fd02aed

а неработоспособных – 8. При x = 4 и x = 5 все состояния схемы будут неработоспособными. Эти состояния выделены в табл. 3.4 прямоугольными рамками.

Вероятности для каждого состояния схемы вычисляются по формуле qx P(N–x). Поскольку события, характеризующие состояние схемы, являются взаимно несовместными, для вычисления вероятности безотказной работы схемы необходимо просуммировать вероятности для работоспособных состояний схемы:

kp

P (t)= ∑Pi = P5 + 5 P4q + 8 P3q2 + 2 P2q3 ,

i=1

где kp – число работоспособных состояний схемы; Pi – вероятность i-го работоспособного состояния схемы.

Подставив в полученное выражение q = 1–P и произведя преобразования, получим окончательное выражение для вероятности безотказной работы мостиковой схемы:

P (t)= 2 P5 −5 P4 + 2 P3 + 2 P2 .

3.4.2.Метод преобразования треугольника в звезду и обратно

Вэтом случае в качестве показателей надежности используются вероятности отказов элементов. Выбор указанных характеристик объясняется тем, что метод преобразования треугольника в звезду

иобратно является приближенным. Значение возникающей погрешности при оценке надежности системы зависит от вероятностей, характеризующих надежность элементов. Чем меньше эти вероятности, тем меньше погрешность оценки надежности системы. Поскольку обычно вероятности безотказной работы элементов близки к единице, целесообразно использовать вероятности появления отказов.

Определим зависимости между вероятностями отказов элементов при преобразованиях, исходя из предположения, что характеристики надежности цепей, соединяющих одноименные точки в различных схемах, должны быть равны между собой.

Вначале рассмотрим точки 1 и 2 (рис. 3.28, 3.29). Вероятности отказов для цепей при условии, что точка 3 присоединена к точке 2, будут равны: для звезды – q1 + q2q3 – q1q2q3, а для треугольника –

231

q12q31. Аналогично можно записать равенства и для других возможных вариантов соединения точек.

Таким образом, можно составить следующую систему уравне-

ний:

Считая, что вероятности отказов элементов малы, и пренебрегая произведениями qi qj и qi qj qr – вероятностями более высокого порядка малости, чем qi, получим следующие приближенные выражения:

Перемножим соответственно левые и правые части двух первых равенств системы (3.63) и разделим на третье равенство, тогда

Из (3.64) после сокращения одинаковых сомножителей имеем

232

Аналогично получаем

Если предположить, что точка 3 в схеме «звезда» является свободной, то соответствующие вероятности появления отказов в схемах «звезда» и «треугольник» будут соответственно равны для

звезды: q1 + q2 – q1 q2; q2 + q3 – q2 q3; q3 + q1 – q3 q1; для треугольника:

q12 (q23 + q31 – q23 q31); q23 (q31 + q12 – q31 q12); q31 (q12 + q23 – q12 q23).

Пренебрегая в этих выражениях величинами более высокого порядка малости, чем qi (произведения qi qj), получим следующие приближенные зависимости:

Прибавляя к левой и правой частям первого уравнения в системе (3.67) соответственно левую и правую части третьего уравнения

ивычитая соответственно левую и правую части второго уравне-

ния, получим выражение q1 ≈ q12 q31, которое было получено ранее (см. первое уравнение в системе (3.63)). Таким образом, приближенные формулы (3.63), (3.65), (3.67) могут быть использованы в процессе преобразования схемы «треугольник» в схему «звезда»

иобратно.

3.4.3. Приближенный метод исключения элементов

Сущность приближенного метода расчета надежности мостиковых схем методом исключения элементов заключается в том, что

вструктурной схеме выбираются один или несколько элементов

изатем производится расчет показателей надежности для двух крайних случаев:

1)предполагается, что выбранные элементы абсолютно надежны (вероятность безотказной работы элементов равна единице);

2)предполагается, что выбранные элементы абсолютно ненадежны (вероятность безотказной работы элементов равна нулю).

233

В первом случае две точки системы, к которым подключается элемент, соединяются постоянной связью, во втором – между этими точками отсутствует какая-либо связь. Для двух полученных структур определяются вероятности безотказной работы, соответственно

равные Pmax и Pmin.

Затем определяется средневзвешенное значение вероятностей безотказной работы исключаемых элементов:

где pi – вероятность безотказной работы i-го исключаемого элемента; n – число исключаемых элементов.

Окончательно вероятность безотказной работы системы определяется по формуле

Очевидно, что если pср = 1 (абсолютно надежные исключаемые элементы), то Pс = Pmax. Если pср = 0 (абсолютно ненадежные эле-

менты), то Pс = Pmin.

Особенности метода исключения элементов:

•с увеличением числа исключаемых элементов точность расчетов понижается;

•с увеличением числа элементов в системе при фиксированном числе исключаемых элементов точность расчетов повышается;

•в качестве исключаемых элементов целесообразно выбирать элементы, имеющие высокую надежность.

Пример 3.13. Определить приближенно вероятность безотказной работы системы, представленной на рис. 3.30, двумя методами: преобразованием треугольника в звезду и исключением элементов.

Вероятности безотказной работы всех элементов одинаковы:

pi = p = 0,9.

234

Решение.

I. Преобразуем схему «треугольник», образованную элементами 1, 3, 5, в схему «звезда» с элементами 6, 7, 8 (рис. 3.31). Согласно формулам (3.63) рассчитываем вероятности отказов элементов

звезды:

q6 = q7 = q8 ≈ q2 ≈ (1 – p)2 = (1 – 0,9)2 = 0,01; p6 = p7 = p8 = 0,99.

Используя формулы для последовательно-параллельно соединенных элементов, определяем вероятность безотказной работы системы:

Рс = р6 [1– (1–р2 р7)(1–р4 р8)] =

=0,99[1– (1–0,9·0,99)(1–0,9·0,99] = 0,9782.

II. Решим этот же пример методом исключения элементов.

Вкачестве исключаемого элемента выберем элемент 5. Рассмотрим две структуры. В первой из них в месте расположения элемента 5 будет короткое замыкание (рис. 3.32). Поэтому получим

Рmax = [1– (1–р)2]2 = [1– (1–0,9)2]2 = 0,9801.

Во второй структуре в месте нахождения элемента 5 будет разрыв цепи (рис. 3.33). В соответствии с этим

Рmin = 1 – (1 – р2)2 = 1 – (1 – 0,92)2 = 0,9639.

Рис. 3.33. Схема исключения элементов с разрывом цепи

235

С учетом рср = р = 0,9 на основании (3.69) окончательно получаем

Рс = 0,9639 + (0,9801 – 0,9639)·0,9 = 0,9785.

Сравнение значений вероятностей безотказной работы, полученных рассмотренными приближенными методами, показывает, что они очень близки.

3.4.4. Расчет надежности избирательных схем

На практике существует целый ряд устройств, которые отказывают как в результате невыдачи требуемого сигнала, так и в результате выдачи ложного сигнала. К ним относятся исполнительные органы и, частично, усилительно-преобразующие устройства автоматических систем. Параллельное включение устройств подобного типа приводит к уменьшению вероятности невыдачи устройством команды, но увеличивает вероятность выдачи ложной команды. Таким образом, если ложные команды недопустимы, как недопустим и обрыв в передаче информации, то параллельное включение элементов становится малоэффективным. Повысить эффективность параллельного соединения элементов, а также одновременно повысить надежность при двух типах отказов можно, применив параллельное соединение функциональных устройств (ФУ), подключенных к логической схеме (ЛС). Одним из вариантов такого построения объекта является избирательная схема. Пример такой схемы, обеспечивающей выходной сигнал при совпадении сигналов от двух ФУ из трех, приведен на рис. 3.34.

Расчет надежности избирательной схемы производится в два этапа. Сначала определяется вероятность отказа схемы вследствие обрыва и вероятность выдачи ложной команды, а затем – надежность схемы с учетом этих двух типов отказов.

При одинаковых для заданного интервала времени значениях вероятности отказа вследствие обрыва ФУ вероятность отказа избирательной схемы, изображенной на рис. 3.34, определяется следующим образом.

Из условия работоспособности схемы следует, что ее отказ возможен лишь при отказе двух или трех функциональных устройств. Вероятность отказа избирательной схемы вследствие отказа двух функциональных устройств равна

236

С32q02 (1− q0 ),

где q0 – вероятность отказа ФУ вследствие обрыва. Поясним это выражение. Поскольку в схеме имеется три функциональных устройства, число возможных вариантов отказов схемы равно числу сочетаний из трех устройств по два, т. е. С32 , а вероятность появления такого варианта будет равна q02 (1− q0 ). Следовательно, вероятность отказа избирательной схемы по причине отказов двух ФУ из трех будет равна С32q02 (1− q0 ).

Рис. 3.34. Избирательная схема

Число вариантов по причине отказа сразу всех трех ФУ равно С33 , а вероятность его появления − q03 , поэтому вероятность отказа

избирательной схемы в этом случае равна С33q03 .

Поскольку избирательная схема может отказать лишь по причине отказа двух или трех ФУ, мы имеем дело с несовместными событиями (одно из них – отказ двух ФУ, другое – отказ трех ФУ). Следовательно, вероятность появления одного из этих событий в соответствии с теоремой сложения вероятностей для несовместных событий равна

Q0 = С32q02 (1− q0 )+ C33q03 ,

237

где Q0 – вероятность отказа избирательной схемы вследствие обрыва ФУ.

В общем случае вероятность отказа избирательной схемы в отношении отказа типа «обрыв» задается формулой

i=0

где n – количество функциональных устройств избирательной схемы; l – пороговое значение числа ФУ, при котором избирательная схема выдает выходной сигнал (для схемы на рис. 3.34 l = 2); (n – l + 1) – минимальное число работоспособных ФУ, при котором происходит выдача схемой выходного сигнала.

Избирательная схема выдает ложную команду, если на ее вход поступит ложная команда не менее как от l функциональных устройств. В этом случае вероятность отказа схемы по ложной команде задается выражением

i=0

где Qл – вероятность отказа избирательной схемы вследствие ложной команды; qл – вероятность отказа ФУ вследствие ложной команды. Общая вероятность отказа избирательной схемы равна

Q = Q0 + Qл .

Недостатком рассмотренного метода перебора состояний является то, что число способов появления отказов быстро возрастает при увеличении числа элементов в объекте. Неизбежные для данного метода громоздкие вычисления можно упростить, используя компьютер.

3.5. Методы обеспечения надежности объектов

Сложные объекты, а также отдельные входящие в них блоки, узлы, элементы выполняют возлагаемые на них функции только в том случае, если они сохраняют работоспособность в течение заданного интервала времени в определенных условиях эксплуатации, т. е. имеют необходимую безотказность.

238

Для обеспечения и поддержания в процессе эксплуатации требуемой безотказности объектов необходимо предпринимать специальные меры, а именно:

•упрощение структурных схем отдельных устройств и объекта

вцелом;

•применение высоконадежных элементов;

•снижение нагрузки элементов и стабилизация условий эксплуатации объектов;

•применение резервирования.

Путем реализации первого метода безотказность объекта не может быть повышена значительно. Это объясняется тем, что простота схем не может быть больше определенного уровня, т. к. объектом и его устройствами должны быть решены вполне определенные задачи.

Повышение надежности элементов, входящих в состав объекта, ведет к значительному усложнению технологии и, соответственно, к пропорциональному повышению их стоимости. Поэтому применение высоконадежных элементов может оказаться экономически нецелесообразным.

Как показывают экспериментальные данные, интенсивность отказов элементов можно уменьшить на один-два порядка за счет снижения нагрузки. Однако в настоящее время элементы практически во всех схемах работают с достаточно малыми нагрузками. Как правило, коэффициент нагрузки элементов не превышает 0,5 … 0,8, а в ответственных устройствах он доведен до 0,1 … 0,3. Дальнейшее снижение коэффициента нагрузки нецелесообразно из-за увеличения весовых и геометрических характеристик объекта.

Для обеспечения заданного уровня надежности объектов широко применяют различные методы резервирования, однако возможности этих методов ограничены. Резервирование предполагает увеличение весовых и геометрических характеристик объектов, что не всегда может быть осуществлено.

Указанные методы обеспечения заданного уровня надежности объектов направлены на реализацию лишь одной из составляющих надежности, а именно на обеспечение их безотказности. Но надежность объекта может быть обеспечена и за счет своевременного проведения профилактических мероприятий путем замены отказавших блоков, настройки и регулировки его узлов. Для реализации

239

этих мероприятий необходимо иметь информацию о техническом состоянии объекта, которая может быть получена лишь только в результате контроля или технического диагностирования объектов.

Указанные мероприятия обеспечивают повышение коэффициента готовности

Kг = T T0 T

0 + в

путем сокращения времени восстановления

Tв = Tобн + Tпмо + Tупо

за счет уменьшения времени обнаружения отказа (Тобн), поиска места отказа (Тпмо) и устранения последствий отказа (Тупо).

В случае обнаружения отказов соответствующие блоки объекта заменяются заведомо работоспособными, что ведет к увеличению вероятности безотказной работы объекта. Изменение вероятности безотказной работы при наличии и отсутствии контроля условно показано на рис. 3.35.

240