Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

Р е ш е н и е . В равновесном положении (рис. 261, а) на цилиндр действуют

сила тяжести Р и архимедова сила Na, равная численно весу вытесненной жидко­ сти, т. е. Nt=ySh (ft — высота погруженной части цилиндра при равновесии).

Проведем из начального положения точки С вертикально вниз ось Сх и изоб­ разим цилиндр в произвольном положении, при котором точка С смещена вниз на

величину х (рис. 261, б). На цилиндр в этом положении действуют: сила тяжести Р, архимедова сила N и сила сопротивления R (при движении цилиндра вниз, т. е.

когда их>0, она направлена вверх); изобразим силы Р и R приложенными в точ­ ке С. Поскольку дополнительное погружение цилиндра равно х, то N= yS (А+дг)= =Nt+ySx (мы видим, что N здесь является восстанавливающей силой, пропорцио­

~х+2Ьх+кш = 0,

такому же, как у уравнения (76). Тогда по формуле (82), учтя обозначения (а), найдем для искомого периода колебаний значение

V yS/m— ц2/4т*

S 96. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС

Рассмотрим важный случай колебаний, возникающих когда на точку кроме восстанавливающей силы F действует еще периодически

изменяющаяся со временем сила Q, проекция которой на ось Ох равна

Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происхо­ дящие при действии такой силы, называются вынужденными. Вели­ чина р в равенстве (83) является частотой возмущающей силы.

Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со вре­ менем и по другому закону. Мы ограничимся рассмотрением слу­ чая, когда Qx определяется равенством (83). Такая возмущающая сила называется гармонической. Конкретный пример ее дан ниже в задаче 117.

которую кроме восстанавливающей силы F (см. рис. 253) действует

только возмущающая сила Q: Дифференциальное уравнение движе­ ния в этом случае будет

тх ——caj+Q# sin pt.

* Получаемые В'Этом пункте результаты могут быть найдены как частный слу­ чай из п. 2.

Разделим обе части этого уравнения на т и положим

clm—k*, Qtlm =Pt,

где Р 0имеет размерность ускорения. Тогда дифференциальное урав­

Уравнение (85) является дифференциальным уравнением вынуж­ денных колебаний точки при отсутствии сопротивления. Его ре­ шением, как известно из теории дифференциальных уравнений, бу­ дет x=x1+xt, где Xi — общее решение уравнения без правой части, т. е. решение уравнения (67), даваемое равенством (69), a xt — ка­ кое-нибудь частное решение полного уравнения (85).

Полагая, что рфк., будем искать решение хшв виде

х%—В sin pt,

где В — постоянная величина, которую надо подобрать так,чтобы равенство (85) обратилось в тождество. Подставляя значение х% и его второй производной в уравнение (85), получим

—р*В sin pt+k\B sinpt=Pt sin pt.

Это равенство будет выполняться при любом t, если В (k%—p') = Р, или

B = P ,/(**-/>*).

Таким образом, искомое частное решение будет

где А И а — постоянные интегрирования, определяемые по началь­ ным данным. Решение (87) показывает, что колебания точки слага­ ются в этом случае из: 1) колебаний с амплитудой А (зависящей от начальных условий) и частотой k, называемых собственными коле­ баниями; 2) колебаний с амплитудой В (не зависящей от начальных

условий) и частотой р, которые называются вынужденными колеба­ ниями.

Практически, благодаря неизбежному наличию тех или иных со­ противлений, собственные колебания будут довольно быстро зату­ хать. Поэтому основное значение в рассматриваемом движении име­ ют вынужденные колебания, закон которых дается уравнением (86).

Частота р вынужденных колебаний, как видно, равна частоте возмущающей силы. Амплитуду этих колебаний, если разделить числитель и знаменатель на k\, можно представит^ в виде

242

дим, В зависит от отношения частоты р возмущающей силы к часто­ те k собственных колебаний. Введем обозначения

г—р/к, rj=В1Хц. (88')

Безразмерный коэффициент т] называют коэффициентом динамично­ сти. Он показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных коле­ баний В (т. е. максимальное отклонение точки от центра колебаний) больше статического отклонения К , и зависит от отношения час­ тот г. График этой зависимости, определяемой равенством (88), по­ казан ниже на рис. 264 кривой, помеченной знаком Л=0 (другие кривые на рис. 264 дают зависимость ц от г при наличии сопротивле­ ния).

Из графика [или из формулы (88)] вцдно, что, подбирая различ­ ные соотношения между р и k, можно получить вынужденные коле­ бания .с разными амплитудами. При р=0 (или p<ZM) амплитуда равна Я, (или близка к этой величине). Если величина р близка к к, амплитуда В становится очень большой. Наконец, когда p^>k, амплитуда В становится очень малой (практически .близка к нулю).

Отметим еще, что при p<.k, как видно из сравнения формул (83) и (86), фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы все вре­ мя совпадают (обе равны pt). Если же p>k, то, внося минус под знак синуса, можно представить уравненИЬ (86) в виде

* .= = 7 i5 irs in (/ rt — я ).

Следовательно, при p>k сдвиг между фазами вынужденных коле­

баний и возмущающей силы равен л (когда сила Q имеет максималь­ ное значение и направлена вправо, колеблющаяся точка максималь­ но смещена влево и т. д.).

Р е з о н а н с . В случае, когда p=k, т. е. когда частота возму­ щающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса. Формулами (86), (88) этот слу­ чай не описывается, но можно доказать, что размахи вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограничен­ но возрастать так, как это показано на

pine. 262. Подробнее общие свойства вынуж­ денных колебаний (и, в частности, резонан­ са) рассмотрены в конце этого параграфа (п. 3).

При p=k уравнение (85) частного решения xt=

=B sinpt не имеет, и это решение будем искать в виде

*2= Ct cos pt.

Тогда х,= —2Cpsinp<—pHltco&pt, и подстановка в уравнение (85), если учесть, что p=k, дает —2Cpsinp/=P^mpt, откуда С= —Я0/2р. В результате находим закон вынужденных колебаний при резонансе в случае отсутствия сопротивления:

Как видим, ралмахи вынужденных колебаний при резонансе действительно воз­ растают пропорционально времени, и закон этих колебаний имеет вид, покамкиый иа рис. 2о2. Сдвиг фаз при резонансе, равен п/2.

действуют восстанавливающая сила F, сила сопротивления R, про­

порциональная скорости (см. § 95), и возмущающая сила Q,' опреде­ ляемая формулой (83). Дифференциальное уравнение этого движе­ ния имеет вид

Деля обе части уравнения на т и учитывая обозначения (77) и (84), получим

Уравнение (91) является дифференциальным уравнением вынуж­ денных колебаний точки при наличии вязкого сопротивления. Его общее решение, как известно, имеет вид х=*х+*«, где — общее решение уравнения без правой части, т. е. уравнения (76) [при к>Ьэгто решение дается равенством (81)1, ах, — какое-нибудь част­ ное решение полного уравнения (91). Будем искать решение х, в виде

х, = В sin (pt —Р),

где В и р — постоянные, которые надо подобрать так, чтобы равен­ ство (91) обратилось в тождество. Вычисляя производные, получим:

х = Bp cos (pt— Р), £= — Bp* sin (pt— p).

Подставляя эти значения производных и величины х, в левую часть уравнения (91) и обозначая для краткости pt—р=\|) (или pt—•$+$), найдем, что

момент времени, коэффициенты при simp и cosrp в левой и правой частях должны быть порознь равны друг другу; следовательно,

В (k*—p*)= Р0соф, 2ЬрВ = P0sinP.

Из полученных уравнений (ими также пользуются для однозначно­ го определения величины Р) находим, возводя их сначала почленно в квадрат и складывая, а затем деля почленно друг на друга:

Так как х=Х!-|-х», а значение Xi (при k>b) дается равенством (81), то окончательно найдем решение уравнения (91) в виде

244

где А и а — постоянные интегрирования, определяемые по началь­ ным условиям, а значения В и р даются формулами (92) и от началь­ ных условий не зависят. При Ь=0 найденные решения дают форму­ лы (86) и (87), полученные выше для случая отсутствия сопротивле­ ния.

Рассматриваемые колебания являются сложными и слагаются из собственных (первое слагаемое в равенстве (93), рис. 263,а) н вы­ нужденных (второе слагаемое в равенстве (93), рис. 263,6). Собст­ венные колебания точки для рассматриваемого случая были изуче­ ны в $ 95. Как было установлено, эти колебания довольно быстро за­ тухают и по истечении некоторого промежутка времени /у, называемо­ го временем установления, Ими практически можно пренебречь.

Если, нупример, считать, что собст­ венными колебаниями можно пренебречь, начиная с момента, когда нх размахн бу­ дут меньше 0,01 В, то величина ty будет определяться из равенства Ле-Ь*=0,01 В, откуда

Как видим, чем меньше сопротивление (т. е. чем меньше Ь), тем время установле­ ния больше.

Одна из возможных картин установления колебаний, происхо­ дящих по закону (93) и начинаю­ щихся изсостояния покоя, показана

на рис. 263,в. При других начальных условиях и соотношениях меж­ ду частотами р и kl характер колебаний в интервале времени 0</</у может оказаться совершенно другим. Однако во всех слу­ чаях по истечении времени установления собственные колебания практически затухают и точка будет совершать колебания по за­ кону

x=Bsin(pt—Р). (95)

Эти колебания и называются вынужденными. Они представляют собой незатухающие гармонические колебания с амплитудой В , оп­ ределяемой равенством (92), и частотой р, равной частоте возмущаю­ щей силы. Величина Р характеризует сдвиг фазы вынужденных ко­ лебаний по отношению к фазе возмущающей силы.

Исследуем полученные результаты. Введем обозначения:

где г — отношение частот; А — величина, характеризующая сопро­ тивление; А* — величина статического отклонения точки под дейст-

245

вием силы Qa (например, при колебаниях груза на пружине Х„ рав­ но статическому удлинению пружины, вызываемому силой Q0).

Тогда, деля числитель и знаменатель равенств (92) на к2, полу­ чим:

Из формул (97) видно, что В и Р зависят от двух безразмерных параметров г и Л. Для большей наглядности вид этой зависимости при некоторых значени­ ях h показан на графи­ ках. На первом графи­ ке (рис. £64) даны за­ висимости коэффициен­ та динамичности rj= ==В/Х0 (показывающего, во сколько раз ампли­ туда В больше Л,0) от отношения частот г, а на втором (рис. 265) — зависимости сдвига фаз Р тоже от z. В каждой конкретной задаче по ее данным можно вычис­ лить величины Х0, г, Л и найти значения В и Р, пользуясь соответствую­ щими графиками или формулами (97). Из этих графиков (или формул)

видно также, что, меняя соотношение между р и k, можно полу­ чать вынужденные колебания с разными амплитудами.

Когда сопротивлениеочень мало, а величина г не близка к единице, в формулах (97) можно приближенно считать Ля*0.

Тогда будем иметь резуль­ таты, полученные в п. 1, а именно:

лиженно гтО , получим из формулы (97) B « V . Колебания в этом

246

случае происходят с амплитудой, равной статическому отклонению X,, и сдвигом фаз Р«0.

2. Если отношение частот г очень велико (р>Л), величина В становится малой. Этот случай представляет особый интерес для проблем виброзащиты различных сооружений, приборов и др. При этом, считая сопротивление малым и пренебрегая в (97) 2hz и еди­

3. Во всех практически интересных случаях величина Л много меньше единицы. Тогда, как видно из (97), если величина г близка к единице, амплитуда вынужденных колебаний достигает максиму­ ма. Явление, которое при этом имеет место, называется резонансом.

I h формулы (97) видно, что B= Bv= B mtx, когда стоящая в знаменателе вели­ чина /(£)= (1—Й*+4Л*£ (где £=2*) имеет минимум. Решая уравнение /' (£)= = —2 (1—| —2h*)=0 , найдем, что В имеет максимум при £= I—2Л\ т. е. при

гр = Y 1—2Л*. Следовательно,.резонанс имеет места, когда г немного меньше еди­ ницы. Но практически, пренебрегая величиной Л* по сравнению с единицей, мож­ но считать, что г9= 1. При немалых Л резонанс выражен слабо (амплитуда Bf не­

велика, см. рис. 264), а при к>У~$/2*‘0,7 резонанс, как видно из выражения для 2р и из рис. 264, вообще не возникает.

При резонансе амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз можно практически вычислять, по приближенным формулам, кото­ рые получаются из равенств (97), если в них положить 2=1:

Отсюда видно, что при малых Л величина B t может достигать Доволь­

но больших значений.

Колебания с амплитудой В 9, как и вообще вынужденные колеба­ ния, устанавливаются при резонансе не сразу. Процесс установле­ ния колебаний будет аналогичен показанному на рис. 263,в. Чем меньше сопротивление, т. е. чем меньше Ь или А, тем больше вели­ чина В р\ноодновременнобудет больше и время <уустановления этих колебаний [см. формулу (94)].

Когда сопротивление отсутствует, т. е. b = h = 0, то, как было установлено, закон вынужденных колебаний при резонансе дается уравнением (89), а график колебаний имеет вид, показанный на рис. 262. Таким образом, в случае отсутствия сопротивления процесс «раскачки» системы при резонансе длится неограниченно долго, а размахи колебаний со временем непрерывно возрастают. Аналогич­ ной будет картина резонансных колебаний при очень малых сопро­ тивлениях.

3. О б щ и е с в о й с т в а в ы н у ж д е н н ы х к о л е б а ­ ний . Из*полученных выше результатов вытекает, что вынужденные колебания обладают следующими важными свойствами, отличаю­ щими их от собственных колебаний точки: 1) амплитуда вынужден­ ных колебаний от начальных условий не зависит; 2) вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают; 3) частота вы­

247

нужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от ха­ рактеристик колеблющейся системы не зависит (возмущающая сила «навязывает» системе свою частоту колебаний); 4) даже при малой возмущающей силе (Q0мало) можно получить интенсивные вынуж­ денные колебания, если сопротивление мало, а частота р близка к k (резонанс); 5) даже при больших значениях возмущающей силы вынужденные колебания можно сделать сколь угодно малыми, если частота р будет много больше k.

Вынужденные колебания и, в частности, резонанс играют боль­ шую роль во многих областях физики и техники. Например, при ра­ боте машин и двигателей обычно возникают периодические силы, ко­ торые могут вызвать вынужденные колебания частей машины или фундамента.

Процесс изменения амплитуды этих колебаний можно просле­ дить, заставляя работать на разных оборотах двигатель, для кото­ рого р=<о, где со — угловая скорость (см. задачу 117). С увеличе­ нием со амплитуда В колебаний вибрирующей части (или фундамен­ та) будет возрастать. Когда <о=Л, ■наступает резонанс и размахи вынужденных-колебаний достигают максимума. При дальнейшем увеличении со амплитуда В убывает, а когда станет (o^>k, значе­ ние В будет практически равно нулю. Во многих инженерных соо­ ружениях явление резонанса крайне нежелательно и его следует из­ бегать, подбирая соотношение между частотами р и k так, чтобы амплитуды вынужденных колебаний были практически равны нулю iP > k ) .

Противоположный пример мы имеем в радиотехнике, где резо­ нанс оказывается очень полезным и используется для отделения сигналов.одной радиостанции от сигналов всех остальных (настрой­ ка приемника).

На теории вынужденных колебаний основывается также кон­ струирование ряда приборов, например вибрографов — приборов для измерения смещений колеблющихся тёл (фундаментов, частей машин и др.) и, в частности, сейсмографов, записывающих колеба­ ния земной коры, и т. п.

Задача 117. Балка, на которой установлен мотор, прогибается от его веса на Аст= f см. При каком числе оборотов вала мотора в минуту наступит резонанас?

Р е ш е н и е . Из формулы (75').следует, что период собственных колебаний балки

г= in V K jg .

Если центр тяжести С вала мотора смещен от оси О, то на мотор будет дей­ ствовать передаваемая через подшипники вала сила Q, направленная вдоль ОС

(рис. 266; такие силы рассматриваются в § 136). Проекция силы Q на ось Ох, рав­ ная QX=Q sin at (<о— угловая скорость вала), и будет возмущающей силой, дей­

ствующей на мотор: частота этой силы р—ш. Следовательно, период вынужденных колебаний 7д=2л/ю.

Резонанс наступит, когда 7'а= Т, т. е. лри

ш *р = >Л йгА с т = 3 1 ,З с - 1 .

248

Тогда, исходя из второго закона Кирхгофа, можно установить, что заряд q конденсатора удовлетворяет дифференциальному уравнению

Сравним это уравнение с уравнением (90), в котором для общности будем счи­ тать, что вместо QoSinpf стоит Q(f); видим, что тогда оба уравнения совпадают с точностью до обозначений. Следовательно, закон рассмот­ ренных выше, механических колебаний и закон изменения

затухающим) колебаниям. Например, для периода соб­ ственных затухающих электрических колебаний в рассматриваемой цепи по фор­ мулам (77) и (82) из § 95 получим:

**=1/0., b= R /2L и Т1 = 2л1У \/CL — R44L*.

Когдаомическое Сопротивление отсутствует, Т = 2л У CL.

Электродинамические аналогии используются для моделирования соответ­

ствующих механических колебаний, в частности и в электронных аналоговых ма­ шинах.

Глава X X *

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В ПОЛЕ ЗЕМНОГО ТЯГОТЕНИЯ

§07. ДВИЖЕНИЕ БРОШЕННОГО ТЕЛА В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ЗЕМЛИ

Задача о движении тела в поле земного тяготения возникает при изучении движения баллистических ракет и искусственных спут­ ников Земли, а также при рассмотрении проблем космических по­ летов.

Будем рассматривать движущееся тело как материальную точ­ ку массы т , а Землю считать неподвижной. Пусть в начальный мо­ мент времени эта точка находится у поверхности Земли в положении

М 0 (рис. 269) и имеет начальную скорость и0, направленную под углом а к горизонтальной плоскости. Если пренебречь сопротив­ лением воздуха (что для рассматриваемых высот полета в первом приближении допустимо), то на точку при ее движении будет дейст­

вовать только сила тяготения F, направленная к центру Земли. Как показано в §88, п. 4, модуль этой силы можно представить в вЬде

250