Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

Величина аыпр, характеризующая изменение относительной ско­ рости точки при переносном движении и переносной скорости точки при ее относительном движении, называется поворотным, или кориолисовым, ускорением точки. В результате равенство (89) примет вид

вой АВ (см. рис. 182), слагающимся из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращения вокруг этого полюса с

угловой скоростью о, называемой переносной угловой скоросглью.

Величина со, как показано в § 63, от выбора полюса не зависит и на изображенных рис. 188, где полюс точка т, и рис. 189, где полюс О, имеет одно и то же значение.

Начнем с определения (duOT),/d/. При рассматриваемом перенос­

ном движении вектор vox, направленный по касательной к кривой АВ, переместится вместе с этой кривой поступательно (придет- в

положение тхЬ, рис. 188) и одновременно повернется вокруг точки

от, до положения mtbi. В результате вектор v0T получит в перенос­ ном движении приращение (dv0T)t= b b 1= v b’dt, гдеу ь — скорость, с которой перемещается точка Ь при повороте вектора mlb = v oc вокруг то^ки mt. Так как этот поворот происходит с угловой ско­

* Гюстав Кориолис (1792—1843) — французский ученый, известный своими трудами по теоретической и прикладной механике. Корйолнсово ускорение называют еще поворотным, так как оно появляется при наличии у подвижных осей вращения (поворота). '

Теперь определим (dunep)f/d/. Скорость i/nep равна скорости той неизменно связанной с подвижными осями точки т кривой АВ, с которой в данный момент времени совпадает точкаJA (рис. 189).

Если точку О принять за полюс и обозначить через г вектор 0т=*

Таким образом, кориолисовб ускорение равно удвоенномувектор­ ному произведению переносной угловой скорости (угловой скорости подвижной системы отсчета) на относительную скорость

точки.

С л у ч а й п о с т у п а т е л ь н о г о п е р е н о с н о г о д ви ­

ж е н и я . В этом случае со=0 и, следовательно, ак0, = 0. В резуль­ тате равенство (91) дает*

* Этот результат виден и из рис. 188, 189. Когда кривая АВ перемещаетс поступательно, то вектор t»0T придетji положение mjft, показанное на рис. 188 пунк­ тиром, т. е. не изменится, и будет (duOT),= 0 . Одновременно при этом все точки кри­ вой АВ имеют одинаковые скорости и в точке М' (рис. 189) и„ер будет таким же, как в точке М, т. е. показанным пунктиром, вследствие чего (doBep)i=®.

163

1)когда о)=0, т. е. когда переносное движение является посту­

2) когда роти= 0, т. е. когда относительная скорость в данный момент времени обращается в нуль;

3) когда а = 0 , или а=180°, т. е. когда относительное движение происходит по направлению, параллельному оси переносного

вращения, или если в данный момент времени вектор v0T паралле­ лен этой оси.

§ 67. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

А. П е р е н о с н о е д в и ж е н и е п о с т у п а т е л ь н о е . В случае, когда переносное движение является поступательным, характер задач и методы их решения аналогичны задачам на сложение скоростей (см. § 65).

Задач» 77^ Клин, движущийся прямолинейно по горизонтальной плоскости

с ускорением в}, перемещает вдоль вертикальных направляющих стержень DE (рис. 192). Определить ускорение стержня, если угол клина равен а.

Р е ш е н и е . Абсолютное ускорение ад точки D стержня направлено по вер­ тикали вверх. Его можно рассматривать как слагающееся из относительного ус­

корения аот, направленного вдоль щеки клина, и переносного ускорения апер|

равного ускорению клина at (так как переносное движение, т. е. движение клина, является поступательным). Строя на основании равенства (95) соответствующий

параллелограмм и учитывая, что aj,ep==^i> найдем

в д = в 1 tg a .

Величина вд и определяет ускорение стержня.

Б. П е р е н о с н о е д в и ж е н и е в р а щ а т е л ь н о е . Покажем, как

вычисляется aag, когда переносное движение является вращением вокруг непод­ вижной оси.

Рассмотрим точку М, движущуюся по поверхности некоторого тела (напри­

мер, шара) вдоль заданной кривой АМ В позакону s=7i(<). где*=ЛА! (рис. 193). При этом само тело вращается вокруг оси ВА по закону <р= / 2(0, где <р — угол по­ ворота тела. Первое из названных движений считаем относительным, а второе — переносным для точки М. Пусть требуется найти значение аав в некоторый мо­ мент времени t= tx. Расчет сводится к следующему.

164

1. Определение положения точки. Полагая в уравнении s= /, (f) время t= tlf

определяем положение точки М на кривой АВ при и изображаем точку на чертеже в этом положении.

2. Определение v0T и а0Т. По формулам кинематики точки (см. § 42, 43) нахо­

дим:

: — S, Аот — ^от» а от — уот/ро

где рот — радиус кривизны кривой АВ в точке М. Определяем числовые значения

том знаков иот и а5т; на рис. 193 векторы иот и ^ т показаны для случая, когда

»от> 0 и а5г> 0). _

3. Определение antf. Сначала находим ш—ф и е=ш и вычисляем их значения a>j и et при t = tv Затем определяем h — расстояние точки М от оси ВА в момент

времени fj. После этого находим a„eр и айер как ускорения той точки тела, с ко­ торой в данный момент времени совпадает точка Af, т. е. по формулам (см. § 51)

впер^Л*!, Дпер = htiii*

Изображаем векторы Д тР и"вЙер на чертеже (с учетом знака ajep; на рис. 193 вектор Ожр показан_для случая, когда et < 0 и, следовательно, а » р< 0).

4. Определение aKOp. Модуль и направление акор определяются так, как это

показано в конце § 66. Вектор акор также изображаем на чертеже. 5. Определение а,*- По теореме Кориолиса находим

в«б = в о т + во т + а пер + вп ер + в“кор-

Если сумму стоящих справа векторов трудно найти геометрически, то, проводя какие-нибудь координатные оси Мхуг (рис. 193), вычисляем проекции всех слагае­ мых векторов на эти оси. Тогда по тео­ реме о проекции суммы векторов на ось

Конкретный пример такого расчета см. в задаче 81.

Задача 78. Кулиса ОА вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг оси О (рис. 194). По прорези кулисы скользит ползун В с постоянной относитель­ ной скоростью и. Определить абсолютное ускорение ползуна в зависимости от его расстояния х до оси О.

Р е ш е н и е . По условиям задачи относительное движение ползуна по про­ рези кулисы является равномерным и прямолинейным; следовательно, вох= 0 .

Движение кулисы ОА будет для ползуна В переносным. Следовательно, пере­

носное ускорение амр ползуна равно ускорению той точки кулисы, с которой в данный момент времени совпадает ползун. Так как эта точка кулисы движется

165

по окружности радиуса ОВ—х и <о=const, то вектор а Пер= а пер и направлен вдоль

ВО, а по модулю a„ep=al}ep=<iftc.

Кориолисово ускорение акор—2а>и, так как движение плоское. Повернув

вектор относительной скорости и вокруг точки В на 90° в сторону переносного вра­

щения (т. е, -по ходу часовой стрелки), находим направление акор. По теореме Кориолиса

ваб = а от "Ь °п ер Ч" акор'

Вданном случае вох= 0, а акор.перпендикулярно апер. Следовательно,

0*6= ^ Опер + Окор = ШУ to*.**-f- 4и*.

Задача 79. Эксцентрик, представляющий собой круглый диск радиуса R , вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси О, проходящей через край диска (рис. 195). По ободу диска с постоянной относительной скоростью и

скользит штифт М , начиная свое движение из точки А. Определить абсолютное ускорение штифта в произвольный момент времени t. Направления движений по­ казаны нгг чертеже.

Р е ш е н и е . В момент времени t штифт находится от точки А на расстоянии

Направлен вектор ~а„т=аЗг по радиусу МС.

Движение диска будет для штифта М переносным движением. Следовательно,

переносное ускорение впер штифта равно ускорению той точки диска, с которой в данный момент совпадает штифт. Эта точка диска движется по окружности ра­ диуса 0M = 2R cos а. Так как для диска ш= const, то е= 0 и

tee

Для определения модуля’а.в проведем оси М ху (см. рис. 195) и спроектируем обе части равенства (д) на эти оси. Получим:

на юг поступательно (рис. 196) со скоростью иот= ц . Найти модуль и направление корнолисова ускорения тела, когда оно находится на широте X.

Р е ш е н и е . Пренебрегая размерами тела, рассматриваем его как точку. Относительная

скорость и тела рбразует с земной осью угол Я, Следовательно, -

<jk0p = 2<a к sin X,

где ш — угловая скорость Земли.

Таким образом, наибольшее кориолисово ускорение тело имеет на полюсе при л=90°. По мере приближения к экватору значение акор убы­ вает и на экваторе при Х=0 обращается в нуль

(на экваторе вектор v0T= u параллелен оси вра­ щения Земли).

Направление акор находим как направление векторного произведения. Так как акор=2шХи»

получаем, что вектор акор направлен перпенди­ кулярно плоскости, проходящей через векто­

ры и, о), т. е. перпендикулярно плоскости меридионального сечения, на восток,

откуда кратчайшее совмещение вектора ю с вектором и видно против хода часовой стрелки.

Вопрос о том, как изменяется движение тел по земной поверхности вследствие наличия кориолисова ускорения, рассматривается в динамике. Однако из получен-; ной формулы видно, что величина акор обычно мала, так как мала угловая ско­ рость Земли.

Задача 81. Прямоугольный треугольник ABC, гипотенуза которого А В = =26=20 см, a ZC B A = a= 60°, вращается вокруг оси Сгх (рис. 197) по закону <р= Ш —2Р. Вдоль гипотенузы АВ около ее середины О колеблется точка М по закону 5=6 cos (я//3) (ось 0£ направлена вдоль ОА), Найти абсолютное ускоре­ ние точки М в момент времени < ,= 2 с.

Р е ш е н и е . 1. Считая движение точки М вдоль гипотенузы АВ относитель­ ным, определяем положение этой точки на гипотенузе в момент времени t Из уравнения движения находим

£х= 6 cos (2я/3)=—6/2.

Следовательно, точка М находится в момент времени Ц на середине отрезка ОВ. Изображаем это положение на чертеже.

2. О п р е д е л е н и е иот. Так как относительное движение является пря­ молинейным, то

ti0T = I = —(яб/3) sin (я</3).

В момент времени / j = 2c

v0r i — — лЬ V 3/6, I vozi | = 5я У 3/3 см/с.

Знак минус указывает, что вектор иот направлен в момент времени ti от М к точке В.

3, О п р е д е л е н и е шие . Беря производные, находим: ш= ф = 10—4/, (01 = 2 0“ ®,

167

где <»!— значение ш в момент времени /t = 2с;

°от = tf0T = — (л*/9) Ь соз (л//3).

Вмомент времени /х=2с а0т1= я**/18 = 5я*/9 см/с*.

5.О п р е д е л е н и е опер. Движение треугольника будет для точки М

переносным движением. Следовательно, переносное ускорение апер точки М рав­ но ускорению той точки треугольника, t которой в данный момент времени совпа­ дает точка М. Эта тонка треугольника движется по окружности радиуса M D=h, причем в момент времени /х= 2с

Л = (6/2) sin a = 5 У 3/2 см.

Таким образом, в этот момент времени

впер = ел = — 10 V" 3 см/с1, Опер= ш*Л = 10 У 3 см/с*.

Вектор aJiep направлен перпендикулярно плоскости ABC в сторону, противо­

положную направлению вращения треугольника. Вектор аЦер направлен вдоль линии MD к оси вращения Сгх.

6 . О п р е д е л е н и е акор. По модулю в момент времени /х=2с

°кор = 2 1со | • Iс’от | sin а = 10я см/с*,

так как угол между v0T и осью Сгх равен в данном случае а .

Проектируя вектор v0T на плоскость, перпендикулярную оси Сг1 (проекция направлена вдоль линии MD), и повернув эту проекцию на 90° в сторону перенос­

ного вращения, т. е. против хода часовой стрелки, найдем направление акор (оно

в данном случае совпадает с направлением "ajep)-

Для нахождения модуля a,g проводим оси Мхуг (рис. 197) и вычисляем про­ екции всех векторов на эти оси. Получаем:

Оаб jc= ОкорЧ- I дпер | — Юя -f- 10 У 3 « 48,7 см/с*,

вшбу = а0Ts ln a —Опер = 5л* У 3/18— 10 У 3 я — 12,6 см/с*,

а»6 * = —аот cos a = —5я*/18 « 2,7 см/с*.

168

Глава XIV*

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

$ 68. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ

Если тело движется относительно подвижных осей Охуг (см. рис. 182), а эти оси совершают одновременно переносное движение по отношению к неподвижным осям OiJC^Zi, то результирующее (абсолютное) движение тела называют сложным (см. §64).

Задачей кинематики в этом случае является нахождение зависи­ мостей между характеристиками относительного, переносного и абсолютного движений. Основными кинематическими характеристи­ ками движения тела, как мы знаем, являются его поступательные и угловые скорости и ускорения. Мы ограничимся в дальнейшем опре­ делением зависимостей только между поступательными и угловыми скоростями тела (кроме одного случая, рассмотренного в §71).

Рассмотрим сначала случай, когда относительное движение тела является поступательным со скоростью v u а переносное движение — тоже поступательное со скоростью v t . Тогда все точки тела в отно­ сительном движении будут иметь скорость vt, а в переносном —

скорость vt. Следовательно, по теореме сложения скоростей все точки тела в абсолютном движении имеют одну и ту же скорость

u=u1+ t'j, т. е. абсолютное движение тела будет .тоже поступатель­ ным.

Итак, при сложении двух поступательных движений со скоростя­ ми Vi и у, результирующее движение тела также будет поступатель­

ным со скоростью. v= v1+ v t.

Задача сложения скоростей в этом случае сводится к задаче кинематики точки (см. § 65).

$ 69. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ВОКРУГ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела явля­ ется вращением с угловой скоростью a>i вокруг оси аа', укрепленной на кривошипе Ьа (рис. 198, а), а переносное — вращением криво­ шипа Ьа вокруг оси bb', параллельной аа', с угловой скоростью о,. Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной осям. Здесь возможны три частных случая.

169

Легко видеть, что точка А, как лежащая на оси Аа', получает ско­ рость только от вращения вокруг оси ВЬ', следовательно, t»A=co,-АВ.

Точно так же vB—v)x-AB. При этом векторы vA и vB параллель­

ны друг другу (оба перпендикулярны АВ) и направлены в разные стороны. Тогда точка С (см.‘ § 56, рис. 153, б) является мгновенным центром скоростей (vc =0) , а следовательно, ось Сс', параллельная осям Аа' и ВЬ', является мгновенной осью вращения тела.

Для определения угловой скорости со абсолютного вращения тела вокруг оси Сс' и положения самой оси, т. е. точки С, восполь­ зуемся равенством [см. § 56, формула (57)]

<i>=vBIBC=vAlАС, откуда <о= (VA + VB)IAB.

Последний результат получается из свойств пропорции. Подставляя в эти равенства vA—a t 'AB, VB —щ -АВ, найдем окон­ чательно:

Итак, если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его резуль­ тирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью (o=(o1+coa вокруг мгновенной оси, параллель­ ной данным; положение этой оси определяется пропорциями (98).

С течением времени мгновенная ось вращения Сс' меняет свое

чае, найдем, что скорости точек А к В будут численно равны: оА=»

=со,ч4В, хув =(их-АВ\ при этом vA и vB параллельны друг другу и направлены в одну сторону. Тогда мгновенная ось вращения про-

170