Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

1. Определение К г. У любой точки тела, отстоящей от оси вра­ щения на расстоянии hk, скорость vk=wKk (соj — угловая скорость

тела). Следовательно, для этой точки т г (mhvk) = mkvhhh= mkhlas. Тогда для всего тела, вынося общий множитель со за скобки, получим

Заметим еще, что формула (32) сохранит свой вид и в случае поворота тела вокруг мгновенной оси вращения 01 с угловой ско­

ростью со, так как при этом поле скоростей точек тела будет в дан­ ный момент времени таким же, как при вращении вокруг неподвиж­ ной оси. Таким образом,

2*. Определение К х и К и. Для определения К х вычислим величину mx(vk) так же, как вычисляется момент силы; при этом используем формулы (47) из § 28, заменив в них F на v. Тогда

Но согласно формулам (77')_из § 62 oky=a>xk, икг=0 (последнее сразу видно

из рис. 295); следовательно, mx(vk)= —хкгка>. В результате, вынося общий мно­ житель ш за скобки, найдем

К х= 2/п*(mkvk) = — (S m ^ ft) ш = — /хга,

так как сумма, стоящая в скобках, представляет собой центробежный момент инерции J xt (см. § 104). Аналогичное выражение получится для К у, где всюду вместо хк войдет ук. Окончательно

центра О, лежащего на оси вращения Ог, представляет собой вектор Ко, проекции которого на оси Охуг определяются формулами (32) и (34). В общем случае, как

видим, вектор К о не направлен по оси вращения Ог. Но если ось Ог будет для точ­ ки О главной осью инерции тела (в частности, осью симметрии), то J XZ= J у*=0. При этом К х—К у=0 и К о = К х. Следовательно', если тело вращается вокруг оси, являющейся для тонки О главной осью инерции тела (или вокруг оси симметрии

тела), то вектор Ко направлен вдоль оси вращения и численно равен Кж, т. е. У,со.

§ 116. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ГЛАВНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ (ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ)

Теорема моментов, доказанная для одной материальной точки (см. § 85), будет справедлива для каждой из точек системы. Следо­ вательно, если рассмотреть точку системы с массой т к, имеющую

скорость vh, то для нее будет

Й о (т А^*)] - «о (F%) + т 0(F‘k),

где F% и F lk — равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на данную точку.

Составляя такие уравнения для всех точек системы и склады­ вая их почленно, получим

-^-[2/л0 (т ку*)] = 2m0(F£) + 2m0(F„! ).

Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равна

м е н т о в для системы: производная повремени от главногомомента количеств движения системы относительно некоторогонеподвижного центра равна сумме моментов всехвнешнихсил системы относитель­ но того оке центра.

Проектируя обе части равенства (35) на неподвижные оси Охуг,

Уравнения (36) выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси.

Доказанной теоремой широко пользуются при изучении враща­ тельного движения тела, а также в теории гироскопа и в теории удара. Но значение теоремы этим не ограничивается. В кинематике было показано, что движение твердого тела в общем случае слага­ ется из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Если за полюс выбрать центр масс, то поступательная часть движения тела может быть изучена с помощью теоремы о движении центра масс, а вра­ щательная — с помощью теоремы моментов. Это показывает важ­ ность теоремы для изучения движения свободного тела (летящий самолет, снаряд, ракета; см. § 132) и, в частности, для изучения плоскопараллельного движения (см. § 130).

Практическая ценность теоремы моментов состоит еще в том, что она, аналогично теореме об изменении количества движения, позво­

292

ляет при изучении вращательного движения системы исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.

Т е о р е м а м о м е н т о в о т н о с и т е л ь н о ц е н т р а масс* . Чтобы применять теорему моментов к изучению плоскопараллельного движения или движения свободного твердого тела, надо найти вы­ ражение этой теоремы для движения систе­ мы относительно центра масс. Пусть Охуг— неподвижные оси, по отношению к которым движется рассматриваемая механическая система, а Сх'у'г' — оси перемещающиеся поступательно вместе с центром масс С этой системы (рис. 296), при этом оси

все уравнения динамику можно составлять в осях Сх'у'г' так же, как в неподвижных, если к действующим на каждую из точек си­

стемы силам Fek и F* прибавить переносную силу инерции FJJ пер (кориолисовы силы инерции в данном случае равнц нулю, так как оси Сх'у'г' движутся поступательно). Следовательно, уравнение (35) в осях Сх'у'г' примет вид

поскольку сумма моментов внутренних сил относительно любого центра равна нулю. При этом величина К.с вычисляется по формуле

где vl — скорости точек системы по отношению к осям Сх'у'г'. Найдем значение последней суммы в равенстве (37). По опре­

делению, F* пер=—mha„ пеР. Так как оси Сх'у'г' движутся поступа­ тельно, то для любой из точек В* системы ак пер=ас; следовательно,

Fk ntv=—mhac и mc ( F ^ p)= ^ X (- т кЪс)= - т ^ Х а с. Тогда, вы­ нося общий множитель ас за скобки и учитывая, что по формуле

(Г) 2 т кл*=М г 'с , получим

2тс (^пер) = — (2тАГ;) Xflc= - М7'с хас=О,

так как точка С является в системе осей Сх'у'г' началом координат и г 'с = 0. В результате равенство (37) дает

(38)

Сравнивая этот результат с уравнением (35), приходим к выводу, что для осей, движущихся поступательно вместе с центром масс системы, теорема моментов относительно центра масс сохраняет то т же вид, что и относительно неподвижного центра. Точно так

293

же для моментов относительно осей Сх'у'г' из (38) получаются урав­ нения, аналогичные уравнениям (36).

Заметим, что в любой другой подвижной системе отсчета будет

или г'сФ0, или не будут равны нулю кориолисовы силы инерции и уравнение моментов не будет иметь вид, совпадающий с (35).

$ 117. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ГЛАВНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ

Из теоремы моментов можно получить такие следствия.

1. Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю

2 т 0(Л*) = 0.

Тогда из уравнения (35) следует, что при этом /С0=const. Таким образом, если сумма моментов относительно данного центра всех приложенных к системевнешних сил равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этого центра будет численно и по направлению постоянен. Приложение этого результа­ та к случаю движения планеты было рассмотрено в § 86.

2. Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их моментов относительно некоторой неподвижной оси Ог равна нулю

Im t (FD = 0.

Тогда из уравнений (36) следует, что при этом /C2=const. Таким образом, еслисумма моментов всех действующих на систему внешних сил относительно какой-нибудь оси равна нулю, то главный момент количеств движения системы относительно этой оси будет величи­ ной постоянной.

Эти результаты выражают собой закон сохранения главного мо­ мента количеств движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить главный момент количеств движения системы'не могут.

С л у ч а й в р а щ а ю щ е й с я с и с т е м ы . Рассмотрим систему, вращающуюся вокруг неподвижной (или проходящей через центр масс) оси г. Тогда по формуле (32) K Z= J ZM . Если в этом слу­

чае hmz(Fek)=0, то

/ гю=const.

Отсюда приходим к следукйцим выводам:

а) если система неизменяема (абсолютно твердое тело), то J z~ =const и, следовательно, co=const, т. е. твердое тело, закрепленное на оси, вращается в этом случае с постоянной угловой скоростью; б) если система изменяема, то под действием внутренних (или внешних) сил отдельные ее точки могут удаляться от оси, что вы­ зывает увеличение J t, или приближаться к оси, что приведет к уменьшению J z. Но поскольку y zto=const, то при увеличении мо-

294

мента инерции угловая скорость системы будет уменьшаться, а при уменьшении момента инерции — увеличиваться. Таким обра­ зом, действием внутренних сил можно изменить угловую скорость системы, так как постоянство К г не означает вообще постоянства <о.

Рассмотрим некоторые примеры.

а) О п ы т ы с п л а т ф о р м о й Ж у к о в с к о г о . Для демонстрации закона сохранения момента количеств движения удобно пользоваться простым прибором, называемым «платформой Жуковского». Это круглая горизонтальная платформа на шариковых опорных подшипниках, которая может с малым тре­ нием вращаться вокруг вертикальной оси г. Для человека, стоящего па такой

платформе, 2mt(F%)—0 и, следовательно, J zio=.const. Если человек, разведя руки в стороны, сообщит себе.толчком вращение вокруг вертикальной оси, а за­ тем опустит руки, то величина J г уменьшается и, следовательно, угловая ско­ рость вращения возрастет. Таким способом увеличения угловой скорости широко пользуются в балете, при прыжках в воздухе (сальто) и т. п.

Далее, человек, стоящий на платформе неподвижно (Kt =0), может повергуться в любую сторону, вращая вытянутую горизонтально руку в противопо­ ложном направлении. Угловая скорость человека при этом будет такой, чтобы в сумме величина K t системы осталась равйой нулю.

б) Р а с к а ч и в а н и е к а ч е л е й . Давлением ног (сила внутренняя) человек, стоящий на качелях, раскачать их не может. Сделать это можно следую­ щим образом. Когда качели находятся в левом верхнем положении А9, человек приседает. При прохождении через вертикаль он быстро выпрямляется. Тогда массы приближаются к оси вращения г, величина У, уменьшается и угловая ско­ рость о скачком возрастает. Это увеличение ш приводит в конечном счете к тому, что качели поднимутся выше начального уровня Аа. В правом верхнем поло­ жении, когда ш=0, человек опять приседает 11 J z увеличивается, но о» остается равной нулю; при прохождении через вертикаль он снопа выпрямляется и т. д. В результате размахи качелей будут возрастать.

Происходящие при этом вынужденные колебания качелей называются пара­ метрическими, так как они совершаются не под действием периодически меняю­ щейся силы (см. § 96), а вследствие периодического изменения параметров систе­ мы: ее момента инерции и положения центра тяжести.

в) Р е а к т и в н ы й м о м е н т в и н т а . Если рассматривать корпус вер­ толета (вместе с двигателем), его винт и отбрасываемую массу воздуха.кыЦодну систему, то силы взаимодействия между двигателем и винтом и между винтом и воздушной средой будут для этой системы внутренними и не могут изменить ее суммарный момент количеств движения, равный до пуска двигателя нулю. Поэтому корпус вертолета должен начать вращаться в сторону, противополож­ ную направлению вращения винта и воздушной среды. Действующий при этом на вертолет вращающий момент называют реактивным моментом. Чтобы предот­ вратить реактивное вращение корпуса одновинтового вертолета, на его хвостовой части устанавливают соответствующий рулевой винт. У многовинтового вертолета винты делают вращающимися в разные стороны.

Появление реактивного момента можно использовать для эксперименталь­ ного определения вращающего момента авиационного двигателя, так как эти моменты равны друг другу по модулю, а реактивный момент можно измерить, установив двигатель с вращающимся винтом на соответствующих весах.

§ 118. РЕШ ЕНИЕ ЗАДАЧ

Теоремой моментов пользуются для изучения вращательного движения тел (см. § 128, 131, 132).

Закон сохранения момента количеств движения позволяет по величине или по скорости перемещения одной части системы опре­ делить изменение угловой скорости (или угол поворота) другой ее части. При этом из рассмотрения исключаются все наперед неизвест­

295

ные внутренние силы, а также внешние силы, пересекающие ось вращения или ей параллельные.

Задача ISO. Д га диска насажены на сбщий вал (рис. 297). В некоторый момент времени вал слегка закручивают и предоставляют самому себе. Пренебре­ гая массой вала, определить зависимость между угловыми скорбстями и углами поворотов дисков при их крутильных колебаниях,

ческий момент системы относительно оси х равен сумме кинетических моментов каждого из дисков относительно той же оси). Отсюда

<0j =— и ф1~ —^2ф2/А>

где ф] и ф2 — углы закручивания дисков, отсчитываемые от начального положе­ ния (последний результат получается интегрированием первого равенства).

Таким образом, колебания будут происходить в противоположные стороны, а угловые амплитуды колебаний будут обратно пропорциональны моментам инерций дисков. Неподвижное сечение будет ближе к диску, момент инерции ко­ торого больше.

Задача 181. У вертолета с двумя соосными винтами, вращающимися.в раз­ ные стороны, один винт в полете внезапно останавливается, а другой продол­ жает вращаться вокруг вертикальной оси г с угловой скоростью d>j.-Момент инер­ ции относительно оси г вращающегося винта равен J u а вертолета вместе с оста­

известны, но они станут внутренними, если рассмотреть в качестве механической системы вертолет вместе с винтами. Остановку винта вызвали тоже внутренний силы, которые не могут изменить кинетический момент Кг системы, равный до этого (когда оба винта вращались в разные стороны) нулю. Следовательно, и после остановки винта должно быть /С2=У1(й),+ш2)+ У2ыа= 0, где /JWj+Wj) — ки­ нетический момент вращающегося винта (винт, вращаясь еще и вместе с верто­ летом, будет иметь абсолютную угловую скорость e>ae= tOj-f- о2), а Л<о2— ки­ нетический момент вертолета вместе с остановившимся винтом. В результате маходим

ш2=—/^/(Л+Л)-

Знак указывает, что направление ш2 противоположно со,.

При решении задач необходимо обращать внимание на то, что в исходные,

выражения величины К г (или Ко) входят абсолютные скорости точек и тел сис­ темы.

Задаче 132. В регулятйре АВ, имеющем вертикальную ось вращения Ог (величина У* регулятора известна), помещены два симметрично расположенных груза массой т каждый, прикрепленных к пружинам (рис. 298). Когда грузы на­ ходятся в точках С, отстоящих от оси Ог на расстояниях I, регулятор вращается с заданной угловой скоростью о)0. В некоторый момент времени угловая скорость изменяется н грузы начинают совершать около центров С одинаковые затухающие колебания. Пренебрегая трением в оси, найти, как будет изменяться угловая ско­ рость ш регулятора в зависимости, от положений грузов, считая их материаль­ ными .точками.

Р е ш е н и е . Чтобы исключить неизвестные нам силы упругости пружин и силы трения грузов о направляющие, рассмотрим регулятор и грузы как одну систему. Тогда, поскольку силы тяжести параллельны оси Ог, а реакции подшип­

ников пёресекают эту ось,-2 т х(/г*)= 0 и должно быть Kr= Kzer+ 2KP>=const

2S6

Найдем сначала КгР- Скорость груза и=иот+ упер и К гР=етг(ти0Т)+ -\-m,(mv„ер). Но вектор v0T направлен по оси Сх, пересекающей ось Ог; следо­ вательно, т г(тиот)—0. Скорость t^,ep перпендикулярна плоскости х,г, а ее

модуль tinep=b)(Z-(-Jc). Тогда K lp=mvnep (1+х)=тш (/+х)а-Учтя еще, что Кгег— —J t<о, получим

^ = [^ + 2т(/+дг)»]о).

При х—0 о>=ш0 и /CZ0= (/i +2/n/s)(D0. Так как /Сг= const, то К г= К 2ц, что окон­ чательно дает

Рис. 298

Задача 133. Однородный диск /, имеющий массу т , и радиус /?, насажен на перпендикулярную ему вертикальную ось Сг (рис. 299, где показан вид сверху). На диске сделан паз, в середине О которого находится ползун 2 массой т а(ОС=> ■=Л). В момент времени /0= 0 имеющийся на диске толкатель (на рис. 299 не по­

казан) сообщает 'ползуну скорость и, с которой ползун продолжает двигаться. Определить зависимость угловой скорости, с которой начнет вращаться диск, от положения ползуна.

Р е ш е н и е . Рассмотрим диск и ползун как одну систему. Моменты дейст­ вующих на нее внешних сил относительно оси Сг равны нулю (см. рис. 298); следовательно, const. Поскольку до момента времени /0=0 система была в покое, а ее движение начинается под действием внутренних сил, которые янагение К г изменить не могут, то и в момент <0=0 К г= 0. Отсюда в любой момент

Полагая теперь Кж=0 и считая для диска У^^О.бт^ 1 [см. § 102, формула (8)), найдем окончательно

297

П р и м е ч а н и е . В данной задаче (и ей аналогичных) было бы ошибочно

считать, что так как в момент /0= 0 ползун получил скорость и, то у системы К го= mtuh (а не Кго^О). В действительности же внутренние силы изменить зна­

чение К г не могут; поэтому, сообщив ползуну при t0=0 скорость и, они одно­ временно сообщат диску угловую скорость ш0, такую, что у системы сохранится Л ,0=0. Из решения (б) видно, .что при /0=0, когда и s=0, диск получает сооб­ щенную внутренними силами угловую скорость о>0==—mjiu!(0,5mi/?*+mji2), что и дает К г9=0. Затем, при возрастании s, модуль <о убывает.

Если же принять Кц>—т,иЛ, то, полагая К г—1\го, гдеТС, дается равенством (а), получим со=0. Такой результат действительно имеет место, когда скорость и

Для данной системы K o —KB>-\-Ko‘v. Груз движется поступательно и его скорость »=<■V. Барабан вращается вокруг неподвижной оси О и для него J о= ■=(Я/г)р* [см. § 102, формула (4)1. Тогда

*oP= (Q/8)w . K Q‘P = (P/g) p2w и Ко =(Qr» + Pp> /g.

Для моментов сил получим 2 т 0{Р% )~Qr—

Подставляя все эти величины в равенство (а), найдем

ЯО±££

отсюда

(Qr— M TV)g

8= Q^ + ^P? '

i119* ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕМЫ МОМЕНТОВ

КДВИЖЕНИЮ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)

Рассмотрим опять (см. §113). установившееся течение жидкости (газа) в трубке тока (или в трубе). Выделим в трубке объем жидкости 1—2, ограниченный сечениями 1 м2, который за промежуток време­ ни d/ переходит в положение 3— 4 (рис. ЗШ). Найдем, как за время

d/ изменится момент количеств движения К 0 этого объема жидкости относительно некоторого центра О: Рассуждая так же, как в § 113, придем к вывсщу, что это изменение определится равенством, ана­ логичным полученному пр>и выводе формулы (23), т. е. что

где К 1г и — моменты количеств движения жидкости в объемах 1—3 и 2— 4 соответственно.

298

Для определения К ц разобьем площадь S* сечения 1 на эле­ менты Ash. За промежуток времени d/ через площадку As* в объем 1—3 войдет масса жидкости A/nft=(Gc/Sx)Ash 'dt (Gc— секундный расход массы). Момент количества движения этой массы будет

& K i3 =rh'Xbjnh-vl=r)l XVi(Gc/Si)Ash'dt, где г*— радиус-вектор эле­

мента Asfe; — средняя скорость жидкости в сечении 1. Тогда, вынося общие множители за скобки, получим

ти площадей соответствующих сечений трубки тока (трубы).

Если величину Gcm0(v) назвать секундным моментом количеств движения жидкости относительно центра О, то теорему, выражен­

Задача 135. В радиальной гидротурбине, у которой внешний радиус, рабо­ чего колеса гх, а внутренний г2, вода имеет на входе абсолютную скоростьг^, а на

выходе — абсолютную скорость о,; при этом векторы vt и и. образуют с касатель­ ными к ободам колеса углы ах и а 2, соответственно (рис. 302, где показан один канал между двумя лопатками турбины). Полный секундный расход массы воды через турбину Сс. Определить действующий на турбину момент относительно ее оси Ог сил давления воды (ось Ог направлена перпендикулярно плоскости чер­ тежа).

299

Р е ш е н и е . Воспользуемся уравнением (39') в проекции на ось Ог, считая движение воды плоским. Так как в силу симметрии центр тяжести воды, запол­ няющей все каналы, лежит на оси Ог, то момент массовых сил (сил тяжести) относительно этой оси равен нулю. Поверхностные внешние силы давления во входном и выходном сечениях направлены вдоль радиусов и их моменты отно­ сительно оси Ог тоже равны нулю. Таким образом, в правой части уравнения (39')

сохранится только момент поверхностных сил дав­ ления на жидкость лопаток турбины. Поскольку искомый момент Мж сил давления воды на лопатки турбины имеет противоположное направление, то из (39') в проекции ось Ог получим

Af,=Oc [т, (t>7)—т г(у,)].

Здесь Gc полный расход воды через все каналы и поэтому М г будет искомым полным моментом. Из

рис. 302видно, что mt(v1)=mo{v1)= r1v1cosau ана­ логично m,(t>;)=r2t>2cos а2. Таким образом,

П р и м е ч а н и е . По формуле (46) из § 87

мощность N = F i v. Если сила ¥ действует на тело, вращающееся вокруг оси Ог, то u= w и Ar=/7Tro>= = Мги>(см. § 122). Тогда, умножив обе части равен­ ства (а) на ш и учтя, что г1а>=и1, гаш=и„ где и1 —

окружная скорость на внешнем, av, на внутреннем ободеколесатурбины, получим iV=Gc(u,t),cos <Xj—Ujti,cosо,).

Это уравнение, устанавливающее зависимость между основными динами­ ческими характеристиками турбины, называют турбинным уравнением Эйлера,

§ 120. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Представим уравнения (16) из § 107 и (35) или (38) в виде:

Покажем, что из этих уравнений, являющихся следствиями законов, изложенных в §74, получаются все исходные результаты статики.

1.Если механическая система находится в покое, то скорост

всех ее точек равны" нулю и, следовательно, ус=0 и /Со—0, где О — любая точка. Тогда уравнения (40) дают:

Таким образом, условия (40') являются необходимыми условиями равновесия любой механической системы. Этот результат содержит в себе, в частности, сформулированный в § 2 принцип отвердевания.

Но для любой системы условия (40'), очевидно, достаточными условиями равновесия не являются. Например, если изображенные на рис. 274 точки Ai и А %являются свободными, то под действием

сил F it и Fn они могут двигаться навстречу друг другу, хотя усло­ вия (40') для этих сил будут выполняться. Необходимые и достаточ-

300