Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

М е с т н ы е с и с т е м ы о т с ч е т а . Рассмотрим тело А , движущееся в поле тяготения Земли (или другого небесного тела)

свободно и поступательно с ускорением g (ускорение поля тяготе­ ния), т. е. находящееся в состоянии

можно считать g=const. Наточку М , по­

скольку она, как и тело А, движется в поле тяготения Земли, будет действовать сила тяготения FT=mg, а также могут действовать дру­

гие силы Ft, F t, ..., Fn.

Составим уравнение относительного движения точки по отно­ шению к осям Охуг, т. е. уравнение (56) из § 91-. Так как оси Охуг

где У/7* — сумма других действующих сил, кроме F1.

Но так как оси Охуг перемещаются вместе с телом ^поступа­ тельно^с ускорением g, то для движущейся точки a„tV=g и /гйер= =—mg. Учтя еще, что FT—mg, получим из уравнения (127)

(128)

Таким образом, хотя система отсчета Охуг не является инерци­

альной (см. § 91), так как движется с ускорением g, уравнение дви­ жения точки по отношению к этой системе отсчета составляется так, как если бы она была инерциальной; но при этом в число_дейст-

вующих на точку сил не должна включаться сила тяготения F 1t т. е. сила притяжения к Земле (небесному телу), в поле тяготения ко­ торого движутся тело А и связанная с ним система отсчета. Такую систему назовем местной системой отсчета. Ее практически можно считать инерциальной с тем большей степенью точности, чем мень­ ше область, в которой происходит движение.

Например, если местную систему отсчета связать с движущимся поступательно вокруг Земли космическим летательным аппаратом, то уравнение движения по отношению к летательному аппарату лю­ бого находящегося в нем тела будет составляться в виде (128), т. е. как в инерциальной системе отсчета, но при этом в число действую­

261

Раздел четвертый

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ И ТВЕРДОГО ТЕЛА

Глава X X I

ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ СИСТЕМЫ. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

§ 100. МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА. СИЛЫ ВНЕШ НИЕ И ВНУТРЕННИЕ

Систему материальных точек или тел, движение (или равнове­ сие) которой рассматривается, будем называть механической систе­ мой. Если между точками (телами) механической системы действу­

е и i от латинских exterior — внешний и interior — внутренний). Внешними называют силы, действующие на точки системы со сторо­ ны точек или тел, не входящих в состав данной системы. Внутрен­ ними называют силы, с которыми точки или тела данной системы действуют друг на друга. Эго разделение является условным и за­ висит от того, какая механическая система рассматривается. На­ пример, если рассматривается движение всей Солнечной системы, то сила притяжения Земли к Солнцу будет внутренней; если же рас­ сматривается движение системы Земля — Луна, то для этой системы та же сила будет внешней.

Внутренние силы обладают следующими свойствами:

1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю. В самом деле, по третьему закону динами­ ки любые две точки системы (рис. 274) действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами

Fit и ^21>сумма которых равна нулю. Так как аналогичный резуль-

263

тат имеет место для любой пары точек системы, то

2 ^ = °-

2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил си­ стемы относительно любого центра или оси равняется нулю. Дей­ ствительно, если взять произвольный центр. О, то из рис. 274 видно,

что т а (Fii)+ m 0(F^,) =0. Аналогичный результат получится при вычислении моментов относительно оси. Следовательно, и для всей системы будет:

2 '"о (^ *) = 0 и =

Из доказанных свойств не следует, однако, что внутренние силн взаимно уравновешиваются и не влияют на движение системы, так как эти силы приложены к разным материальным точкам или телам и могут вызвать взаимные перемещения этих точек или тел. Урав­ новешенной вся совокупность внутренних сил будет у системы, пред­ ставляющей собой абсолютно твердое тело.

f 101. МАССА СИСТЕМЫ. ЦЕНТР МАСС

Движение системы кроме действующих сил зависит также от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы (обознача­ ем М или т ) равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему:

М = 2 т к.

Распределение масс в системе определяется значениями масс т к ее точек и их взаимными положениями, т. е. их координатами хк, ух, zh. Однако оказывается, что при решении тех задач динами­ ки, которые мы будем рассматривать, в частности динамики твердого тела, для учета .распределения масс достаточно знать не все ве­ личины т к, хк, ук, гк, а некоторые, выражаемые через них суммар­ ные характеристики. Ими являются: координаты центра масс (выражаются через суммы произведений масс точек системы на их координаты), осевые моменты инерции (выражаются Фрез суммы произведений масс точек системы на квадраты их координат) и центробежные моменты инерции (выражаются через суммы произ­ ведений масс точек системы и двух из их координат). Эти характери­ стики мы в данной главе и рассмотрим.

Ц е н т р , ма с с . В однородном поле тяжести, для которого g=const, вес любой частицы тела пропорционален ее массе. Поэто­ му о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы (59) из § 32, определяющие координаты центра тяжести тела, к виду, явно содержащему массу. Для этого положим в названных формулах pk=mkg и P=M g, после чего, сократив на g, найдем:

хс ~ ~дГ 2 т кхЬ' Ус — 2 гс — 2 0)’

264

В полученные равенства входят теперь массы т к материальных точек (частиц), образующих тело, и координаты хк, yh, zh этих то­ чек. Следовательно, положение точки С(хс,у с, гс) действительно характеризует распределение масс в теле или в любой механиче­ ской системе, если под тъ, xh, yh, zh понимать соответственно массы и координаты точек системы.

Геометрйчестя точка С, координаты 'которой определяются формулами (1), называется центром масс или центром инерции механической системы.

Если положение центра масс определять его радиусом-вектором гс, то из равенств (1) для гс получается формула

(П

где rh — радиусы-векторы точек, образующих систему.

Из полученных результатов следует, что для твердого тела, на­ ходящегося в однородном поле тяжести, положения центра масс и центра тяжести совпадают. Но в отличие от центра тяжести поня­ тие о центре масс сохраняет свой смысл для тела, находящегося в любом.силовом поле (Иапример, в центральном поле тяготения), и, кроме того, как характеристика распределения масс, имеет смысл не только для твердого тела, но и для любой механической системы.

$ 102. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ. РАДИУС ИНЕРЦИИ

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Ог (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квад­ раты их расстояний от этой оси:

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном двиясении.

Согласно формуле (2) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной мате­ риальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, /,= тЛ а. Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг *м* (в системе М КГСС— 1 кгм-с*).

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты xh, yh, zh этих точек (на­ пример, квадрат расстояния от оси Ох будет yl+ zt и т. д.). Тогда моменты инерции относительно осей Охуг будут определяться фор­

265

мулами:

•^= 2> * (у2+*1). ^, = 2 > * (г !+ 4 ), ^ = 5 > ft(xj[+*/*)• (3)

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси Ог называется линейная величина р „ определяемая равенством

где М — масса тела. Из определения следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Ог той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

Зная радиус инерции, можно по формуле (4) найти момент инерции тела и наоборот.

Формулы (2) и (3) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, раз­ бивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоя­ щая в равенстве (2), обратится в интеграл. В результате, учитывая,

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность р и расстояние Л зависят от координат точек тела. Аналогично фор­ мулы (3) для сплошных тел примут вид

Формулами (5) и (5') удобно пользоваться при вычислении мо­ ментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плот­ ность р будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла.

массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси Аг, пер­ пендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис. 275). Направим вдоль А В координатную ось Ах. Тогда для любого эле­ ментарного отрезка длины dx величина А=х, а масса dm=p,dx, где pi=M/l — масса единицы длины стержня. В результате форму­ ла (5) дает *

оо

*Здесь и везде далее J л обозначает момент инерции относительно оси, пр ходящей через точку А н направленной перпендикулярно плоскости изображен­ ного на чертеже сечения тела.

Звб

Заменяя здесь р* его значением, найдем окончательно

Рис. 277

оси Cz, перпендикулярной плоскости кольца .и проходящей через его центр С (рис. 276). Так как все точки кольца находятся от оси Cz на расстоянии hk= R, то формула (2) дает

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относи­ тельно ее оси.

3. К р у г л а я о д н о р о д н а я п л а с т и н а или ц и- л и н д р радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круг­ лой пластины относительно оси Cz, перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (см., рис. 276). Для этого выделим эле­ ментарное кольцо радиусом г и шириной dr (рис. 277, а). Площадь этого кольца 2nr -dr, а масса dm=p,2nr dr, где ра=М/лг* — масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (7) для выделенного элементарного кольца будет d/c=r*dm=2nparsdr, а для всей пластины

я

/с = 2яр, J г3dr = nptR*/2.

*Сравнивая формулы (4) и (7) можно еще заключить, что радиус инерции

тела равен радиусу тонкого кольца с таким же осевым моментом инерции, как и у тела.

267

Такая же формула получится, очевидно, и для момента инер­

Опуская выкладки, приведем формулы, определяющие моменты инерции следующих тел (читатель может получить их самостоятель­ но, а также найти эти и другие формулы в различных справочни­ ках):

а) сплошная прямоугольная пластина массой М со сторонами А В= а и BD=b (ось х направлена вдоль стороны АВ, ось у — вдоль

BD ):

J x=Mb43, Jy —Ma%/3-,

б) прямой сплошной круглый конус массой М с радиусом осно­ вания R (ось г направлена вдоль оси конуса):

J t—0,3MR*;

в) сплошной шар массой М и радиусом R (ось г направлена вдоль диаметра):

/*= 0,4Ш '.

Моменты инерции неоднородных тел и тел сложной конфигура­ ции можно определять экспериментально с помощью соответствую­ щих приборов. Один из таких методов рассмотрен в § 129.

( 103. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ. ТЕОРЕМА ГЮЙГЕНСА

Моменты инерции данного тела относительно разных осей бу­ дут, вообще говоря, разными. Покажем, как, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найти

В правой части равенства первая сумма равна Ус*-» а вторая — массе тела М . Найдем значение третьей суммы. На основании фор-

268

мул (1) для координат центра масс 2mh**=Af*c- Так как в нашем случае точка С является началом координат, то xi=0 и, следова­ тельно, l.mkx'k=0. Окончательно получаем

са*: момент инерции тела относительно данной оси равен момен­ ту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Из формулы (9) видно, что Joz> Jcz'■ Следовательно, из всех осей данного направления наименьший момент инерции будет отно­ сительно той оси, которая проходит через центр масс.

Теорема Гюйгенса позволяет найти момент инерции тела отно­ сительно данной оси Ozi и в том случае, когда известен его момент инерции относительно любой оси Аг3, параллельной Oz*. При этом надо знать расстояния di и d, каждой из этих осей от центра масс тела. Тогда, зная J Att и dt, мы по формуле (9) определяем /

а затем по той же формуле находим искомый момент инерции J 0гГ

Задача 119. Определить момент инерции тонкого стержня относительно оси Сг, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс.

Р е ш е н и е . Проведем через конец А стержня ось Аг (см. рис. 275; ось Сг на нем не показана). Тогда по формуле (9)

JC= J A-M d*.

В.данном случае d= ll2, где I — длина стержня, а величина J А определяется формулой (6). Следовательно,

J c = МР/З— М РЦ = М1Ч12.

Задана 120. Определить момент инерции цилиндра относительно оси Агу, про­ ходящей через его образующую (см. рис. 277, б).

JAti = MR42 + MR*=±(3/2) MR*.

§104*. ЦЕНТРОБЕЖНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ. ПОНЯТИЯ О ГЛАВНЫХ ОСЯХ ИНЕРЦИИ ТЕЛА

Если через точку О провести координатные оси Охуг, то по отно­ шению к этим осям центробежными моментами инерции (или про­ изведениями инерции) называют величины J xv, J V1, J Zx, определяемые равенствами:

где т к — массы точек; xk, yk, zh — их координаты; при этом оче­ видно, что J xy—Jy x и т. д.

* Христиан Гюйгенс (1629—1695) — выдающийся голландский ученый, меха­ ник, физик и астроном. Изобрел первые маятниковые часы. В связи с этим изучал йолебайия физического маятника (см. § 129) и ввел понятие о моменте инерции тела (сам термин предложил позже Эйлер).

269

Для сплошных тел формулы (10) по аналогии с (5') принимают вид

В отличие от осевых центробежные моменты инерции могут быть как положительными, так и отрицательными величинами и, в част­ ности, при определенным образом выбранных осях Охуг могут обра­ щаться в нули.

Г л а в н ы е о с и и н е р ц и и . Рассмотрим однородное тело, имеющее ось симметрии. Проведем координатные оси Охуг так, что­ бы ось Ог была направлена вдоль оси симметрии (рис. 279). Тогда в силу симметрии каждой точке тела с массой т к и координатами Ун> гк будет соответствовать точка с другим индексом, но с такой же массой и с координатами, равными—хк, —Ун> В результате получим, что И ткхкгк=0 и 2 т кукгк=Ь, так как в этих суммах все слагаемые попарно одинаковы по модулю и противоположны по

знаку; отсюда, учитывая равенства (10), находим:

Таким образом, симметрия в распределении масс относительно оси г характеризуется обращением в нуль двух центробежных мо­ ментов инерции J xz и J yi. Ось Ог, для ко­ торой центробежные моменты инерции J xz, J уг, содержащие в своих индексах наименование этой оси, равны нулю, на­ зывается главной осью инерции тела для

точки О.

Из изложенного следует, что если тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела для

_ любой своей точки.

У Главная ось инерции не обязательно является осью симметрии. Рассмотрим однородное тело, имеющее плоскость симметрии (на рис. 279 плоскостью сим­ метрии тела является плоскость abed).

Проведем в этой плоскости какие-нибудь оси Ох, Ог и перпендику­ лярную им ось Оу. Тогда в силу симметрии каждой точке с массой т к и координатами **, ук, гк будет соответствовать точка с такой же массой и координатами, равными xh, —yh, гк. В результате, как и в предыдущем случае, найдем, что Л ткхкук—0 и Х т ^ ^ —О или J Х]/—0, J 1/2=0, откуда следует, что ось Оу является главной осью инерции для точки О. Таким образом, если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная этой плоскости, будет главной осью инерции тела для точки О, в которой ось пересекает плоскость.

Равенства (11) выражают условия того, что ось Ог является глав­ ной осью инерции тела для точки О (качала координат). Аналогич-

270