Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

дению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. Если этот угол острый,— проекция положитель­ на, если тупой,— отрицательна, а.если сила перпендикулярна оси,— ее проекция на ось равна нулю. Так, для сил, изображенных на рис.

заключенный между проекциями начала и конца силы F на ату плоскость (рис. 19). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своими числовыми значениями,

удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектиро­ вать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 19, найдем таким способом, что

аналитического задания силы необходимо выбрать систему коорди­ натных осей Охуг, по отношению к которой будет определяться на­

правление силы в пространстве. В механике мы будем пользоваться правой системой координат, т. е. такой системой, в которой крат­ чайшее совмещение оси Ох с осью Оу происходит, если смотреть с положительного конца оси Ог, против хода часовой стрелки (рис. 20).

21

Вектор, изображающий силу F, можно построить, если извест­ ны модуль F этой силы и углы а , р, у, которые сила образует с ко­ ординатными осями. Таким образом, величины F, я , р, у и задают

силу F. Точка А приложения силы должна быть задана отдельно ее координатами х, у, г.

Для решения задач механики удобнее задавать силу ее проекци­ ями Fx, F tt, F z на координатные оси. Зная эти проекции, можно опре­ делить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями, по формулам:

F = V P x+ F l + F l

cos a = Fx/F, cos p = Fy/F, cos y = F jF .

Если все рассматриваемые силы расположены в одной плоскости, то каждую из сил можно задать ее проекциями на две оси Ох и Оу. Тогда формулы, определяющие силу по ее проекциям, примут вид:

реход от зависимостей между векторами к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы гео­ метрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраи­ ческой сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Согласно

этой теореме, если R есть сумма сил Fu F t, . . ., Fn, т. е. R = 2 F h, то

Зная R x, R v и Rz, по формулам (6) находим:

R - V R i + R f + R l

= R x/R, cosp = R y/R, cosy — R z/R.

Формулы (8), (9) и позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.

Для сил, расположенных в одной плоскости, соответствующие

Если силы заданы их модулями и углами-с осями, то для приме­ нения аналитического метода сложения надо предварительно вычис­ лить проекции этих сил на координатные оси.

Задач* 3. Найти сумму трех лежащих в одной плоскости сил (рис. 21, а),

22

Тогда по формулам (10)

R x = 1 5 - 5 = 10 Н, R y= - 8 ,6 6 + 8 ,6 6 - 2 4 = - 2 4 Н.

Следовательно,

R = V 10»+ (-2 4 )» = 26 Н ; cos а = 5/13, cos fl = — 12/13.

Окончательно R = 2 6 Н, а = 6 7 ° 2 0 \ Р=157°20'.

Д ля решения той же задачи геометрическим методом надо, выбрав соответ­

ствующий масштаб (например, в 1 см — 10 Н ), построить из сил Р , F и Т сило­

вой многоугольник (рис: 21, б). Его замыкающая ad и определяет в данном ма­

сштабе модуль н направление R . Если, например, при измерении получим е й » « 2 ,5 см, то, следовательно, /?~25 -Н с ошибкой по отношению к точному решению около 4% .

§ в. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твер­ дому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил (см. § 4) были равны нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, мож­ но выразить в геометрической или в аналитической форме.

1. Г е о м е т р и ч е с к о е у с л о в и е р а в н о в е с и я .

Т^к как главный вектор R системы сил определяется как замыкаю­ щая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил

(см. рис. 15), тоТ? может обратиться в нуль только тогда, когда ко­ нец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой силы, т. е. когда многоугольник замкнется.

Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необхо­ димо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из

чески модуль главного вектора системы сил определяется формулой

R = V R l + R I + R I

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно R x—0, /?„=(), R z—0, т. е., как это следует из формул (8), когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам:

23

Равенства (11) выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каж­ дую из трех координатных осей были равны нулю.

Если все действующие на тело сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В слу­ чае плоской системы сходящихся сил получим, очевидно, только два условия равновесия:

иногда удобно пользоваться следующей теоремой: если твердое те­ ло находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересека­ ются в одной точке.

Д ля доказательства теоремы рассмотрим сначала какие-нибудь

две из действующих на тело сил, например и Ft . Так как по усло­ виям теоремы эти силы лежат в одной плоскости и не параллельны, то их линии действия пересекаются в некоторой точке А (рис. 22). Приложим силы F! и F* в этой точке и заменим их равнодействующей R . Тогда на тело будут действовать две силы: сила R и сила F,, приложенная в какой-то точке В тела. Если тело при этом находит­ ся в равновесии, то силы R и F , должны быть направлены по одной

прямой, т. е. вдоль А В . Следовательно, линия действия силы Ft тоже проходит через точку А , что и требовалось доказать.

Обратная теорема места не имеет, т. е. если линии действия трех сил пересекаются в одной точке, то тело под действием этих сил может и не находиться в равновесии; следовательно, теорема выра­ жав!' только необходимое условие равновесия тела под действием

Пример. Рассмотрим брус А В , закрепленный в точке А шарниром и опираю­ щийся на выступ D (рис. 23). На этот брус действуют три силы: сила тяжести Р~,

реакция W p выступа и реакция R д шарнира. Так как брус находится в равновесии, то линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке. Линии действия

сил Р~и известны и они пересекаются в точке К. Следовательно, линия дей­

ствия приложенной в точке А реакции R x тоже должна пройти через точку К , т. е. должна быть направлена вдоль прямой А К. Теорема о трех силах позволила в этом случае определить заранее неизвестное направление реакции шарнира А .

24

размерностей (размерности каждого из слагаемых в обеих частях равенства должны быть одинаковыми). Числа, если решение произ­ водится в общем виде, подставляются только в окончательные ре­ зультаты.

В этом параграфе рассмотрим задачи на равновесие тела под дей­ ствием сходящихся сил. Для их решения можно пользоваться гео­ метрическим или аналитическим методом.

Геометрический метод. Им удобно пользоваться, когда общее число действующих на тело сил (и заданных, и искомых) равно трем. При равновесии треугольник, построенный из этих сил, дол­ жен быть замкнутым (построение следует начинать с заданной си­ лы). Решая этот треугольник, найдем искомые величины.

Аналитический метод. Им можно пользоваться при любом числе приложенных сил. Для составления условий равновесия, кото­ рых в случае плоской системы сходящихся сил будет два [формулы (12)], а в случае пространственной системы три [формулы(11)1, надо сначала выбрать координатные оси. Этот выбор можно производить произвольно, но полученные уравнения будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно какой-либо неизвест­ ной силе.

Для составления условий равновесия полезно на первых порах предварительно вычислить проекции всех сил на выбранные оси, внося их в отдельную таблицу (см. задачу 4).

Ряд дополнительных указаний дается в ходе решения рассмат­ риваемых ниже задач.

Задача 4. Груз весом Р лежит на гладкой наклонной плоскости с углом на­

клона а (рис. 24, а). Определить значение горизонтальной силы F , которую надо приложить к грузу, чтобы удержать его в равновесии, и найти, чему при этом рав­

на сила давления Q груза на плоскость.

__ Р е ш е н и е . Искомые силы действуют на разные тела: сила Т на груз, сила

треугольник, построенный из сил Р , F н N , должен быть замкнутым. Построение треугольника начинаем с заданной

силы. От произвольной точки а в выбранном масштабе откладываем силу Р (рис. 24, б). Черея начало и конец этой силы проводим прямые, параллельные на­

правлениям с и л Т и Ж Точка пересечения этих, прямых дает третью вершину с замкнутого силового треугольника abc, в котором стороны Ьс и со равны в выбран­ ном масштабе искомым силам. Направление сил определяется правилом стрелок: так как здесь равнодействующая равна нулю, то при обходе треугольника острия стрелок нигде на должны встречаться в одной точке.

26

Модули искомых сил можно из треугольника abc найти и путем численного расчета (в этом случае соблюдать масштаб при изображении сил не надо). Заме­ чая, что Z b a c = 90 , a Z a b c = a , получим:

F = P tg a , N — Pfcos а .

Аналитический способ. Так как система действующих сходящихся сил является плоской, для нее надо составить два условия равновесия (12). Сначала проводим координатные оси; при этом для получения более простых уравнений ось х на­

правляем перпендикулярно неизвестной силе N . Далее вычисляем проекции сил Р>

F, N на оси х н у , внося их в таблицу *:

a < 4 5 F < Р , а при a > 4 5 ° .f > Р ; /V > P при любом а > 0 .

Искомая сила давления груза на плоскость численно равна N , но направлена

в противоположную сторону (Q— —N ).

Задача 5. Стержень А В прикреплен к неподвижной опоре ш арниром А (рис. 25, а). К концу В стержня подвешен груз весом Р и прикреплена нить. Нить перекинута через блок С и к ней подвешен груз весом Q. Оси блока С и ш арнира А расположены на одной вертикали, причем А С — А В . Найти, при каком угле a система будет в равновесии и чему при этом равно усилие в стержне А В; весом стер­

все данные и искомые силы. Изобразим для наглядности стержень отдельно (рис. 25, б) и покажем действующие на него силы: силу 'Р, численно равную весу

груза, натяжение Т нити и реакцию R A , направленную вдоль стержня, так как стержень считается невесомым. Если трением в оси блока пренебречь, то натяж е­ ние нити, перекинутой через блок, при равновесии всюду одинаково; следователь­

силовой треугольник cab (рис. 25, в), начиная с силы Р . Из подобия треугольников abc и ABC находим, что ca= ab и Z c a b = a . Следовательно,

только, если Q < 2 P . Стержень при этом будет сжат с силой, равной Р , независи­ мо от значений груза Q и угла а .

*Таблицу целесообразно заполнять по столбцам, т. е. сначала вычислить

проекции на обе оси силы Р , затем силы F и т. д. Предварительное составление та­ ких таблиц уменьшает вероятность ошибок в уравнениях и особенно полезно иа первых порах, пока не будет приобретен достаточный навык в проектировании сил, а затем и в вычислении их моментов. Примеры таких таблиц для других систем сил даются далее в задачах 10, 19 (§ 17) и 40 (§ 30).

27

Случай, когда а. = 180°, долж ен быть рассм отрен отдельно. Легко видеть,

данной нагрузки, если вы лет крана равен I и A B = h .

f t

Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесий крана, к которому приложены задан­ ная и искомые силы. Изображаем действующие на кран силу Р и реакцию подшип­

ника Я д, направленную периендикулярно оси А В . Реакция подпятника R g мо­ ж ет иметь любое направление в плоскости чертежа. Но кран находится в равно­ весии под действием трек сил; следовательно, их линии действия должны пересе­ каться в одной точке. Такой точкой является точка £ , где пересекаются линии

действия сил Р"и 7?д. Таким образом, реакция R g будет направлена вдоль BE.

Применяя геометрический способ решения, строим из сил Р , Яд и R g замкну­ тый треугольник abc, начиная с заданной силы Р. Из подобия треугольников abc

И з треугольника abc видно, что направления реакций ~RA n~RB показаны на чертеж е правильно. С илы давления на подшипник А и подпятник В численно

равны R j и R B , но направлены противоположно реакциям. Значения этих давле­ ний будут тем больше, чем больше отношение llh.

Рассмотренная задача дает пример использования теоремы о трех силах. Задача 7. К шарниру А коленчатого пресса приложена горизонтальная сила

"Р (рис. 27, а). Пренебрегая весом стержней и поршня, определить силу давления поршня на тело М при данных углах а и р.

Р е ш е н и е . Рассмотрим сначала равновесие шарнира А , к которому при­ лож ена единственная заданная сила 7Г На ось шарнира кроме силы /^действуют

Теперь рассмотримравновесие порцшя. На поршень действуют тоже три силы:

сила давления R i = — R , стержня АВ, реакция Я”стенки и реакция Q прессуемого тела. Так как сил три, то они при равновесии должны быть сходящимися.

28

Строя из этих сил силовой треугольних (рис. 27, в), находим из него

Q = /? i cos p.

Подставляя вместо R i равную ей R i, получаем окончательно

_ Р соз а соэ р ________Р

4 sln(a-)-p) — t g a - f t g p

Сила давления поршня на тело М равна по модулю Q и направлена в противопо­ ложную сторону. Из последней формулы видно, что при одной и той же силе Р сила Q возрастает с уменьшением углов а и р .

Если длины стержней ОА и А В одинаковы, то а = р и Q = 0 ,5 Р ctg а .

Рис. 27 Рис. 28

Задача 8. На цилиндр весом Р , лежащий на гладкой горизонтальной пло­

скости, действует горизонтальная сила Q, прижимающая его к выступу В (рис. 28). Определить реакции в точках А и В , если B D = h — R l2 (R — радиус цилиндра).

Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие цилиндра, на который действуют за­

данные силы Я, 5"и реакции связей Жд и 17д (реакция Wg направлена по нормали к поверхности цилиндра, т. е. вдоль радиуса ВС). Все силы лежат в однОй пло­ скости и сходятся в точке С. Так как сил четыре, то удобнее воспользоваться ана­ литическими условиями равновесия l F kx= 0, 2 F*i/= 0 . Проведя координатные оси так, как показано на рис. 28, получим:

Q — AfB c o s a = 0, N л — P + N g sin a = 0.

При h = 0,5 R получим s in a = ( i? —h )lR = 0 ,5 и a = 3 0 ° . Тогдй из первого урав­ нения находим

А’а — Q/ c°s a = 2Q V 3/3. Подставляя это значекие N g во второе уравнение, получим

N A = P — < H g a = P — Q V 3 /3 .

П ри Q = P y / 3 реакция N A обращ ается в нуль, а если Q > P sJ'i, то цилиндр оторвется от плоскости и под действием силы Q начнет поворачиваться вокруг выступа В.

Задача 9. Н а кронш тейне, состоящ ем из стержней А В и ВС, скрепленны х друг с другом и со стеной ш арнирам и, укреплен в точке В блок (рис. 29, а). Через блок перекинута нить, один конец которой привязан к стене, а на другом подвешен груз весом Q. О пределить реакции стержней, пренебрегая их весом и размерами блока. У глы а и Р заданы .

29

Р е ш е н и е . Рассмотрим равновесие блока с прилегающим к нему отрезком D E нити *. Д ля наглядности изобразим блок отдельно (рис. 29, б). На блок с от­ резком нити действуют четыре внешние силы: натяжение правой ветви нити, рав­

ное Q, натяжение левой ветви нити Т , по числовой величине тоже равное Q (T = Q ),

и реакции стержней R t vTRit направленные вдоль стержней. Силы, пренебрегая размерами блока, считаем сходящимися. Так как число их больше трех, восполь­

Из выражения для /?х следует, что при любых острых углах а и р /?t > 0. Это означает, что реакция направлена всегда так, как показано на чертеже. Сила же давления блока на стержень направлена в противоположную сторону (стержень

2) если при изображении реакций связей какая-нибудь из них будет направлена ие в ту сторону, куда она фактически действует, то при геометрическом решении это непосредственно обнаружится из силового многоугольника (правило стрелок), а при аналитическом решении числовая величина соответствующей реакции полу­ чится отрицательной.

Однако во всех случаях, когда это можно наперед сделать, следует реакции связей сразу направлять верно. Например, в задаче 6 направление реакции под-

* В подобных случаях целесообразно рассматривать блок вместе с прилегаю щим к нему отрезком нити как одно тело. Тогда заранее неизвестные силы взаим­ ного давления нити и блока друг на друга будут силами внутренними и в условия равновесия не войдут.

30