Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

так как w=const. Окончательно находим закон равномерного кри­ волинейного движения точки в виде

Если в равенстве (25) положить $>=0, то s даст путь, пройденный точкой за время t. Следовательно,, при равномерном движении путь, пройденный точкой, растет пропорционально времени, а скорости точки равна отношению пути ко времени:

3. Р а в н о м е р н о е п р я м о л и н е й н о е д в и ж е н и е . В этом случае ап—ах= 0, а значит, и а = 0 . Заметим, что единствен­ ным движением, в котором ускорение точки все время равно нулю, является равномерное прямолинейное движение.

4. Р а в н о п е р е м е н н о е к р и в о л и н е й н о е д в и ­ ж е н и е . Равнопеременным называется такое криволинейное дви­ жение точки, при котором касательное ускорение остается все время постоянным: ат= const. Найдем закон этого движения, считая, что при t=Q s=s», a v=ve, где vt — начальная скорость точки. Со­ гласно первой из формул (21) dv=axdt. Так как a t =const, то, беря от обеих частей последнего равенства интегралы в соответствующих пределах, получим

Формулу (26) представим в виде

ds/dt—Vf+a^t или ds=i\,d/4-aT/d/.

Вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного криволи­ нейного движения точки

При этом скорость точки определяется формулой (26).

Если при криволинейном движении точки модуль скорости воз­ растает, то движение называется ускоренным, а если убывает,— замедленным. Так как изменение модуля скорости характеризуется

касательным ускорением, то движение будет ускоренным, если ве­ личины v и ах имеют одинаковые знаки (угол между векторами v и а острый, рис. 125, а), и замедленным, если разные (угол между

о и а тупой, рис. 125, б)

В частности, при равноперемет ном движении, если в равенстве

111

(26) о и Of имеют одинаковые знаки, движение будет равноускорен­ ным, а если разные знаки,— равнозамедленным.

Формулы (25) — (27) определяют также законы равномерного или равнопеременного прямолинейного движения точки, если считать s= x. При этом в равенствах (26) и (27) ат= а , где а — чис­

молинейное движение точки, при котором ее расстояние х от начала координат О изменяется со временем по закону

между положениями Л1„ (+/4) и М у(—А). Колебания, происходящие по закону (28), играют большую роль в технике. Они называются простыми гармоническими колебаниями. Величина А, равная наи­ большему отклонению точки от центра колебаний О, называется

амплитудой колебаний.

Легко видеть, что, начиная движение в момент t=0 из положения M t, точка вновь придет в это положение в момент времени tu для

совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний.

Следовательно, в этом движении и скорость, и ускорение точки изменяются с течением времени по гармоническому закону. По знакам у и а легко проверить, что когда точка движется к центру колебаний, ее движение является ускоренным, а когда от центра колебаний,— замедленным.

Аналогичные колебания происходят и при законе x=Asmkt, только движение в этом случае начинается из центра О.

Гармонические колебания по закону s—Acoskt (или в=Л sinW) точка может совершать, двигаясь вдоль любой кривой (см., напри­ мер, в § 46 задачу 51). Все сказанное о характере движения при этом сохранится с той лишь разницей, что последняя из формул (29) будет определять касательное ускорение точки; кроме него точка будет еще иметь нормальное ускорение an=v*/p,

§45. ГРАФИКИ ДВИЖЕНИЯ, СКОРОСТИ

ИУСКОРЕНИЯ то ч к и

Если в соответствующих масштабах откладывать вдоль оси абс­ цисс время t, а вдоль оси ординат — расстояние s, то построенная в этих осях кривая s=f(f) будет изображать график расстояний, или график двиясения точки. По этому графику наглядно видно, как изменяется положение точки (ее координата s) с течением времени.

112

Аналогично, в соответствующих масштабах могут быть построе­ ны кривые, дающие зависимость v(t) — график скорости и ax(t), aH(t), a(t) — графики касательного, нормального и полного ускоре­ ний.

На рис. 127, а, б, в сверху показаны графики движений, опре­ деляемых соответственно уравнениями (25), (27) и (28). Ниже на тех же рисунках изображены для этих движений графики скоростей и графики касательных ускорений.

График равномерного движения изображается, как мы видим, прямой линией, направленной под углом к оси абсцисс, график ско­ рости в этом случае — прямой, параллельной оси абсцисс (v=const), а график касательного ускорения — прямой, совпадающей с осью абсцисс (ат= 0). Для равнопеременного движения (в изображенном на рис. 127, б случае — ускоренного) график движения изобра­ жается ветвью параболы, график скорости — прямой, направлен­ ной под углом к оси абсцисс, а график касательного ускорения — прямой, параллельной оси абсциис (ах= const). Наконец, для гар­ монических колебаний (рис. 127, в) соответствующие графики изоб­ ражаются косинусоидами или синусоидами.

График движения не следует смешивать с траекторией, которая во всех рассмотренных случаях должна быть задана дополнительно.

Графики нормального и полного ускорений на рис. 127 не пока­ заны, так как ап и а кроме закона движения зависят еще от р, т. е. от вида траектории, и при одном и том же законе s—f(t) будут для разных траекторий разными.

§46. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Как уже указывалось, для решения задач кинематики надо знать закон движения точки. Если движение задано естественным спосо­ бом (дана траектория и закон движения вдоль траектории), то все характеристики движения (скорость, касательное, нормальное и полное ускорение) определяются по формулам, полученным в § 42—44. Этими формулами можно, конечно, пользоваться и когда движение задано другим способом.

Покажем, как можно найти касательное и нормальное ускорения точки, когда движение задано координатным способом, например, уравнениями (4). Для этого по формулам (12) — (15) находим н и а. Беря производную по времени от найден­ ной скорости v, можно определить ax=dv!dt. Но обычно это проще делать иначе.

Возьмем равенство i>*=t>J+t>J и продифференцируем обе его части по t\ получим

Теперь, зная а и axi определяем ап из равенства а’= а ? + вЦ. Одновременно мож­

но найти радиус кривизны траектории р из формулы а„=«^/р. Пример таких рас­ четов дан в задаче 53.

Задача 51. При небольших углах отклонения груз маятника (рис. 128) дви­ жется по окружности радиуса / по закону s = 4 sin kt (начало отсчета в точке О, Л и * — постоянные величины). Найти скорость, касательное и нормальное ускорения груза и те положения, в которых эти величины обращаются

внуль.

Ре ш е н и е . Пользуясь соответствующими формулами, находим:

Аксо» М; ot = о.= —<4**slnW;

а„ = v*/l = (А*к*/1) cos* kt.

Из закона движения следует, что груз со­ вершает вдоль траектории гармонические коле­ бания с дуговой амплитудой А. В крайних по­ ложениях (в точках В, и В,) sin kt= ± 1, а сле­ довательно, cos k t= 0. Поэтому в тбчках в , и Bt

скорость п нормальное ускорение обращаются в нуль; касательное же ускорение имеет здесь наибольшее по модулю значение ат т м ’=/**1-

Pibi*=^A!, а„ m»*=,i4***//.

Из данного примера видно, что при криволинейном неравномерном движении

вотдельных точках траектории атили а„ могут обращаться в нули. При этом вт= 0

втех точках, где do/dt^O , т. е. там, например, где о имеет максимум или минимум,

аап= 0 в тех точках, где о= 0 (как в нашем случае) или где р=оо (точка перегиба

где R я е — постоянные положительные величины, имеющие размерности: R — длины, « — углового ускорения (см, § 49),

114

Перейти к естественному способу задания движения, т. е. определить тра­ екторию и закон движения точки вдоль траекторйи в виде s= /(/). Найти также

что при t= 0 x = R , у — О, т. е. точка М находится на оси Ох. Примем это положение А<0 за начало отсчета О' расстояния s; тогда при < = 0 s = 0 . Когда <>0 у начинает возрастать, а х — убывать, т. е. точка начинает двигаться по направлению к оси Оу; примем это направление за положительное направление отсчета расстояния s.

^=P,eг/, . Подставляя это выражение в равенство (б) и вынося постоянный множи­ тель за знак интеграла, получим

о

Таким образом, точка движется по окружности радиуса R по закону s=Rel*/2. Скорость точки

ся по закону, определяемому уравнениями:

x = v j, y=gi*/2,

где VQ и g г— некоторые постоянные.

Найти траекторию, скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нор­ мальное ускорения и радиус кривизны траектории в любом положении, выразив

Таким образом, в начальный момент времени (/= 0) скорость точки о = с „ а затем с течением времени скорость непрерывно возрастает.

В данном случае точка движется с постоянным по модулю я направлению ус* корением, параллельным ося Оу (это ускорение силы тяжести). Обращаем внима­ ние на то, что хотя здесь а = const, движение точки не является равнопеременным, так как условием равнопеременного движения является не a=const, a aT=const.

В этом же движении, как мы сейчас увидим, ах не посто­ янно.

Для определения ат воспользуемся формулой (30). Под.

ставляя в нее значения соответствующих величин из ра­ венств (а) и (в), получим

ax= g 4 /v .

Но из равенства (б) о*=«£+£*<* я, следовательно*

<•=(!/*) Ко*—оJ-

Подставляя это значение t, выразим ах через скорость я

Отсюда следует, что в начальный момент времени, когда v= vt , et = 0. Затем, с увеличением v значение ах растет и при v-*-oo ax-*-g; следовательно, в пределе величина касательного ускорения стремится к полному ускорению g.

Для нахождения ап обратимся к зависимости a*= aj-|-Оп. Отсюда

вИ> =в* — flj = g*—g* (1 —vS/o*)= g'•oj/o*

Таким образом, в начальный момент времени (о=щ ) а „ = ^ , а затем с увеличе­ нием v значение а„ убывает, стремясь в пределе к нулю.

Для нахождения радиуса кривизны траектории воспользуемся формулой вв=в*/р, откуда

р—o*/an=t)*/o0g.

Вначальный момент времени радиус кривизны имеет наименьшее значение РпИп»

=0#lg, а затем с увеличением v радиус кривизны растет и, следовательно, кривизна

траектории уменьшается. При р-ю о р-*-оо, а кривизна стремится к нулю,

f47*. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ

ВПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Когда точка движется все время в одной и той же плоскости, ее положение можно определять полярными координатами г и ф (рис. 130). При движении точки эти координаты с течением времени изменяются. Следовательно, закон движения точки в полярных координатах будет задаваться уравнениями:

118

Скорость точки численно равна ds/d/, т. е. отношению элемен­ тарного перемещения ds к промежутку времени df. В данном случае перемещение ds геометрически слагается из радиального перемеще­ ния, численно равного dr, и поперечного перемещения, перпендику­

Формулы (32) и (33) определяют скорость точки в полярных ко­ ординатах при плоском движении.

Равенство (33) можно еще получить, выразив через т и <р декартовы координа­ ты точки в виде (рис. 130):

х — т cos ф, y = r sin ф.

Тогда х = г сое q>— r<psin ф, y = r sin ф +лр cos ф и по формуле (13)

0«=|/"Х* + у * = V Г*+Г*ф*.

Таким же путем, вычислив х и у; можно по формуле (15) найти выражение для ускорения точки в полярных координатах

При этом величина, стоящая под знаком радикала в первых скобках, равна а „ а во вторых скобках равна Ощ

Глава X.

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

f 48. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

В кинематике, как и в статике, будем рассматривать все твердые тела как абсолютно твердые. Задачи кинематики твердого тела рас­ падаются на две части:

1) задание движения и определение кинематических характе­ ристик движения тела в целом; 2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела.

Начнем с рассмотрения поступательного движения твердого тела.

Поступательным называется такое движение твердого тела,

117

при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Поступательное движение не следует смешивать с прямолиней­ ным. При поступательном движении тела траектории его точек мо­ гут бьгть любыми кривыми линиями. Приведем примеры.

1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно. Прй этом траектории его точек будут пря­ мыми линиями.

2. Спарник АВ (рис. 131) при вращении кривошипов 0 ХА -и 0 ,5 (0 ,Л = 0 ,А ) также движется поступательно (любая проведенная в нем прямая остается параллельной ее начальному направлению). Точки спарника движутся при этом по окружностям.

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном двиясении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению ско­ рости и ускорения.

Д ля доказательства рассмотрим твердое тело, совершающее по­ ступательное движение относительно системы отсчета Охуг. Возьмем в теле две произвольные точки А и В, положения которых в момент

времени t определяются радиусами-векторами гА и гв (рис. 132); проведем вектор^ А В, соединяющий эти точки. Тогда

При этом длина А В постоянна, как расстояние между точками твердого тела, а направление АВ остается неизменным,__так как тело движется поступательно. Таким образом, вектор А В во все

время движения тела остается постоянным (i4B=const). Вследствие этого, как видно из равенства (35) (и непосредственно из чертежа), траектория точки В получается из траектории точки А параллель­

ным смещением всех ее точек на постоянный вектор АВ. Следова­ тельно, траектории точек А и В будут действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми.

Д ля нахождения скоростей точек А я В продифференцируем обе части равенства (35) по времени. Получим

drB/dt = drA/dt + d (AB)/dt.

118

Но производная от постоянного вектора А В равна нулю. Про­ изводные же от векторов тА и гв по времени дают скорости точек 4 и В. В результате находим, что

»л = va,

г. е. что скорости точек А и В тела в любой момент времени оди­ наковы и по модулю, и по направлению. Беря от обеих частей полу- <енного равенства производные по времени, найдем:

dvA/di —dvB/dt илИ аА—аa:

Следовательно, ускорения точек А и В тела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению.

Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из найден­ ных результатов следует, что у всех точек тела их траектории, а также скорости и ускоре­ ния в любой момент време­ ни будут одинаковы. Таким образом, теорема доказана.

Скорости и ускорения точек движущегося тела образуют векторные поля— ноле скоростей и поле ускорений точек тела.

Из доказанного следует, что поля скоростей и ускорений точек тела, движущегося поступательно, будут однородными (рис. 133), но вообще не стационарными, т. е. изменяющимися во Времени (см. } 32).

Из теоремы следует также, что поступательное движение тверкогр тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела :водится к задаче кинематики точки, нами уже рассмотренной.

При поступательном движении общую для всех точек тела ско­ рость v называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение а — ускорением поступательного движения тела. Век-

горы v и а можно изображать приложенными к любой точке Тела. Заметим, что понятия о скорости и ускорении тела имеют смысл

полько при поступательном движении. Во всех остальных случаях гочки тела, как мы увидим, движутся с разными скоростями и ускорениями, и термины «скорость тела» или «ускорение тела» для этих движений теряют смысл.

1 49. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ОСИ. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во

119

все время двизкения неподвижными (рис. 134). Проходящая через неподвижные точки А и В прямая А В называется осью вращения.

Так как расстояния между точками твердого тела .должны оста­ ваться неизменными, то очевидно, чго при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности; плоско­ сти которых перпендикулярны оси враще­

ния, а центры лежат на этой оси.

Для определения положения вращаю­ щегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось Az, полуплос­ кость I — неподвижную и полуплоскость. // , врезанную в само тело и вращающую­ ся вместе с ним (см. рис. 134). Тогда поло­ жение тела в любой момент времени одно­ значно определится взятым с соответствую­

щим знаком углом <р между этими полуплоскостями, который назо­ вем угло'м поворота тела. Будем считать угол ср положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положитель­ ного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол ф будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла <р от времени t, т. е.

Уравнение (36) выражает закон вращательного движения твер­ дого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ш и углевое ускорение е*.

Если за промежуток времени At=tx—t тело совершает поворот на угол Д<р=ф!—ф, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет ыср=Дф/А/. В пределе при Дi-*0

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной 6т угла поворота по времени. Равенство (37) показывает также, что величина о равна отношению элементарного угла поворота <1ф к соответствующему промежутку времени At. Знак со определяет направление вращения

* Подобно тому, как в § 42 мы условились обозначать символом ti числов значение скорости и одновременно ее модуль, здесь со и е будут обозначать число­ вые (алгебраические) значения угловой скорости и углового ускорения и одно­ временно их модули, когда-это не может Вызвать недоразумений.

120