Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

Вынося общий множитель 6^ за скобки, найдем окончательно/

ментарной работы всех действующих сил на этом перемещении выражение

Величина Q, представляет собой обобщенную силу, соответствую­ щую координате qt, и т. д

Очевидно, что если системе сообщить такое возможное пере­ мещение, при котором одновременно изменяются все ее обобщенные координаты, то сумма элементарных работ приложенных сил на этом

Формула (112) дает выраясение полной элементарной работы всех действующих на систему сил в обобщенных координатах. Из этого равенства виднб, что обобщенные силы — это величины, рав­ ные коэффициентам при приращениях обобщенных координат в выразкении полной элементарной работы действующих на систему

QUA.

Если все наложенные на систему связи являются идеальными, то работу при возможных перемещениях совершают только активные силы й величины Qu Q.......... Q, будут представлять собой обоб­ щенные активные силы системы.

т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты.

Отсюда видно, что если q — линейная величина, то Q имеет раз­ мерность обычной силы (в СИ измеряется в ньютонах), если q — угол (величина безмерная), то Q будет измеряться в Н м и имеет размерность момента; если q — объем (например, положение поршня

372

в цилиндре можно определять объемом запоршневого пространства), то Q будет измеряться в Н/м* и имеет размерность давления, л т. д. Как видим, по аналогии с обобщенной скоростью, понятием об обобщенной силе охватываются все величины, встречавшиеся ранее как меры механического взаимодействия материальных тел (сила, момент силы, давление).

В ы ч и с л е н и е о б о б щ е н н ы х с и л будем производить поформулам вида (108), (110) *, что сводится к вычислению возмож­ ной элементарной работы (см. § 140). Сначала следует установить, каково число степеней свободы системы, выбрать обобщенные коор­ динаты и изобразить на чертеже все приложенные к системе актив­ ные силы и силы трения (если они совершают работу). Затем для определения надо сообщить системе такое возможное перемещение, при котором изменяется только координата qu получая положитель­ ное приращение 6qu вычислить на этом перемещении сумму эле­ ментарных работ всех действующих сил по формулам (101) и пред­ ставить полученное выражение в виде (108). Тогда коэффициент при 6qi и дает искомую величину Qx. Аналогично вычисляются Q„

Q........

Пример 1. Подсчитаем обобщенную силу для системы, изображенной на рис. 366, где груз А весом перемещается по гладкой наклонной плоскости, а груз В весом Р %— по шероховатой горизонтальной плоскости, коэффициент трения о

которую равен /. Грузы связаны нитью, перекинутой через блок О. Массой нити н блока пренебрегаем. Система имеет одну степень свободы и ее положение опре­ деляется координатой 9i= x (положительное направление отсчета х показано стрелкой). Для определения Qi сообщаем системе возможное перемещение бдс, при кото­

ром 6х > 0 , и вычисляем на этом перемещении элементарные работы сил Рх и FTp; остальные силы работы не совершают. Так как FTV= fN = fP 1, то

бА = (Рх sinot—{Р2)Ьх.

* Значения Qt можно еще определить непосредственно по формулам вида

координаты х у / , , г* точек приложения сил через qlt qit . . ., qs. Можно также, вычислив сразу элементарную работу всех сил и приведя ее к виду ( 112), нахо» дить Qi как коэффициенты при 617/. Но обычно расчет этими методами не дает преимуществ, а может оказаться и более сложным.

373

Следовательно,

Qi— Pi sin a—fP2.

Пример 2. Пренебрегая трением, найдем обобщенные силы для системы, изоб­ раженной на рис. 367. Однородный стержень АВ имеет длину I и вес Р и может вра­ щаться вокруг оси А в вертикальной плоскости. Нанизанный на него шарик М имеет вес р. Длина пружины AM равна в ненапряженном состоянии Ь0, а жест­ кость — с.

Система имеет две степени свободы (независимыми являются перемещение шарнка вдоль стержня и поворот стержня вокруг оси А). В качестве обобщенных ко­ ординат выберем угол (р и расстояние х шарика от конца ненапряженной пружины (<h=q>, qt= x ); положительные направления отсчета координат показаны стрел­ ками.

Сообщаем скачала сястеме возможное перемещение, при котором угол ф полу­ чает приращение 6ф(6ф>0), a jc= const. На этом перемещении работу совершают

силы Р и р. По второй из формул (101) находим (знак минус здесь потому, что на­ правление момента противоположно направлению 8ф)

6ЛХ= [ — (Pi/2) sin ф—р (М -* ) sin ф]вф.

Следовательно,

Q i= —[Я //2+р (Vf-*).l sin ф.

Теперь сообщаем системе возможное перемещение, при котором изменяется только координата х, получая приращение 6х>0, а угол <p=const. На этом пере­

мещении работу совершают сила тяжести р и сила упругости, модуль которой F—

—сх. Тогда

6Л ,= (р cos ф—сх)йх

ж

Q z~p cos ф—сх.

Обобщенная сила Qy имеет в этом случае размерность момента, так как qy=<fi а сила Qa — размерность обычной силы.

С л у ч а й п о т е н ц и а л ь н ы х с и л . Если все действую­ щие на систему силы являйэтся потенциальными, то для системы, как известно, существует такая силовая функция U, зависящая от координат Xk, ук, гк точек системы, что сумма элементарных работ действующих сил равна полному дифференциалу этой функции, т. е. £6ЛЛ=6£/ {см. § 126, формула (62)]. Но при переходе к обобщенным координатам qlt qt, . . . , qs все xh, yh, zh могут быть выражены через

Следовательно» если все Действующие на систему силы потенци­ альны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой

374

функции ( или взятым со знаком минус частным производным от по­ тенциальной энергии) по соответствующим обобщенным координа­ там.

Пример 3. Все силы, действующие на систему, изображенную на рис. Э67| потенциальны. Если при этом направить координатную ось Аг вертикально вверх* то по формулам (64), (64') из § 127 найдем для всей системы

П = — (Pl/2) cos q>—p(b0-j-x) cos <р+сх*/2,

что совпадает с результатами, полученными в примере 2>

| 144. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

Согласно принципу возможных перемещений необходимым и достаточным условием равновесия механической системы является равенство нулю суммы элементарных работ всех активных сил (и сил трения если они совершают работу) на любом возможном перемещении системы, т. е. условие 2бЛк= 0. В обобщенных коорди­ натах это условие, согласно равенству (112), дает

Так как все величины бqt, 6qt, . .., 6qs между собой независимы, то равенство (116) может выполняться тогда и только тогда, когда каждый нз коэффициентов при 6qu 6qt, . . ., bqt в отдельности ра­ вен нулю, т. е.

Всамом деле, если допустить, что одна из этих величин, например не равна нулю, то всегда можно сообщить системе такое возмож­

ное перемещение, при которомbq^O , a б<7,= 6<7»= . . . —bqs= 0, и мы придем к противоречию с условием (116).

Таким образом, для равновесия механической системы необхо­ димо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным дл$ системыобобщенным координатам, были равны нулю. Число условий равновесия (117) равно, как видим, числу обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы системы.

Из сравнения метода вычисления обобщенных сил (см. § 143) и способа решения задач, которым пользовались в § 140, видно, что по существу при решении задач с помощью принципа возможных пе­ ремещений мы вычисляли соответствующие обобщенные силы, а за­

P i= fP tl sin а. Поскольку при вычислении Qi было принято, что Ртр~ jN /пр> то условие Q i=0 дает наибольшее значение Рг, при котором груз А не опускается, т. е. определяет предельное положение равновесия (см. § 25), Система будет в рав­ новесии и при P i< fP 3l sin о.

375

2. Для системы, изображенной на рис. 367, из условий равновесия Qi—0 и Qt = 0 получаем очевидный результат: при равновесии <р=0 , х = р /с= Х ст.

С Л у ч а й п о т е н ц и а л ь н ы х си л . В этом случае условия

Равенства (118) или (119) выражают необходимые условия экстремума функции нескольких переменных. Следовательно, сис­ тема, на.которую действуют потенциальные силы, в тех положениях, для которых силовая функция или потенциальная энергия системы имеет экстремум (в частности, минимум или максш^ум), находится в равновесии. Вопрос об устойчивости этих положений равновесия будет рассмотрен в § 147.

f 148. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

Чтобы найти уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, обратимся к общему уравнению динамики (102), которое дает

Для общности не будем предполагать, что все наложенные на систему связи являются идеальными. Поэтому в первую сумму мо­ гут входить как работы активных сил, так и, например, работы сил трения.

Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение опреде­ ляется обобщ енны ми координатами (104). Тогда по формуле (112)

2бЛ* = Qt + S<7,+ •••+Q,6<^. (121)

Очевидно, что совершенно так же, как это было сделано в § 143 для сил Fk, можно преобразовать_к обобщенным координатам

376

Подставляя величины (121) и (121') в уравнение (120), найдем

Так как все 6qlt 6qt, . . ., bq, между собой независимы, то полу­ чение6 равенство может выполняться тогда и только тогда, когда каждый из коэффициентов при bqu 6qt, . . . , 6qs в отдельности равен нулю, в чем убеждаемся, рассуждая так же, как при выводе урав­ нений (117). Следовательно, должно быть

Полученными уравнениями можно непосредственно пользовать­ ся для решения задач динамики. Однако процесс составления этих уравнений значительно упростится, если выразить все входящие сюда обобщенные силы инерции через кинетическую энергию систе­ мы. Преобразуем сначала соответствующим образом величину

QJ. Поскольку сила инерции любой из точек системы F t= —mhali= ~ — mhdvh/dt, то первая из формул (122) дает

024)

Чтобы выразить QJ через кинетическую энергию системы, надо пре­ образовать правую часть равенства (124) так, чтобы она содержала только скорости уточек системы. С этой целью заметим прежде всего, что

< | 2 5 >

В справедливости равенства (125) легко убедиться, продифферен­ цировав произведение, стоящее справа в скобках. Дальнейшее преобразование осуществляется с помощью следующих двух ра­ венств:

Докажем сначала справедливость первого из них. Так как сог­ ласно (106) rfc=7fc((/x, qt, . . . , qs), то

Справедливость второго из равенств (126) следует из того, что операции полного дифференцирования По t и частного по qt переместительны, т. е.

d ( дгк\ д ( dr*\ dvk d t K d q J - дЯ1\ ~ З г)~ dqi

Подставив теперь величины (126) в равенство (120), получим

377

и формула (124), есть учесть, чтосумма производных равна производ­ ной от суммы, a w|=wj, примет вид

dq '

где 7 '= 2 т Ли|/2 — кинетическая энергия системы.

Аналогичные выражения получатся для всех остальных обоб­ щенных сил инерции. В результате равенства (123) дадут оконча­ тельно

(127)

Уравнения (127) и представляют собой дифференциальные урав­ нения движения системы в обобщенных координатах или уравнениях Лагранжа*. Число этих уравнений, как видим, равно числу сте­ пеней свободы системы.

Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Важное преимущество этих уравне­ ний состоит в том, что их вид и число не зависят ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся; определяется число уравнений Лагранжа только числом степеней свободы системы. Кроме того, при идеаль­ ных связях в правые части уравнений (127) входят обобщенные ак­ тивные силы, и, следовательно, эти уравнения позволяют заранее исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции свя­ зей.

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qlt Qa, . . ., Qs и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu qt, . . ., qs как функции времени. Так

как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей q{, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений йоявятся вторые производные по

времени qt от искомых координат. Следовательно, уравнения Лаг­ ранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные урав­

систему силы потенциальные, то, используя формулы (115), можно

* Уравнения Лагранжа могут применяться для изучения движения любых механических систем с геометрическими (точнее с голономными) связями. Для изу­ чения движения Неголономных систем (см. § 137) используются другие.уравнения, которые в данном курсе не рассматриваются.

378

первое из уравнений (127) представить в виде

Последнее равенство справедливо потому, что потенциальная энергия П зависит только от координат qlt qt, . . ., qs, а от обобщен­

ных скоростей не зависит и dTl/dq^O.

Аналогично преобразуются все остальные уравнения системы (127). Введем функцию

Функция L от обобщенных координат и обобщенных скоростей, равная разности между кинетической и потенциальной энергиями системы, называется функцией Лагранжа или кинетическим потен­ циалом. Тогда в случае потенциальных сил уравнения Лагранжа примут вид

Из полученного результата следует, что состояние механической системы, на которую действуют потенциальные силы, определяется заданием одной только функции Лагранжа, так как, зная эту функ­ цию, можно составить дифференциальные уравнения движения системы.

При соответствующем обобщении понятий, функции, аналогич­ ные функции Лагранжа, описывают состояние других физических систем (непрерывной среды, гравитационного или электромагнш-- ного поля и др.) Поэтому уравнения Лагранжа вида (129) играют важную роль в ряде областей физики.

§ 146. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Уравнениями Лагранжа, как уже указывалось, можно пользо­ ваться для изучения движения любой механической системы с геометрическими или сводящимися к геометрическим (голономными) связями, независимо от того, сколько тел (или точек) входит в систему, как движутся эти тела и какое движение (абсолютное или относительное) рассматривается.

Чтобы для данной механической системы составить уравнения

му в произвольном положении и показать на рисунке все действую­ щие силы (для систем с идеальными связями только активные)-,

379

3) вычислить обобщенные силы Q,- путем, указанным в § 143; при этом во избежание ошибок в знаках каждое сообщаемое системе возмож­ ное перемещение должно быть направлено так, чтобы приращение соответствующей координаты, было положительным', 4) определить кинетическую энергию Т системы в ее абсолютном движении и вы­ разить эту энергию через обобщенные координаты qt и обобщенные

скорости qt\ 5) подсчитать соответствующие частные производные

от Т по qt и qt и подставить все значения в уравнения (127). Указанным путем уравнения Лагранжа составляются независи­

мо от того, рассматривается ли абсолютное (по-отношению к инер­ циальной системе отсчета) или относительное движение механиче­ ской системы. Но в последнем случае возможен и другой путь, а именно кинетическую энергию системы определять в ее относитель­ ном движении, но зато при нахождении обобщенных сил присоеди­ нить к силам, действующим на систему, переносные силы инерции (чего при использовании первого пути делать не надо).

Из полученных уравнений, если заданы действующие силы и начальные условия, можно, интегрируя эти уравнения, найти закон движения системы в виде (107). Если же задан закон движения, то составленные уравнения позволяют определить действующие силы.

Когда все приложенные к системе силы являются потенциаль­ ными, уравнения Лагранжа можно составлять в вйде (129). При этом вместо вычисления обобщенных сил надо определить потенци­ альную энергию системы, выразив ее через обобщенные координаты, и затем, определив еще и кинетическую энергию, составить функцию Лагранжа (128).

Начнем с задачи, позволяющей легко уяснить Порядок составле­ ния уравнений Лагранжа.

Задача 175. Составить, пользуясь методом Лагранжа, дифференциальное урав­ нение колебаний физического маятника (см. § 129).

Р е ш е н и е . Маятник имеет одну степень свободы и его Положение определя­ ется углом <р (см. рис. 324). Следовательно, ?1=(р. Сообщая углу <р положительное приращение 6<р, найдем, что на этом перемещении работу совершает только сила

тяжести Р и 6i4t= (—Ра sin ф)6ф, где а—ОС. Поэтому Qt= —Pa sin <р. Кинетиче­ ская энергия маятника T = J ou ?l2 или T = J оЦ?!2 (напоминаем, что величина Т

должна быть выражена через обобщенную скорость, a w=q>). Уравнение Лаг­ ранжа, так как имеет вид

В данном случае, поскольку Т от угла ф не зависит,

Подставляя найденные величины в уравнение (а), получим

/0ф = — Ра sin ф,

т.е. тот же результат, что и в § 129.

360