Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики
.pdfтельно, FKop=2m(og<cosA, и первое из уравнений (60) примет вид
i = 2 (cog cos X) t.
Так как величина, стоящая в скобках, постоянная, то, интегрируя это урав нение, получим:
х= (cog cosX ^+Cj, х— (cog cosX)^/3+Cx<+C2.
Подстановка начальных данных дает Cj=Ca= 0 . Таким образом, уравнения, приближенно определяющие закон относительного движения точки, будут:
х= (cogcos A.) <*/3, у= Н —gf*/2.
Движение оказывается непрямолинейным и падающая точка действительно отклоняется к востоку. Исключив из предыдущих равенств время t, получим в пер вом приближении уравнение траектории точки (полукубическая парабола):
cos* X(И |
j/)®. |
|
|
Полагая здесь у= 0, найдем восточное отклонение е, которое точка будет иметь |
|||
в момент падения на Землю*: |
|
|
|
e = - z - cocos X |
1 |
/ ------ |
(61) |
3 |
У |
g |
|
Как видим, отклонение е пропорционально угловой скорости Земли со и явля ется величиной малой. Например, на широте Москвы (А.=55°47', g=9,816 м/с*) при падении с высоты Н= 100 м величина г—1,2 см.
Ряд опытов, проведенных во многих пунктах Земли разными исследователя ми, подтверждает правильность результата, который дает формула (61).
Рассмотрим движение точки, брошенной из пункта О вертикально вверх с на
чальной скоростью ц>. Сила F"0р при подъеме будет в первом приближении направ лена на запад. Тогда, если направить ось Ох также на запад (рис. 252, б), то диффе ренциальные уравнения движения сохраняют вид (60), а начальные условия будут: при < = 0 * = 0 , у= 0, vx=0, vv=v0.
При этих условиях второе из уравнений (60) дает: |
|
v„=v0—gi, y=v0t —gt2/2. |
(62) |
Тогда, считая, как и в предыдущей задаче, приближенно v=vu, получим F^op— = 2т ш (i>0—gt)cosA, и первое из уравнений (60) примет вид
x= 2 (со cos А) (v0—gt).
Это уравнение будет описывать движение точки и при ее падении вниз, так как
происходящее при этом изменение направления вектора F£0р учтется изменением знака множителя (v0—gt)—vv.
Интегрируя полученное уравнение при начальных условиях задачи, найдем
окончательно |
(63) |
* = co-cos X(v0P—g^/3). |
Полагая в равенстве (62) у—0, найдем время движения точки до момента ее па
дения на Землю: tl=2v0lg. Учитывая одновременно, что и0= Y2gH lt где Ну — вы сота подъема, определим из уравнения (63) западное отклонение точки в момент
* При определении модуля и направления силы F"0р мы в первом прибли жении пренебрегали составляющей скорости vx, направленной на восток. Вслед
ствие наличия этой скорости сила F”op будет иметь дополнительную составляю щую, вызывающую отклонение точки к югу. Так как х= (cog cos k)ls/3, то скорость
vx=x пропорциональна со и отклонение к югу пропорционально со8, т. е. является малой величиной второго порядка.
231
падения: |
|
___ |
|
|
OB = ef = w cosA ,^p или е*=-^- со со» X " |/" ^ L l . |
(64) |
|
Из формул (61) и (64) видно, что при Hi=H отклонение ej=4e. |
|
||
Если движение |
точки может продолжаться дальше (точка бросания О не на |
||
поверхности |
Земли), |
то траектория точки, начиная от пункта В, будет все время |
|
отклоняться |
на восток. |
|
Все эти расчеты относятся, как было указано, к движению в безвоздушном про странстве и учитывают влияние вращения Земли только в первом приближении;
Глава XIX
ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ
f 94. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ УЧЕТА СИЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Учение о колебаниях составляет основу ряда областей физики и техники. Хотя колебания, рассматриваемые в различных обла
стях, например в механике, |
радиотехнике, акустике и др., отлича- |
||||||
— - |
_ |
" |
ются друг от друга по своей физической при- |
||||
% |
роде, основные законы этих колебаний во всех |
||||||
|
j |
Lj |
■* случаях остаются |
одними и теми же. |
Поэ |
||
|
Рис. 253 |
|
тому изучение механических колебаний явля- |
||||
|
|
ется важным не только по той |
причине, что |
||||
|
|
|
такие |
колебания |
очень часто |
имеют |
место |
в технике, но и вследствие того, что результаты, полученные при изучении механических колебаний, могут быть использованы для изучения и уяснения колебательных явлений в других областях.
Начнем с изучения свободных колебакий точки без учета сил сопротивления.. Рассмотрим точку М , движущуюся прямолинейно
под действием одной только восстанавливающей силы F, направлен ной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию от
этого центра. Проекция силы F на ось Ох (рис. 253) будет
Fx——cx. (65)
Сила F, как видим, стремится вернуть точку в равновесное по ложение О, где Р = 0; отсюда и наименование «восстанавливающая» сила. Примером, такой силы является сила упругости (см. § 88, рис. 232) или сила притяжения, рассмотренная в задаче 92 (см. § 80).
Найдем закон движения точки М. Составляя дифференциальное
уравнение движения в проекции на ось х (уравнение 12 из § 79), по лучим:
тх — Fx или тх = — сх.
Деля обе части равенства на т и вводя обозначение |
|
с/т=к*, |
(66) |
232
приведем уравнение к виду |
|
х + кгх = 0. |
(67) |
Уравнение (67) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии-сопротивления. Решение это го линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде x= ent. Полагая в уравнении (67) x= ent, полу чим для определения п характеристическое уравнение л*+6а=0. Поскольку корни этого уравнения являются чисто мнимыми (rti,2=
—±ik), то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (67) имеет вид
*=Ci sin kt+ C 2cos kt, |
(68) |
где Cj и С, — постоянные интегрирования. Если вместо постоянных и С, ввести постоянные А и а, такие, что С ^ Л со эа, Ct= A s\na,
то получим х —А (sin kt cos a+cosW sin а) |
или |
*=/lsin(W +a). |
(69) |
Это другой вид решения уравнения (67), в котором постоянными интегрирования являются А и а. Им удобнее пользоваться для об щих исследований.
Скорость точки в рассматриваемом движении |
|
|
vx—x= A k cos (kt+a). |
|
(70) |
Колебания, совершаемые точкой по закону |
(69), |
называются |
гармоническими колебаниями. График их при |
а= л /2 |
показан на |
рис. 127, в (см. § 45).
Всем характеристикам этого движения можно дать наглядную кинематическую интерпретацию. Рассмотрим точку В, движущуюся рапномерно по окружности радиуса А из
положения В0, определяемого углом DOB0= —а (рис. 254). Пусть постоянная угловая скорость вращения радиуса ОВ равна k. Тогда в произвольный момент времени t угол ф==/D O B = a + kt и легко видеть, что проекция М точки В на диаметр, перпен дикулярный DE, движется по закону х= =i4sin(W +a), где *=0/Vf, т е. совершает гармонические колебания.
Величина А, равная наибольшему откло нению точки Af от центра колебаний О, на зывается амплитудой колебаний. Величина
<p=W+a называется фазой колебаний. Фаза ф в отличие от коорди наты х определяет не только положение точки в данный момент вре мени, но и направление ее последующего движения; например, из положения М при фазе, равной ф, точка движется вправо, а при фазе, равной (п—ф),— влево. Фазы, отличающиеся на 2я, считают ся одинаковыми (на рис. 127, в светлыми точками отмечены две одц-
233
наковые фазы). Величина а определяет фазу начала колебаний (на чальная фаза). Например, при а = 0 колебания происходят по за кону синуса (начинаются от центра О со скоростью, направленной вправо), при <р=я/2 — по закону косинуса (начинаются из поло жения х —А to скоростью 0о=О). Величина к, совпадающая с угло вой скоростью вращения радиуса ОВ, показанного на рис. 254, на зывается круговой частотой колебаний.
Промежуток времени Т (или т), в течение которого точка совер шает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на 2л. Следовательно, должно быть kT=2n, откуда период
7 = 2я/Л. |
(71) |
Величина v, обратная периоду и определяющая число колеба ний, совершаемых за 1 с, называется частотой колебаний:
v= llT= kl2n. |
(72) |
Отсюда видно, что величина k отличается от v только постоян ным множителем 2л. В дальнейшем мы обычно для краткости часто той колебаний будем называть и величину k.
Найдем теперь значения постоянных интегрирования А и а. О п р е д е л е н и е А н а по н а ч а л ь н ы м у с л о в и я м .
Считая, как всегда, при /= 0 x —xt и vx—vt, получим из (69) и (70) х,= А sin a, vJk—A cos а. Отсюда, складывая сначала почленно квад раты этих равенств, а затем деля их почленно одно на другое, най
дем: |
_______ |
|
|
A = V x l + vVk%, tg о = kxt/v0. |
(73) |
О п р е д е л е н и е А я а по к р а е в ы м у е л о в и я м (см. § 79). Пусть вместо начальных заданы краевые условия вида: при t= 0 х = 0, а при t= tx х=1. Тогда из (69) получим0 = sin a ,/= i4 sin (#!+<»), откуда a=0,.A=f/sinJWj, ирешением уравнения (67) . будет х= (//sin ktx) sin kt, если только t1^nlk= Т12. Если же <!=л/й (или 2яfk и т. д.), то для определения А получится уравнение /=/4sin я, которому при 1Ф0 удовлетворить нельзя, и задача решения не имеет. А если 1=0 и t^ n /k , то для определения А получится уравнение 0=j4sinn, которое удовлет воряется при любом А, и, следовательно, уравнение (67) идеет неоднозначное ре шение *=/lsin kt, где А — любое число.
Таким образом, в отличие от задач с начальными условиями, краевые задачи могут ийеть неоднозначные решения или вовсе не иметь решения. В рассмотренных случаях это' объясняется тем, что если по условиям при / = 0 дс=0 , то и через поляериода, т. е. при tx—hlk, должно быть тоже *=0. Поэтому здесь удовлетворить
условию при tx—nlk |
х=1ф0 нельзя, а условие при t^ n lk x=L=Q удовлетво |
||
ряется всегда, т. е. при колебаниях с любой амплитудой А. |
|
||
С в о й с т в а |
с в о б о д н ы х |
к о л е б а н и й . |
В заключе |
ние отметим следующие важные |
свойства свободных |
колебаний: |
1) амплитуда н начальная фаза колебаний зависят ог начальных (или краевых) условий; 2) частота k, а следовательно, и период Т колебаний от начальных (или краевых) условий не зависят [опре деляются равенствами (66) и (71)] и являются неизменными харак теристиками данной колеблющейся системы.
234
Отсюда, в частности, следует, что если в задаче требуется опре делить только период (или частоту) колебаний, то надо составить дифференциальное уравнение движения и привести его к виду (67). После этого Т найдется сразу по формуле (71) без интегрирования.
Рассмотренные колебания, как и те, что будут рассмотрены в § 95, 96, называют линейными, так как они описываются линейны ми дифференциальными уравнениями. То, что период этих колеба ний не зависит от начальных (или краевых) условий, а следователь но, и от амплитуды, является одним из основных свойств линейных
колебаний. |
Колебания, |
которые |
|
У |
|
|||
описываются |
нелинейными |
диф |
|
|
||||
|
|
|
||||||
ференциальными уравнениями, на |
0 |
0, F |
М Р х |
|||||
зывают |
нелинейными', |
они |
упомя |
|||||
нутыми |
свойствами |
не |
обладают |
|
Лег, |
X |
||
(см. задачу Г15). |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
В л и я н и е п о с т о я н н о й |
|
Рис. |
255 |
|||||
с и л ы на с в о б о д н ы е к о |
точку М кроме восстанавливаю |
|||||||
л е б а н и я |
т о ч к и . |
Пусть на |
щей силы F, направленной к центру О (численно F=c-OM), дейст вует еще постоянная по модулю и направлению сила Р (рис. 255). В этом случае положением равновесия точки М , где сила Р уравно
вешивается силой F, будет точка 0 1( отстоящая от О на расстоянии OOi=XCT, которое определяется равенством ск„—Р или
К ^ Р 'с . |
|
(74) |
Величину ХС1 назовем статическим отклонением. |
в сторону |
|
Примем Оуза начало координат и направим ось |
О^х |
|
действия силы Р. Тогда Fx——с(л:+Л,ст) и РХ=Р . |
В |
результате, |
составляя уравнение (12) и учитывая, что согласно равенству (74)
сК„—Р, получим т х= —сх или x+k*x=0.
Это уравнение, где k определяется равенством (66), совпадает
с уравнением (67). Отсюда заключаем, что постоянная сила Р, не изменяя характера колебаний, смещает центр колебаний в сторону действия силы на величину статического отклонения А,ст.
Выразим период колебаний через |
Из (74)'и (66) находим, |
что k*=P/mX„. Тогда равенство (71) дает |
|
Г == 2я К mkzJP. |
(75) |
Таким образом, период кйлебаний пропорционален корню квад ратному из статического отклонения Хст.
В частности, если силой Р является сила тяжести (как, напри мер, в задаче 112), то P=m g и формула (75) принимает вид
T = 2 n V K T g . |
(75') |
Задача 112. Груз подвешивают к концу В вертикальной пружины АВ и от пускают без начальной скорости. Определить закон колебаний груза, если в рав новесном положении он растягивает пружину на величину Аст (статическое удли нение пружины).
235
Р е ш е н и е . Поместим начало координат О в положение статического рав новесия груза и направим ось Ох по вертикали вниз (рис. 256). Сила упругости F—ck. В нашем случае Х=Хст+ х . Следовательно, Fx= —с(Хст-)--*)-
Составляя дифференциальное уравнение движения, получим
тх = — с (Лет +х)-\-Р.
Но по условиям задачи сила тяжести P=mg=d.cr (в равновесном положении сила Я уравновешивается силой упругости сХс1).>В результате, введя обозначение с/т=^/А сх=А, 1 приведем уравнение к виду
X + k*X=*:Q.
Отсюда сразу находим период колебаний груза в виде (75') Г = 2я/* = 2я V KCT/g.
Решением полученного дифференциального уравнения будет х = Ci sin kt -f Cj cos kt.
По начальным условиям при <=0 * = —ХСт. ^,= 0. Так как vx =*x = kCi cos kt—kCt sin kt,
то, подставляя начальные данные, получим С ,= —^ т, ^ = 0 . Следовательно, ко лебания происходят с амплитудой Хст по закону
x = — XCTcos'kt.
Отсюда видно, что наибольшее удлинение пружины при колебаниях груза рав но 2ХСТ. Этот результат был получен другим путем в задаче 102, где роль пружины играла балка.
'x
Рис. 256 |
Рис. 257 |
Задача 113. Определить |
перцод колебаний груза весом Р, подвешенного на |
двух пружинах с коэффициентами жесткости с. и с., так, как похазано на рис. 257, а.
Р е ш е н и е . Каждая из пружин в статическом положении растягивается с силой Р. Следовательно, статические удлинения пружин будут: XiCT=P/cl , Х*С1=Я /с,. Тогда общее удлинение пружин
Полагая Я =свквАст, найдем, что
где с»к» — коэффициент жесткости эквивалентной пружины, заменяющей две данные пружины. В частности, при сх= с а= с получим с,кв= с/2.
236
Период колебаний по формуле (75') будет
7’= 2л - | / £ = 2я 1 / L CJ± £ ! |
|
т аg |
гГ аg <V,с,с. |
Задача 114. Решить предыдущую задачу, считая, что груз подвешен на пружи-. нах так, как показано на рис. 257, б.
Р е ш е н и е . В этом случае очевидно, что статические удлинения (сжатия) обеих пружин одинаковы. При этом сила Р уравновешивается силами упругости CjXcx и с,Хст пружин, т. е. Р= (Ci+Cj)ActОтсюда ем а—Ci+Ci, а период коле баний
Задача 115. Определить период колебаний материальной точки с массой т,
если действующая на нее восстанавливающая сила ¥ пропорциональна кубу от клонения точки от центра 0 (см. рис. 253) и Fx= —c1&, где ct — заданный постоян ный коэффициент. В начальный момент времени <=0 координата *=*#, а ио= 0 .
Ре ш е н и е . Дифференциальное уравнение движения точки составим в виде
(14)(см. § 79); получим следующее нелинейное уравнение:
я ю .т £ — V е или 1 ^ — n V (« • — £ ) •
Умножим обе части этого уравнения на dx и возьмем (в соответствии с началь ными условиями) интегралы слева от 0 до-v*, а справа от хв до х\ получим
ч » / 2 = п * ( д с « - д с 4 ) / 4 . ( я )
Так как в момент времени /= 0 их= 0 , то под действием силы ¥ (см. рис. 253) точка начнет двигаться влево и vx<0. При *=>=—*о, как видно из равенства (а),
»*=*0 и дальше под действием силы F (при ж<0 и ^**<0, а следовательно, Fx> 0) точка будет двигаться вправо до положения х=х^, где опять ц*=0, и т. д. Таким
образом, точка совершает колебания с «амплитудой *<,. |
|
|
|||||
Для дальнейшего решения |
находим из (a) dxldt=vXl учитывая, что vx<0, по |
||||||
лучим: |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
п i / - j — *; |
и |
j j |
Y 5 |
dx |
. |
|
-Т7=*------т=гУ хо— *4 |
d<= —--------- ,t, |
||||||
37 |
Т Т |
|
|
|
» |
у |
|
Из предыдущих рассуждений следует, что время движения от положения х= |
|||||||
«=х, до *= 0 (до точки 0) равно четверти периода. Следовательно, |
|
||||||
|
Т_ |
V I |
о |
|
dx |
|
|
|
Г |
|
|
|
|||
|
4 “ |
n I V x l - x * ' |
|
|
Полагая здесь х=х<р, где г — новое переменное, и учтя, что при *= 0 и 2= 0 ,
апри X—Xt будет ?= I, получим
г1 £ Z . C _ J L —
“• я*о ^ V I-** ‘
Значение стоящего справа определенного интеграла (это частный вид так назы ваемого эллиптического интеграла) можно найти из соответствующих таблиц; приб лиженно он равен 1,31 и тогда окончательно
Тя)7,4/пхл.
Мы.видик» что при этих нелинейных колебаниях (в отличие от колебаний ли нейных) период зависит от «« и с увеличением xt я данном случае убывает,
237
f as. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ (ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ)
Рассмотрим, как влияет на свободные колебания сопротивление, создаваемое силой вязкого трения [см. § 76, формула (7)1, т. е. си лой, пропорциональной первой степени скорости: R = —fiv (знак минус указывает, что сила R направлена противоположно v). Пусть на точку при ее движении действуют восстанавливающая сила F и сила сопротивления R (рис. 258). Тогда Fx= —cx, R x= — *=—|uc, и дифференциальное уравнение движения будет
тх = — сх— |juc. |
|
Деля обе части уравнения на т, получим |
|
jc-h 2frjc-hAr*x = 0, |
(76) |
где обозначено |
|
с/т = k*, ц/m = 2b. |
(77) |
Легко проверить, что величины k и b имеют одинаковые размер ности (1/время); это позволяет, сравнивать их с друг с другом.
Уравнение (76) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорос
_ |
_ |
„ |
ти. Его решение, как и решение |
уравнения |
(67), ищут в виде x= ent. Подставляя это зна- |
||||
__I 5 |
* |
~Т |
чение х в уравнение (76), получим |
характери- |
0 |
|
м I |
стическое уравнение п*+2Ьп+к*=0, корни |
|
|
Рис. 258 |
которого будут |
|
|
|
|
|
*1., = — b ± V ¥ ^ k ' . |
(78) |
1. Рассмотрим случай, когда k>b, т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой мало. Введя обозначение
k, = V k '— b \ |
(79) |
получим из (78), что n i,,= —b ± ik, т. е. что корни характеристиче ского уравнения являются комплексными. Тогда общее решение уравнения (76) будет, очевидно, отличаться от решения уравнения (67) только множителем e~bt, т. е.
x = e - *f (C jS in ^ + C.cosAjO |
(80) |
или, по аналогии с равенством (69),
x = ^ e " “ sjn(ft1/- f а). |
(81) |
Входящие в (81) величины А и а являются постоянными интегри рования и определяются по начальным условиям.
Колебания, происходящие по закону (81), называются затухаю щими, так как благодаря наличию множителя е_4< величина х —ОМ
238
(рис. 258) с течением времени убывает, стремясь к нулю. График этих колебаний показан на рис. 259 (график заключен между пунк тирными кривыми x —A t~ bt и х ——Ae~bt, так как sin (M + a) по мо дулю не может стать больше единицы).
Промежуток времени 7\, равный периоду sin (M + a), т. е. ве личину
T ‘ - f - 7 f e r ’ |
(82) |
принято называть периодом затухающих колебаний. За период точ ка совершает одно полное колебание, т. е., например, начав дви гаться из положения х= 0 вправо (см. рис. 258), приходит в то же положение, двигаясь также впра во. Формулу (82), если учесть ра венство (71), можно еще предста вить в виде
^ |
2л |
_ |
Т |
|
1 |
k |
~ |
|
|
|
« т ( 1 + т ^ ) - |
<82') |
||
Из |
полученных |
формул |
видно, |
что Т{>Т, т. е. что при наличии сопротивления период колебаний несколько увеличивается. Одна
ко когда сопротивление мало (Ь<^Л), то величиной b4k%по сравне нию с единицей можно пренебречь и считать 7’1« 7 \ Следовательно, малое сопротивление на период колебаний практически не влияет.
Промежуток времени между двумя последовательными макси мальными отклонениями колеблющейся точки вправо (или влево) также оказывается равным 7\ *. Следовательно, если первое макси мальное отклонение вправо Xi происходит в момент U, то второе
отклонение x t наступит в момент t,= ti+ T i |
и т. д. Тогда по формуле |
||
(81), учитывая, |
что fti7\=2n, |
получим: |
|
|
= i4e-!fc,‘ sin (kltl + |
a), |
|
xt — Ae~bi,'+T')sin |
-f k1T 1 |
a) = x 1e~br'. |
|
Аналогично |
для любого отклонения |
xn+i будет |
Таким образом, оказывается, что размахи колебаний будут убывать по закону геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии е~т называется декрементом рассматриваемых колебаний, а мо дуль его логарифма, т. е. величина ЬТи— логарифмическим декре ментом.
Из всех полученных результатов следует, что малое сопротив ление почти не влияет на период колебаний, но вызывает постепен-
* Моменты, когда * имеет максимум или минимум, находятся из уравнения Axldt=Ae~bt (/ijcos (fc^+a)—b sin(ife1/+ a)]= 0 . Если квадратная скобка обращает
ся в нуль при некотором t= tlt то она, очевидно, обратится в нуль и в моменты вре мени ti+Ti, /1+ 2 Г 1 и т. д., поскольку *17’1= 2я.
239
вое их затухание вследствие убывания размахов колебаний по за кону геометрической прогрессии.
2. Рассмотрим теперь случай, когда b>k, т. е. когда сопротивле ние по сравнению с восстанавливающей силой велико. Вводя обозна чение b*—к*=г*, найдем, что в этом случае корни характеристиче ского уравнения (78) равны n i,,= —Ь±г, т. е. оба действительны и отрицательны (так как т<Ь). Следовательно, решение уравнения (76), описывающее закон движения точки, имеет при b>k вид
x = C1e~lb*r)t + Cte~lb~r)t.
Так как функция е_вТ, где а> 0 , со временем монотонно убывает, стремясь к нулю, то движение точки в этом случае не будет колеба тельным и она под действием восстанавливающей силы будет посте пенно (асимптотически) приближаться к равновесному положению лг=0. График такого движения, если при t= 0 х=х£>0 и vx=vxt, имеет в зависимости от значения vx0 вид одной из кривых, показан ных на рис. 260 (V — при vxO>0; 2 — при чзсв< 0 , когда Iw^l неве лик; 3 — при »жо<0, когда |их,| велик; все эти результаты качествен но ясны из физических соображений). При х0< 0 вид графиков не изменится (они будут лишь зеркально отображенными относитель но оси Ot)\ наконец, при Хо>0 и их0= 0 график (кривая 1) имеет мак симум В в начальный момент времени 1=0.
3. В заключение рассмотрим случай, когда b=k. Корни харак теристического уравнения (78) будут при этом тоже действительны ми, но кратными (ni,,= ±Ь) и общее решение уравнения (76) примет вид (что можно проверить подстановкой х в уравнение)
х = е -« (С 1 + С10-
Движение точки в данном случае тоже не будет.колебательным и она со временем стремится асимптотически к равновесному поло
жению х —0 [по правилу Лопиталя lim(//eb*)==lim (1/Ьёь#—0]. Гра- t-¥СР
фик движения в зависимости от начальных условий имеет тоже вид кривых, показанных на рис. 260.
°) |
^ - - 1 |
$ |
Рис. 261
Задача 116. Цилиндр (его масса т , а площадь дна S), частично погруженный в вязкую жидкость с удельным весом у (рис. 261), выводят из равновесного поло жения. Определить период последующих затухающих колебаний цилиндра, счи
тая, что на него действует сила вязкого трения R = —]iv.
240