pi(t) = P(t), Qi(t) = Q(t), то формулы (3.6) и (3.14) принимают следующий вид:

Формулы (3.9)…(3.16) являются основными для расчета надежности объекта, состоящего из последовательно соединенных элементов.

185

Пример 3.1. Определить интенсивность отказов, среднее время восстановления, среднее время безотказной работы и вероятность безотказной работы в течение 1 года системы, состоящей из 5 последовательно соединенных элементов со следующими показателями надежности:

λ1 = 0,50 год–1; Тв1 = 16,0 ч; λ2 = 0,32 год–1; Тв2 = 8,0 ч; λ3 = 0,30 год–1; Тв1 = 6,0 ч; λ4 = 0,64 год–1; Тв4 = 12,5 ч; λ5 = 0,001 год–1; Тв5 = 15,0 ч.

Решение.

Интенсивность отказов системы

5

Λ = ∑λi = 0,50 + 0,32 + 0,30 + 0,64 + 0,001 =1,761 год–1.

i=1

Среднее время восстановления

k

Tвс = Λ−1∑λiTвi =1,761–1(0,50 16,0 +

i =1

+0,32·8,0+0,30·6,0+0,64·12,5+0,001·15,0) = 11,57 ч.

Среднее время безотказной работы

Т1 = Λ–1 = 1/1,761 = 0,568 года = 4974 ч.

Вероятность безотказной работы за 1 год

Рс(t) = ехр (–1,761·1) = 0,17.

Пример 3.2. Оценить надежность изделия на этапе технического проектирования. В техническом задании на изделие заданы следующие количественные показатели надежности:

Р(t) = 0,9; σР(t) = 0,03; t = 40 ч; Кг = 0,99.

186

По результатам анализа конструкторской документации установлено, что структурная схема надежности изделия представляет собой последовательное соединение функционально законченных четырех устройств (N = 4) (см. рис. 3.1).

Расчет надежности проводят по статистическим данным испытаний изделий-аналогов (табл. 3.1).

Таблица 3.1 Статистические данные испытаний изделий-аналогов

Решение. Принимая допущение об экспоненциальном законе распределения наработки на отказ, определим вероятность безотказной работы для каждого устройства ССН:

• силовой привод

• устройство управления

• устройство сигнализации (работает всего 10 ч, поэтому время хранения составляет 30 ч):

• вероятность безотказной работы устройства связи. Для этого устройства время хранения составляет 20 ч. Поэтому получим

187

Тогда вероятность безотказной работы изделия в целом определится как

P(t) = P1(t1) P2(t2) P3(t3) P4(t4) = 0,96 0,95 0,992 0,99 ≈ 0,896.

Для нахождения среднего квадратического отклонения предварительно определим интенсивности отказов:

откуда среднее квадратическое отклонение σP(t) изделия в целом

(2.17) равно

Для определения коэффициента готовности найдем среднее значение наработки на отказ и среднее время восстановления отказа:

По формуле (2.36) определим коэффициент готовности:

Kг = T0 T+0 Tв = 0,995 .

188

Знак « » обозначает, что значения получены по статистическим данным. Полученные расчетные значения показателей надежности удовлетворяют требованиям технического задания.

3.3.2. Объекты с параллельным соединением элементов

Основным способом повышения надежности и снижения техногенного риска является структурное резервирование, которое реализуется путем введения в систему дополнительных элементов, узлов, блоков. Резервирование характерно тем, что оно позволяет повысить надежность системы по сравнению с надежностью составляющих ее элементов. Повышение надежности отдельно взятых элементов требует больших материальных затрат. В этих условиях резервирование, например за счет введения дополнительных элементов, является эффективным средством обеспечения требуемой надежности систем.

Если при последовательном соединении элементов общая надежность системы ниже надежности самого ненадежного элемента, то при резервировании общая надежность системы может быть выше самого надежного элемента.

Существует два метода повышения надежности систем путем структурного резервирования:

1)общее резервирование, при котором резервируется система

вцелом;

2)раздельное (поэлементное) резервирование, при котором ре-

зервируются отдельные части (элементы) системы.

На рис. 3.7 представлены схемы общего и раздельного структурного резервирования, где n – число последовательных элементов

вцепи, m – число резервных цепей. При m = 1 имеет место дублиро-

вание, а при m = 2 – троирование.

Взависимости от способа включения резервных элементов различают постоянное резервирование, резервирование замещением и скользящее резервирование.

Постоянное резервирование – это такое резервирование,

при котором резервные элементы участвуют в работе объекта наравне с основными элементами. В случае отказа основного элемента не требуется специальных устройств, вводящих в действие резервный элемент, поскольку он включается в работу одновременно с основным.

189

Рис. 3.7. Структурные схемы резервированных систем: общее резервирование с постоянно включенным резервом (а); раздельное резервирование с постоянно включенным резервом (б); общее резервирование замещением (в);

раздельное резервирование замещением (г)

190