Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

от х (рис. 232, б), вычисляя площадь о заштрихованной на чертеже трапеции и учитывая знак работы.) В полученной формуле х0 пред­ ставляет собой начальное удлинение пружины Х0, a xt — конечное

т. е. работа силы упругости равна половине произведения коэффици­ ента жесткости на разность квадратов начального и конечного удли­ нений (или сжатий) пружины.

Работа будет положительной, когда k0> ^ i, т. е. когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрицатель­ ной, когда Я,д<А,1, т. е. когда конец пружины удаляется от равновес­ ного положения.

Можно доказать, что формула (48) остается справедливой и в случае, когда перемещение точки М не является прямолинейным.

Таким образом, оказывается, что работа силы Т зависит только от значений Х0 и Хх и не зависит от вида траектории точки М. Сле­ довательно, сила упругости также является потенциальной.

3. Р а б о т а с и л ы т р е н и я . Рассмотрим точку, движу щуюся по какой-нибудь шероховатой поверхности (рис. 233) или кривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю fN, где / — коэффициент трения, a N — нормальная реакция поверхно­ сти. Направлена сила трения противоположно перемещению точки.

212

как однородный шар (или шар, состоящий из однородных концентрических сло­ ев), то на точку М с массой т, находящуюся вне шара на расстоянии г от его цент­ ра О (или находящуюся на поверхности шара), будет действовать сила тяготения

F, направленная к центру О (рис. 234), значение которой определяется формулой

(5) из § 76. Представим эту формулу в виде

F=km!r*

и определим коэффициент k нэ того условия, что, когда точка находится на поверх­ ности Земли (r=R, где R — радиус Земли), сила притяжения равна mg, где g — ускорение силы тяжести (точнее силы тяготения) на земной поверхности. Тогда должно быть-

mg=km/R* и k^g R 1.

Подсчитаем сначала элементарную работу силы Т. Как видно из рисунка, аде-

ментарное перемещение ММ' точки М можно разложить на перемещение Ма, чис­ ленно равнее приращению dr расстояния ОМ=г и направленное вдоль ОМ, и на

перемещение 'Mb, перпендикулярное ОМ, а следовательно, и силе?. Поскольку на

этом втором перемещении работа силы F равна нулю, а перемещение Ма направле­ но противоположно силе, то

Допустим теперь, что точка перемещается из положения Afe, где г= гв, • по­ ложение Mlt где г—г1. Тогда

— ----^

Работа будет положительной, если г0>г1, т. е. когда конечное положение точки ближе к земной поверхности, чем начальное, и отрицательной, если r0<rt . От вида траектории точки М работа силы тяготения, как видно из формулы (50), не зави­ сит. Следовательно, сила тяготения является потенциальной.

f 80. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ТОЧКИ

, Введем понятие еще об одной основной динамической характе­ ристике движения — о кинетической энергии. Кинетической анер­ гией материальной точки называется скалярная величина nw*l2, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Единица измерения кинетической энергии та же, что и работы (в СИ — 1 Дж). Найдем зависимость, которой связаны эти две вели­ чины.

213

Рассмотрим материальную точку с массой т, перемещающуюся из положения M t, где она имеет скорость v0, в положение М и где ее

СКОрОСГЬ V i.

Для получения искомой зависимости обратимся к выражающему основной закон динамики уравнению ma=luFh. Проектируя обе его части на касательную Мх к траектории точки М, направленную в сторону движения, получим

Входящее сюда касательное ускорение точки представим в виде

ментарная работа силы Fh, получим выражение т е о р е м ы об и з м е н е н и и к и н е т и т е с к о й э н е р г и и т о ч к и в д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й ф о р м е :

(51)

Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках М„ и M it найдем окончательно

(52)

Уравнение (52) выражает т е о р е м у о б и з м е н е н и и к и н е т и ч е с к о й э н е р г и и т о ч к и в к о н е ч н о м в и д е :

изменение кинетической энергии тонки при некотором ее перемеще­ нии равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

С л у ч а й н е с в о б о д н о г о д в и ж е н и я . При несво­ бодном движении точки в правую часть равенства (52) войдет работа

заданных (активных) сил F% и работа реакции связи. Ограничимся рассмотрением движения точки по неподвижной гладкой (лишенной

трения) поверхности или кривой. В этом случае реакция N (см. рис. 233) будет направлена по нормали к траектории точки и N x= 0. Тогда, согласно формуле (44), работа реакции неподвижной гладкой поверхности (или кривой) при любом перемещении точки будет равна нулю, и из уравнения (52) получим

(52')

214

Следовательно, при перемещении по неподвижной гладкой по­ верхности (или кривой) изменение кинетической энергии точки равно сумме работ на этом перемещении приложенных к точке

активных сил.

Если поверхность (кривая) не является гладкой, то к работе активных сил,прибавится работа силы трения (см. § 88). Если же по­ верхность (кривая) движется, то абсолютное перемещение точки М

может не быть перпендикулярно N и тогда работа реакции N не будет равна нулю (например, работа реакции платформы лифта).

изменяется ее скорость, определить работу действующих сил (пер­ вая задача динамики) или, зная работу действующих сил, опреде­ лить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики). При решении второй задачи, когда заданы силы, надо вычислить их работу. Как видно из формул (44), (44'), это можно сделать лишь тогда, когда силы постоянны или зависят только от положения (координат) движущейся точки, как, например, силы упругости или тяготения (см. § 88).

Таким образом, формулу (52) можно непосредственно использо­ вать для решения второй задачи динамики, когда в задаче в число данных и искомых величин входят: действующие силы, перемещение

точки и ее начальная и конечная скорости (т. е. величины F, s, Vo, v^, причем силы должны быть постоянными или зависящими только от положения (координат) точки.

Теорему в дифференциальной форме [формула (51)] можно, ко­ нечно, применять при любых действующих силах.

Задача 08. Груз массой т = 2 кг, брошенный со скоростью о0=20-м/с из пунк­ та А, находящегося на высоте Л=5м (рис. 235), имеет в точке падения С скорость 1),= 16 м/с. Определить, чему равна работа дей­ ствующей на груз при его движении силы сопро­

тивления воздуха Л.

Р е ш е н и е . На груз при его движении дей­ ствуют сила тяжести Р и сила сопротивления воз­

духа 7?. По теореме об изменении кинетической энергии, считая груз материальной точкой, имеем

mvl/2—mvl/2 = А(Р)-\-А (R).

деления тормозного пути s1=AfoAli, учитывая, что в условия данной задачи вхо» дят St, и0, Pi и постоянная сила F, воспользуемся теоремой об изменении кинети­ ческой энергии

ти*/2=2ЛшдЛ||>

216

В рассматриваемом случае Oj=0 fa — скорость груза в момент остановки). Кроме того, А (Р)=0 и A (N)—0, так как силы Р и N перпендикулярны перемеще­ нию, A (F)= —Fsi, поскольку /■= const. В итоге получаем —ffwJ/2=— откуда находим

Si — mv*/2F.

По результатам задачи 96 время торможения растет пропорционально началь­ ной скорости, а тормозной путь, как мы нашли,— пропорционально квадрату на­ чальной скорости. Применительно к наземному транспорту это показывает, как возрастает опасность с увеличением скорости движения.

Задача 100. Груз весом Р подвешен на нити длиной /. Нить вместе с грузом отклоняют от вертикали на угол ф0 (рис. 236, а) и отпускают_без начальной ско­

рости. При движении на груз действует сила сопротивления R, которую прибли­

женно заменяем ее средним значением R * (R *= const). Найти скорость груза в тот момент времени, когда нить образует с вертикалью угол <р.

Р е ш е н и е . Учитывая условия задачи, воспользуемся опять теоремой (52):

mv*/2— m vi/2= 1АШаМ). (а)

На'груз действуют сила тяжести Р, реакция нити N и’сила сопротивления, представленная ее средним значением R*. Для силы Р по формуле (47) А (P)=Ph, для силн N, так как Nx=0, получим A {N)=0, наконец, для силы R *, так как R * = const и Rx= —R *. по формуле (45) будет A (R .*)=—/? *s=—R

(длина $ дуги МЛМ равна произведению радиуса I на центральный угол ф0—<р). Кроме того, по условиям задачи и0= 0 , a m=P!g. В результате равенство (а) дает:

Pv*ftg=Ph — R*l(<pt —<р) и v= V 2gh —2gl (ф0—ф) R*/P-

При отсутствии сопротивления получаем отсюда известную формулу Галилея

о= справедливую, очевидно, и для скорости свободно падающего груза (рас. 236, б).

В рассматриваемой задаче A=/cos<p—/cos<p0. Тогда, введя еще обозначение R * 1 Р = к * (к * — средняя сила сопротивления, приходящаяся на единицу веса груза), получаем окончательно

V — У 2 й /[ С 0 3 ф — СОЗфо — * * (ф 0 — ф )Ь

Задача 101. Пружина клапана имеет в недеформированном состоянии длину *,—6 см. При полностью открытом клапане ее длина /= 4 см, а высота подъема клапана 4= 0,6 см (рис. 237). Жесткость пружины с= 150 Н/м, масса клапана т =

«=0,4 кг. Пренебрегая действием силы тяжести и сил сопротивления, определить скорость клапана в момент его закрытия.

Р е ш е н и е . Воспользуемся уравнением

216

По условиям задачи работу совершает только сила упругости пружины. Тог­ да по формуле (48) будет .

А(М,М,)—С(Ч— Ч)/2-

гт

Задача 102. Груз, лежащий на середине упругой балки (рис. 238), прогибает ее на величину Л*т (статистический прогиб балки). Пренебрегая весом балки, опре­ делить, чему будет равен ее. максимальный прогиб Хп , если груз упадет на балку с высоты М

Р е ш е н и е . Как и в предыдущей задаче, воспользуемся для решения урав­ нением (52). В данном случае начальная скорость груза v0и конечная его скорость i)j (в момент максимального прогиба балки) равны нулю и уравнение (52) прини­ мает вид

= —0,5cX4i, так как для балки Х„=0, Хх=А,я . Подставляя эти величины в ра­ венство (а), получим

Р(Н + Х а)-0 ,5 с \гт= 0 -

Но при равновесии груза на балке сила тяжести уравновешивается силой упру­ гости, следовательно, Р—сХСТ и предыдущее равенство можно представить в виде

—2ХСТХЯ—2ХСТН = 0.

Решая это квадратное уравнение и учитывая, что по условиям задачи долж­ но быть Х „> 0 , находим

Xm = XCI+ K * £ + 277^.

Интересно отметить, что при Н= 0 получается Хт =2Хст. Следовательно, если груз положить на середину горизонтальной балки, то ее максимальный прогиб при опускании груза будет равен удвоенному статическому. В дальнейшем груз начнет вместе с балкой совершать колебания около равновесного положения. Под влиянием сопротивлений эти колебания затухнут и система уравновесится в положении, при котором прогиб балки равен А.ст.-

Задача 103. Определить, какую наименьшую направленную вертикально вверх начальную скорость и0 надо сообщить телу, чтобы оно поднялось с поверх­ ности Земли на заданную высоту Н (рис. 239). Силу притяжения считать изменяю­ щейся обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Сопротив­ лением воздуха пренебречь.

Р е ш е н и е . Рассматривая тело как материальную точку с массой т, вос­ пользуемся уравнением

Работу здесь совершает сила тяготения F. Тогда по формуле (50), учитывая, что в данном случае r0= R, r ^ R + H , где R — радиус Земли, получим

A iM ^ ^m g R ^lK R + fn-H R ].

Так как в наивысшей точке и1= 0 , то при найденном значении работы уравне­ ние (а) дает

Следовательно, тело, брошенное с поверхности Земли со скоростью 11,2 км/с, навсегда покинет поле земного тяготения. Скорость, определяемая равенством (б), называется второй космической скоростью.

Можно доказать (см. гл. XX), что при начальных скоростях, лежащих при­ близительно в пределах 8 км/с<и0< 1 1 км/с, тело, брошенное по направлению ка­ сательной к земной поверхности, не упадет обратно на Землю, а превратится в земного спутника. При начальных скоростях, меньших 8 км/с, или при негоризонтальном •бросании тело, описай эллиптическую тра­ екторию, упадет обратно 'на Землю. Все эти результаты относятся к движению в безвоз­

душном пространстве.

Задача 104. Определить, пренебрегая тре­

нием, какую постоянную силу Q надо при­

ложить к поршню 1 (площадь поршня S, начальная скорость t>0= 0), чтобы сжать газ, находящийся в цилиндре 2, до давления ри если начальное давление равно р0 (рис. 240). Считать, что при сжатии давление, газа р растет обратно пропорционально его объему V (сжатие происходит медленно, процесс изо­ термический).

Направим ось Ох в сторону движения поршня, считая, что при х=0 давление P=PQ. Обозначим через /0 начальное расстояние поршня от дна цилиндра, а через *1 — перемещение поршня до положения, при котором 1 ^ = 0 и давление р—рх- Тан

218

как численно P=pS и Рх= —Р——pS, то по формуле (44')

о

Зависимость р от х найдем из условия, что давление обратно пропорциональ­ но объему, т. е. plp0=V0lV, где начальный объем V0= Sl0, а объем в произвольном положении V=S(l0—x). Тогда для р, а также для координаты х1г при которой р= =Pii получим выражения:

Учтя эти зависимости, найдем из равенства (б)

о

Далее, так как Q=const, получим с учетом соотношений (в)

»(Q) = Q * i= Q /o (i- g )= Q 'o ^ rf a .

При найденных значениях работ равенство (а) дает окончательно

Q = PoPl • S In —.

Pi Ро PQ

Если Рх>Ро» то, полагая приближенно рх—p<s**pi, получим

Q=PoS!n (pi/po)-

Сила Q с увеличением рх растет по логарифмическому закону, т. е. довольно медленно. Например, при pl=20p0 Q«3p05, а при рх=50ро Q»3,9p0S,

Глава XVIII

НЕСВОБОДНОЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

f 90. НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Движение материальной точки будет несвободным, когда в силу наложенных связей она вынуждена двигаться по заданной поверх­ ности или кривой. Ограничимся рассмотрением второго случая.

Д в и ж е н и е т о ч к и п о з а д а н н о й н е п о д в и ж н о й

Fl, Fi, . . F% и реакции связи N (рис. 241). Выберем на кривой начало отсчета О' и будем определять положение точки М криво­ линейной координатойs= О'М (см. § 37). Проведем из точки М оси МхпЬ (см. § 42), т. е. касательную Мх (в сторону положительного отсчета координаты s), главную нормаль Мп (в сторону вогнутости кривой) и бинормаль Mb и воспользуемся уравнениями (11) из § 77.

Так как кривая гладкая, то реакция N перпендикулярна кривой,

219