Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

положение М* и имеет скорость vt (рис. 117). Тогда за промежуток времени Л/=/,— t скорость точки получает приращение Au=w1—vl Для построения вектора Av отложим от точки М вектор, равный

и построим параллелограмм, в котором диагональю будет vu а одной из сторон v. Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изобра­ жать вектор Ау. Заметим, что вектор Де/ всегда направлен в сторону вог­ нутости траектории.

Отношение приращения вектора скорости Av к соответствующему про­ межутку времени А/ определяет век­ тор среднего ускорения тонки за этот промежуток времени:

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и век­

тор Ау, т. е. направлен в сторону вогнутости траектории. Ускорением точки в данный момент времени t называется век­

торная величина а, к которой стремится среднее ускорение ас, при стремлении промежутка времени At к нулю:

— До do

а«= Нш -г7 = тг А/-О Л< М

Следовательно, вектор ускорения точки в данный момент време­ ни равен первой производной от вектора скорости или второй произ­ водной от радиуса-вектора точки по времени.

Размерность ускорения LIT*, т. е. длина/(время)*; в качестве единицы измерения применяется обычно м/с1.

Из формулы (10) следует также, что вектор ускорения точки а

равен отношению элементарного приращения вектора скорости do к соответствующему промежутку времени d/.

Найдем, как располагается вектор а по отношению к траекто­

рии точки. При прямолинейном движении вектор а направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Есл^траекторией точки явля­

ется плоская кривая, то вектор ускорения а, так же как и вектор аср, лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости.

Если траектория не является плоской кривой, то вектор дср на­ правлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, про­ ходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, па­ раллельную касательной в соседней точке (рис. 117). В пределе,

101

когда точка Aft стремится к М , эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, т. е. плоскости, в кото­ рой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки *. Следователь­

но, в общем случае вектор ускорения а лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой. Вопрос об определении модуля ускорения будет рассмотрен в § 40 и 43.

| 40. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Найдем, как вычисляются скорость и ускорение точки, если ее

движение задано уравнениями (3) или (4). Вопрос об определении траектории в этом случае был уже рассмотрен в §37.

Формулы (8) и .(10), определяющие значения Ъ и а, содержат

производные по времени от векторов г и V. В равенствах, содержа­ щих производные от векторов,, переход к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы: про­ екция производной от вектора на ось, неподвижную в данной систе­ ме отсчета, равна производной от проекции дифференцируемого вектора на ту оке ось, т. е ..

рости точки v=dr/dt. Отсюда на основании формул (11), учитывая, что х, гу—у, гх=г, найдем:

(12)

или

где точка над буквой есть символ дифференцирования по времени. Таким образом, проекции скорости точки на координатные осиравны первым производным от соответствующих координат точки по вре­ мени.

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т. е.

углы а, 0, у. которые вектор а образует с координатными осями) по формулам

v ^ V v t + v l + vl;

(13)

cos a = vK/v, cos ft = vy/v, cos у = vt/v.

* Д ля пространственной кривой (например, для винтовой линии) в каждой точке кривой будет своя соприкасающаяся плоскость. Д ля плоской кривой со­ прикасающаяся плоскость совпадает с плоскостью этой кривой и является общей

2. О п р е д е л е н и е у с к о р е н и я т о ч к и . Вектор ус­

корения точки fl=dy/d/. Отсюда на основании формул (11) получаем:

т. e. проекции ускорения точки на координатные оси равны первым

производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направле­ ние ускорения найдутся из формул

(15). При этом в случае движения, происходящего в’одной плоско­ сти, во всех формулах должна быть отброшена проекция на ось г.

В случае же прямолинейного движения, которое задается одним уравнением * = /(/), будет

Равенства (16) и определяют значения скорости и ускорения точки в этом случае.

f 41. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ ТОЧКИ

Задачи, решаемые методами кинематики точки, могут состоять в определении траектории, скорости или ускорения точки, в отыска­ нии времени, в течение которого точка проходит тот или иной путь, или пути, проходимого за тот или иной промежуток времени, и т. п.

Прежде чем решать любую из такого рода задач, надо устано­ вить, по какому закону движется точка. Этот закон может быть не­ посредственно задан в условиях задачи (задачи 47, 48) или же из условий задачи определен (задачи 49, 50).

Задача 47. Движение точхи задано уравнениями (х, у — в метрах, t — » се­ кундах):

x= 8 t—4fi, у=6<—ЗЛ

Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Р е ш е н и е . Для определения траектории исключаем из уравнений дви­ жения время t. Умножая обе части первого уравнения на 3, а обе части второ­ го — на 4 и почленно вычитая из первого равенства второе, получим: Зх—4у= 0 или у—3x14.

103

Следовательно, траектория — прямая линия, наклоненная к оси Ох под уг­ лом в , где tg a — *lt (рис. 118).

Определяем скорость точки. По формулам (12) и (13) получаем: р < = х = 8 (1 — Q, i> „= :y = 6 (l — 0 ;

v = V v l+ v l= lO \ 1 — /|.

Теперь находим ускорение точки. Формулы (14) и (15) дают:

ах — х = —8, ау = у = —6, а= 10м/с*.

Направлены векторы v и а вдоль траектории, т. е. вдоль прямой АВ. Проекции ускорения на координатные оси все время отрицательны, следовательно, ускоре­ ние имеет постоянное направление от В к А. Проекции скорости при 0<<<1 по­ ложительны, следовательно, в течение этого промежутка времени скорость трчки направлена от О к Л. При этом в момент времени t= 0v= 10 м/с; в момент t= 1 с V—0. В последующие моменты времени (<>1 с) обе проекции скорости отрицательны и, следовательно, скорость направлена от В к А, т. е. так же, как и ускорение.

Заметим, наконец, что при <=0 * = 0 и у= 0; при /= 1с х = 4 , у= 3 (точка В); при <=2с * = 0 , у= 0; при /> 2с значения х н у растут по модулю, оставаясь отри­ цательными.

Итак, заданные в условиях задачи уравнения движения рассказывают нам всю историю движения точки. Движение начинается из точки О с начальной ско­ ростью в ,= 10 м/с и происходит вдоль прямой АВ, наклоненной к оси Ох под углом а , для которого tg а = * /4. На участке ОВ точка движется замедленно (модуль ее скорости убывает) и через одну секунду приходит в положение В (4, 3), где ско­ рость ее обращается в нуль. Отсюда начинается ускоренное движение в обратную сторону. В момент /= 2 с точка вновь оказывается в начале координат -и дальше продолжает свое движение вдоль ОА . Ускорение точки все время равно 10 м/с*.

**+!/*=**.

Следовательно, траектория лежит на круглом цилиндре радиус# R , ось ко­

торого направлена вдоль оси Ог (рис. 119). Определяя из последнего уравнения t и подставляя в первое, находим

x= R sin (юг/и),

104

Таким образом, траекторией точки будет линия пересечения синусоидальной поверхности, образующие которой параллельны оси Оу (синусоидальный гофр) с цилиндрической поверхностью радиуса R. Эта кривая называется винтовой линией. Из уравнений движения видно, что один виток винтовой линии точка про­ ходит за время tlt определяемое из равенства 2л. При этом вдоль оси г точ­ ка за это время перемещается на величину h= ut1=2nul<o, называемую шагом винтовой линии.

Найдем скорость и ускорение точки. Дифференцируя уравнения движения'по времени, получаем:

vx = x = Rto cos cof, vy = y = — Ra>sin co/,

vt — z = u,

откуда

d = Y R * & (cos* ait -(-sin* at) + uJ = Y #*to*+ « * .

Стоящие под знаком радикала величины постоянны. Следовательно, движение происходит с постоянной по модулю скоростью, направленной по касательной к траектории. Теперь по формулам (14) вычисляем проекции ускорения:

ах = = — Ru>*sin со/,

an ~ vv ~ — со» cat, ax= vx= О,

откуда

a = V fli-f aj = /?a>*.

Итак, движение происходит с постоянным по модулю ускорением. Д ля опре­ деления направления ускорения имеем формулы:

Но, ояевидно,

x/R = coso, y/R= cos P,

где a и P — углы, образуемые с осями Ох и Оу радиусом R , проведенным от оси цилиндра к движущейся точце. Так как косинусы углов а , и Р, отличаются от ко­ синусов а и р только знаками, то отсюда заключаем, что ускорение точки все вре­ мя направлено по радиусу цилиндра к его осн..

Заметим, что хотя в данном случае движение и происходит со скоростью, по­ стоянной по модуЛю, ускорение точки не равно нулю, .так как направление ско­ рости изменяется.

Задача 49. Человек ростом h удаляется от фонаря, висящего на высоте Я , двигать прямолинейно со скоростью и. С какой скоростью движется конец тени человек^?

Р е ш е н и е . Для решения задачи найдем сначала закон, по которому дви­ жется-конец тени. Выбираем начало отсчета в точке О, находящейся на одной вер­ тикали с фонарем, и направляем вдоль прямой, по которой движется конец тени, координатную ось Ох (рис. 120). Изображаем человека в произвольном положении на расстоянии хг от точки О. Тогда конец его тени будет находиться от начала О на расстоянии xt .

Из подобия треугольников ОАМ и DAB находим:

Н

* * - H — h Xi

Это уравнение выражает закон движения конца тени М , если закон движения человека, т, е, xt= /( 0 . известен.

105

Взяв производную по времени от обеих частей равенства и замечая, что по формуле (16) * != «,«= «, xt—vx = v, где v — искомая скорость, получим

И

Vz‘ l ? - ¥ “•

Если человек движется с постоянной скоростью (u“ const), то скорость конца тени М будет тоже постоянна, но в Ш(Н—А) раз больше, чем скорость человека.

Обращаем внимание на то, что при составлении уравнений движения надо изображать движущееся тело или механизм (см. задачу 50) в произвольном поло- жении. Только тогда мы получим уравнения, определяющие положение движу* щейся точки (или тела) в любой момент времени.

Задача 50. Определить траекторию, скорость и ускорение середины М шату­ на кривошнпно-ползунного механизма (рис. 121). если ОА^АВ=2Ь, а угол ф при вращении кривошипа растет пропорционально времени: <р= со/.

Р е ш е н и е . Начинаем с определения уравнений движения точки М. Про­ водя оси н обозначая координаты точки М в произвольном положении через х а у иаходнм

х= 2b cos q>-f-6 cos <р, у=Ь sin ф.

Заменяя ф его значением, получаем уравнения движения точки М:

х = 3 Ь cos «о/, у = Ь sin at.

Для определения траектории точки М представим уравнения движения в виде

Возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая, получим

X* , У * . ,

96* ' 6*

Итак, траектория точки М — эллипс с полуосями 3* и Ь. Теперь по формулам ()2) и (13) находим скорость точки Af:

vx =zx = —3t<osin и /, vu = y=tbtoco»a>t; t>=6o)Vr 9 sin* a>< + cos* to/.

Скорость оказывается величиной переменной, меняющейся с течением времена в пределах от vm\a=b<a до vmix=3ba.

Далее по формулам (14) определяем проекции ускорения точки Лк ax.— — 3bu? cos ш*=—(IAC, ау= - — sin ш /= —ш2!/;

106

отсюда

„ а = V ш4 (хг + у-) = (dV,

где г — длина радиуса-вектора, проведенного из центра О до точки М . Следо­ вательно, модуль ускорения точки меняется пропорционально ее расстоянию от центра эллипса.

Для определения направления а имеем по формулам (15):

cos a l —ax/a = —xtr, cos $l= a y/a = —y!r.

Отсюда, так же как и в задаче 48, находим, что ускорение точки М все время направлено вдоль МО к центру эллипса.

$42. ОСИ ЕСТЕСТВЕННОГО ТРЕХГРАННИКА. ЧИСЛОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ СКОРОСТИ

Рассмотрим, как вычисляются скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения (см. § 37), т. е. когда заданы траектория точки и закон движения точки вдоль этой траектории в виде s=f(t).

В этьм случае значения векторов у и а определяют по их проек­ циям не на оси системы отсчета Охуг (как в § 40), а на подвижные оси МхпЬ, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис. 122). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника

(или скоростными осями), направлены следующим образом: ось Мх — по касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось Мп — по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mb — перпендикулярно к

первым двум так, чтобы она образовала с ними правую систему осей. Нормаль Мп, ле­ жащая в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), называется главной нормалью, а перпендикулярная ей нормаль Mb — би­ нормалью.

Скорость точки, направленная по каса­ тельной к траектории (рис. 122), определяет­ ся в осях МхпЬ только одной проекцией и*

на.ось Мх. При этом их=у-или vx——v. Следовательно, vx или сов­ падает с модулем скорости v, или отличается от v только знаком. Условимся поэтому в дальнейшем обозначать vT тоже символом v, опуская индекс т, и называть t> числовым (или алгебраическим) зна­ чением скорости. Модуль скорости во всех случаях, когда это не может вызвать недоразумений, будем тоже обозначать символом v, а когда надо подчеркнуть, что речь идет о модуле скорости,— при­ менять символ |о|.

Найдем значение v. Если за промежуток времени At точка

107

будет vC9—As/At и в пределе найдем, что

(17)

Таким образом, числовое значение скорости точки в данный мо­ мент времени равно первой производной от расстояния (криволиней­ ной координаты) s этой точки по времени.

Значение v можно также находить как отношение элементарного перемещения ds точки к соответствующему промежутку времени At. Так как всегда d /> 0 , то знак v совпадает со знаком ds. Следователь­ но, когда Ю>0, скорость направлена в сторону положительного отсчета расстояния s, а когда v<0, — в противоположную сторону. Таким образом, величина v одновременно определяет и модуль ско­ рости, и сторону, куда она направлена.

f 43. КАСАТЕЛЬНОЕ И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ

В § 39 было установлено, что ускорение а точки лежит в соприка­ сающейся плоскости, т. е. в плоскости Мхп. Следовательно, проек­

ция вектора а на бинормаль Mb равна нулю {аь—0). Найдем проек­ ции а на две другие оси. Проектируя^)бе части равенства (10) на оси М х и Мп и обозначая символами (dv)%и (dv)n проекции вектора dv

векторы v=MA и v'==MB от общего начала (рис. 123, б); тогда dt>=*

108

Угол между касательными к кривой в двух ее точках называется углом смежности-, тогда d<p — элементарный угол смежности. На­

помним, что отношение dq> к ds = ММ', определяет кривизну кривой в точке М, а кривизна k является величиной, обратной радиусу кривизны р в этой точке, т. е.

d<p/ds=ft=l/p. (20)

Введем эту величину во второе из равенств (19) и преобразуем его, учтя еще равенство (17), к виду

Таким образом, мы доказали, что проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от числового значения ско­ рости или второй производной от расстояния (криволинейной коор­ динаты) s по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой', проекция ускорения на бинормаль равна нулю. Это одна из важных теорем кинематики. Величины а* и ап называют касательным и нормальным ускорениями точки.

При движении точки М в одной плоскости касательная М х поворачивается вокруг бинормали Mb с угловой скоростью w=dq>/d/. Тогда второе из равенств (19) дает еще одну, часто используемую в инженерной практике формулу для вычисления ан:

Из нее следует, что нормальное ускорение равно произведению скорости точки на угловую скорость поворота касательной к траектории.

Отложим вдоль касательной Мх и главной нормали М п векторы а, и ап, т. е. касательную и нормальную составляющие ускорения (рис. 124). При этом со­ ставляющая ап будет всег­ да направлена в. сторону вогнутости кривой, так как всегда ап> 0, а составляю­ щая а, может быть направ­ лена или в положительном, или в отрицательном на­ правлении оси Мх в зави­ симости от знака проекции

Of (см. рис. 124, а, б).

Вектор ускорения точки а изображается диагональю параллелограмма построенного на составляющих ах и ап. Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора а

109