Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

В момент t—ti, когда груз останавливается, о=0. Следовательно, полагая в полученном уравнении о=0, найдем

*1 = 2 V v jk .

Время движения до остановки при данном законе сопротивления является конечным (см. задачу 93 в § 80).

Задача 106. В предыдущей задаче найти, какой путь % пройдет кольцо вдоль окружности до остановки, считая, что на него действует не сила сопротивления, зависящая от скорости, а сила трения F=fN. Дано: радиус кольца R = 0,3 м, на­ чальная скорость iie= 2 м/с, коэффициент трения кольца об окружность /= 0,3 .

Р е ш е н и е . Выбираем начало отсчета (У и проводим оси Мт, Мп и Mb так же,, как и в предыдущей задаче (рис. 242). Действующими на кольцо силами бу­

как арифметическую сумму сил fNf, и fN„). Замечая, что N^=P=mg, находим

F = fm V

Как видим, сила трения зависит через реакцию N от скорости кольца. Чтобы сразу найти зависимость s от v, заметим, что du/d/=dy/ds-as/d/=o-do/ds. Тогда, после сокращения на т, уравнение движения кольца примет вид

Разделяя переменные и беря от обеих частей равенства соответствующие определенные интегралы, получим

лить натяжение нити в момент, когда груз дойдет до наинизшего положения Л11. Р е ш е н и е . Изображаем груз в том положении, для которого надо найти натяжение нити, т. е. в положении Mi (рис. 243). На груз действуют сила тяжести

Я и реакция нити Т. Проводим нормаль Муп в сторону вогнутости траектории

и составляем уравнение (54), учитывая, что в нашем случае р= /. Получим

mv\ll = T — P или T = P + mv\/l,

221

Работу на участке M„Mi совершает только сила Р, Поэтому A*—Ph=^ —P ip —сова).

Так как t»0= 0 , то, подставляя найденное значение работы в равенство (а), по­ лучим tnd\=2Pl(\—cosa) и окончательно найдем

Т= Р (3—2 cos a).

Вчастном случае, если угол начального отклонения о=90°, натяжение нити при прохождении через вертикаль будет равно 3Р, т. е. утроенному весу груза.

Полученное решение показывает, что динамические реакции действительно могут значительно отличаться от статических.

Рис. 244

Задача 108. Желоб состоит из дву* дуг АВ и BD окружностей радиуса R, рас­ положенных в вертикальной плоскости так, что касательная BE в точке сопряже­ ния горизонтальна (рис. 244). Пренебрегая трением, определить, на какой высо­ те h над линией BE надо положить в желоб тяжелый шарик, чтобы он соскочил

сжелоба в точке Мр лежащей на таком же расстоянии к ниже линии BE.

Ре ш е н и'е. Шарин оторвется от желоба в той точке Mi, где его давление на

желоб (или реакция N желоба) обратится в нуль. Следовательно, задача сво­ дится к определению N, Изображаем шарик в точке Afj. На него действуют сила

тяжести Р и реакция желоба N. Составляя уравнение (54) в проекции на внутрен­ нюю нормаль МгС, найдем, что

mv\/R= Pcos<p—N,

Так как в точке отрыва N = 0, то, учитывая, что R cos «р=KC=R—й, получим

Величину mv\ наймем из теоремы об изменении кинетической энергии, Тан как 1>0= 0 , то уравнение (52') дает

mvl/2 = A*M„Mi) .

Работу здесь совершает только сила Р, причем A (P)=2Ph. Следовательно,

/т»?=4ЯЛ. Подставляя это значение пти\ в уравнение (а), получим 4h=R—h, отхуда Л=0,2Л.

Задача 109. Груз М подвешен на нити длиной I (рис. 245). Какую наименьшую

начальную скорость и0, перпендикулярную нити, надо сообщить грузу, чтобы он описал полную окружность?

Р е ш е н и е . Груз опишет полную окружность, если на всем пути натяже­ ние нити нигде (кроме, может быть, точки М ) не обратится в нуль, т. е. нить ни­ где не будет смята. Если же в какой-либудь точке Mt , где t ^ O , натяжение нити обратится в нуль, то нить перестанет удерживать груз и он будет продолжать дви­ жение как свободная точка (по параболе).

222

Для решения задача найдем натяжение Т нити в произвольном положении Я , определяемом углом ф, а затем потребуем, нтобы при любом угле <р^180° было 7> 0 .

В положении М на груз действуют сила F и натяжение нити Т. Составив урав­ нение (54) в проекции на внутреннюю нормаль Мп, получим

яю*/1= Т—Р cos ф, (а)

где v — скорость груза в положении М. Для определения v применяем теорему об

mv*/2—«Уо/2= А *.

В данном случае А*=—Ph=—P l(l—cosy) и, следователь­ но,

mti*=muo—2Р/(1—cos ф).

Подставив это значение то* в уравнение (а) и вычислив Т, получим

Т= Р (vl/gl—2+3cos ф).

Наименьшее значение Т будет иметь при Ф= 180°:

T ^ n = P(iVgl-b).

Следовательно, наименьшая начальная скорость, при которой груз будет опи­ сывать полную окружность, определяется равенством

t'omin =* V W -

Допустим, что вместо нити груз будет подвешен на жестком легком (невесомом) стержне длины /. В этом случае (так как стержень в отличие от нити может рабо­ тать и на растяжение, и на сжатие) груз опишет полную окружность, если при дви­ жении его скорость нигде (кроме, может быть, точки М') яе обратится в нуль. Применяя уравнение^ (52') для перемещения М0М' и считая в точке М' скорость

о=0, получим — nwt/2=*-mg'2l. Отсюда следует, что в данном случае fomln= V"

| 91. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Второй закон динамики и полученные из него выше уравнения и теоремы верны только для гак называемого абсолютного движения точки; т. е. движения по отношению к инерциальной («неподвиж­ ной»)' системе отсчета.

Обратимся теперь к изучению относительного движения точки, т. е. движения по отношению к неинерциальным, произвольно дви­ жущимся по отношению к инерциальной системам отсчета.

Рассмотрим материальную точку М, движущуюся под действи­ ем приложенных к ней сил Ft, F ........ Fn, являющихся результатом взаимодействия точки с другими материальными телами. Будем изучать движение этой точки по отношению к осям Охуг (рис. 246), которые в свою очередь каким-то известным нам образом движутся относительно инерциальной системы отсчета (неподвижных осей)

OiXjl/iZi,

223

Найдем зависимость между относительным ускорением точки

аот и действующими на нее силами. Для абсолютного движения основной закон динамики имеет вид

Но из кинематики известно (см. § 66), что а1б= а0т+ апер+<Зкор) где а01, Опер, акор — относительное, переносное и кориолисово ус­ корения точки. Подставляя это значение а& в равенство (65) и счи­

тая в дальнейшем аот= а, так как эта величина представляет собой ускорение изучаемого нами относительного движения, получим

Величины F*ep и F"aр имеют размерность силы. Назовем их соот­ ветственно переносной и кориолисовой силами инерции. Тогда пре­ дыдущее уравнение примет вид

Уравнение (56) выражает основной закон динамики для относи­ тельного движения точки. Сравнивая равенства (55) и (56), прихо­ дим к выводу: все уравнения и теоремы механики для относительного движения точки составляются так оке, как уравнения абсолютного

чдвиокения, если при этом к действующим на точку силам взаимо­ действия с другими телами прибавить переносную и кориолисову

силы инерции. Прибавление сил F”ep и F"oP учитывает влияние на относительное движение точки перемещения подвижных осей.

м

ж

Рис. 247

Чтобы уяснить характер этого влияния, рассмотрим, например, точку В, неподвижную в инерциальной системе отсчета 01jf1y1z1 (рис. 247), и допустим, что подвижные^оси Охуг перемещаются относительно осей О ^ у м поступательно ^ус­

корением Од. Тогда по отношению к осям Охуг точка В будет иметь ускорение ад=

= —<zg и причина появления этого ускорения будет кинематическая — движение подвижной системы отсчета.

224

4. При составлении уравнений относительного движения в слу­ чаях, когда FZор#0, надо иметь в виду, что

F;0p = — тав0р = — 2 т (шх й0Т).

Следовательно, сила FK0V перпендикулярна v„= v, а значит, и каса­ тельной к относительной траектории точки. Поэтому:

а) проекция кориолисовой силы инерции на касательную Мх к относительной траектории точки всегда равна нулю (fJoPT=0), и первое из уравнений (11) в относительном движении будет иметь вид

б) работа кориолисовой силы инерции на любом относительном перемещении равна нулю [см. § 87, формула (44)}, и теорема об из­ менении кинетической энергии точки в относительном двиясении

будет иметь ' ввд и и, — значения относительных скоростей, А — работа на относительном перемещении)

Последние слагаемые в правых частях равенств (58) и (59) учи­ тывают влияние движения подвижных осей на изменение величины и.

• Во все остальные уравнения относительного движения будут в общем случае входить и переносная, и кориолисова силы инерции.

Задача НО. Пренебрегая массой всех вращающихся частей центробежного ре­ гулятора (рис. 248) по сравнению с массой шаров В и О, найти угол а, определяиУ щий положение относительного равновесия стержня АВ, если регулятор вращает­ ся е постоянной угловой скорость*) ш, а длина АВ=1.

Р е ш е н и е . Для определения положения относительного равновесия (по отношению к вращающимся вместе с регулятором осям) прибавляем^согласно ра­

венству (57), к'действующим на шар В силе тяжести Р и реакции N переносную

от оси вращения (вдоль линии СВ); эту силу Называют еще центробежной силой инерции. Составляя уравнение равновесия в проекции на ось Вт, перпендикуляр­ ную АВ, найдем, что

— Р sin a + f пер со» a = 0.

226

иметь, участвуя вместе с Землей в ее суточном вращении; если мас­

Другая составляющая силы тяготения — сила Р и является ве­ личиной, называемой силой тяжести. Таким образом,

г- я - г . .

т.е. сила тяжести равна разности между всей силой тяготения и

той ее составляющей, которая обеспечивает участие точки (тела)

всуточном вращении Земли.

Направление силы 7> определяет направление вертикали в дан­ ном пункте земной поверхности (таким будет направление нити, на которой подвешен какой-нибудь груз; натяжение нити при этом рав­ но Р), а плоскость, перпендикулярная силе Т, является горизон­ тальной плоскостью. Так как Fn=mcoV, где со1 очень малб, то сила

в числе действующих сил выделить силу тяготения FT, то уравнени­ ем относительного равновесия (покоя) точки на вращающейся Зем­ ле согласно (57) будет

+ Fт+ JSp = 0.

Но в данном случае Оперся» и ?5ер=—/пОи*р= —ma„——F*. Тогда

? т + /75ер==/гт—Fn-=P и уравнение примет вид 2 F k-f Р = 0 , т. е. та­ кой же, какой уравнение равновесия имеет, когда система отсчета, связанная с Землей, считается неподвижной.

Следовательно, при составлении уравнений равновесия тел по

отношению к Земле дополнительных поправок на вращение Земли вводить не надо (это вращение учитывается наличием в уравнениях силы F).

Теперь обратимся к уравнению относительного движения (56), в котором тоже выделим силу тяготения. Тогда полупим

та «■

Но, как и в предыдущем случае, Tx+Fllf=Tr—F„—Р и уравнение примет вид

та*=

Сила ¥ятеет . наибольшее «иаченяе-на экваторе, где г=Я , ■ составляет там около 0.345С от силытяготеян*. Наибольшая разность показанных на рве 250

углов а (геоцентрическая широта) я f (встрономпеская шярота) ямеет мкто вря а=45 к равна приблизительно 0,1°.

228

Отсюда следует, что когда, при составлении уравнений движения, оси, связанные с Землей, считают неподвижными, то пренебрегают учетом только кориолисовойсилы инерции, численно равной

Flop = 2т(ои sin а,

где а — угол между относительной скоростью v точки и земной осью.

Так как угловая скорость Земли со очень мала, то если скорость v не очень велика, величиной F"ор по сравнению с силой тяжести можно пренебречь. Например, при v—700 м/с (скорость обычного артиллерийского снаряда) и а=90° значение FJJop составляет только около 1 % от силы Р. Поэтому в большинстве инженерных расчетов при изучении движения тел систему отсчета, связанную с Землей, можно действительно считать инерциальной (неподвижной).

Учет вращения Земли приобре­ тает практическое значение или при очень больших скоростях (ско­ рости полета баллистических ра­ кет), или для движений, длящихся очень долго (течение рек, воздуш­ ные и морские течения).

3* . П р и м е р ы . Рассмотрим, в чем качественно сказывается вли­ яние вращения Земли на движе­ ние тел.

Движение по земной поверхно­ сти. При движении точки по ме­

ридиану в северном полушарии с севера на юг кориолисово ускоре­ ние ац09 направлено на восток (см. § 67, задача 80), a F%p •*- на за­

пад. При движении с юга на север F%0р будет направлена на восток. В обоих случаях, как видим, точка вследствие вращения Земли отклоняется вправо от направления ее движения. _

Если точка движется по параллели на восток, то ускорение а*ор будет направлено вдоль радиуса МС параллели (рис. 251), а сила

^кор — в противоположную сторону. Вертикальная составляющая этой силы, направленная вдоль ОМ, вызовет незначительное измене­ ние веса тела, а горизонтальная составляющая, направленная к югу, вызовет отклонение точки тоже вправо от направления ее дви­ жения. Аналогичный результат получится при движении по парал­ лели на запад.

Отсюда заключаем, что в северном полушарии тело, движущееся вдоль земной поверхности по любому направлению, будет вследствие вращения Земли отклоняться вправо от направления движения. В южном полушарии отклонение будет происходить влево.

Этим обстоятельством объясняется то, Что реки, текущие в се­ верном полушарии, подмывают правый берег (закон Бэра). В этом же причина отклонений ветров постоянного направления (пассаты)

229