Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

Пусть система сил Flt F t .......... Fn приводится к равнодействую­

Тем самым теорема доказана. Ею часто бывает удобно пользо­ ваться при вычислении моментов сил.

Глава V

ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ

§ 14. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ СИЛЫ И ПАРЫ

Переходя к рассмотрению плоской системы сил (системы сил, как угодно расположенных в одной плоскости), начнем с введения

в той же плоскости, перпендикулярны этой плоскости, т. е. направ­ лены вдоль одной и той же прямой. Тогда, не прибегая к векторной символике, можно направления этих моментов отличить одно от

другого знаком и рассматривать момент силы F относительно центра О как алгебраическую величину. Условимся для краткости такой момент называть алгебраическим и обозначать символом m0 (F). Алгебраический момент силы F относительно центра О равен взя­ тому с соответствующим знаком произведению модуля силы на ее

41

гело вокруг центра О против хода часовой стрелки, и отрицатель­ ным— когда по ходу часовой стрелки. Так, для сил, изображенных

на рис. 42: m0 (P)*=Phlt m0 {Q)=— Qht.

Заметим, что полученные выше формулы (22) и (24), содержащие суммы моментов-векторов, сохранят свой вид и для алгебраических моментов, но суммы при этом будут не векторные, а алгебраические.

Т~, найдем плечо А = а sin а ; тогда с учетом знака m ^(F )= F a sin о .

Д ля силы. проще не находить плечо, а разложить Q*на составляю щ ие'^ и

5», для которых плечи будут соответственно равны А В = а и AD=b, а затем воспользоваться_формулой (24), т. е. теоремой Вариньона. Тогда с учетом знаков:

»«i4(5 j= /n ^(Q i)-i-m > (5 j ) = —Q ie+ Q ,* . Но QX= Q cos p. Qa= Q sin p и оконча­ тельно

т д (<2) = (? (b s ln P — a cos P).

Выражение в скобках и является плечом силы Q, что не сразу видно.

Заметим, что т д (?) можно тоже найти, разложив силу Т ~на составляющие Т1 и Тогда m jt(F )= m ji(F i)= {F sin а)о , так как т д ( / г,)= 0 .

2. А л г е б р а и ч е с к и й м о м е н т п а р ы . Поскольку момент пары сил равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы {формула (15')], то для пар, лежащих в

одной плоскости, момент пары мож­ но тоже рассматривать как алгеб­ раическую величину, называть алгебраическим и условиться обоз­ начать символом m (или М). При этом алгебраический момент пары равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары:

Правило знаков здесь такое же, как для момента силы. Так, для изображенной на рис. 44, а пары F, F' момент mi=Fdlt а для пары Р, Р' момент т ш——Pdt . Поскольку пара сил характеризуется только ее моментом, то на рисунках пару изображают часто просто

42

дуговой стрелкой, показывающей направление поворота пары (как на рис. 44, б).

Полученные выше формулы (16) и (17), содержащие суммы мо­ ментов-векторов, тоже сохранят вид для алгебраических моментов, цричем суммы будут алгебраическими.

Задача 12. Криволинейный рычаг A BC D (рис. 45) находится в равновесия

под действием двух параллельных сил Я и Я ', образующих пару. Определить силы давления на опоры, если А В — а = 15 см, В С = Ь — 30 см, C D = c= 20 см, Р = Р '= = 3 0 0 Н.

Рис. 45 Рис. 46

Р е ш е н и е . Заменим пару Я, Я' эквивалентной ей парой Q, Q ', силы кото­ рой направлены по направлениям реакций опор. При этом моменты пар должны

(рис. 46, а). Определить момент т , пары, которую надо приложить к шестерне 2 радиуса г ,, чтобы сохранить равновесие.

Р е ш е н и е . Рассмотрим сначала условия равновесия шестерни / . Н а нее действует пара с моментом т х, которая может быть уравновешена только действием

другой пары, в данном случае пары (Jj, ~Rl . Здесь — перпендикулярная радиусу

составляющая силы давления на зуб со стороны шестерни 2, a R i— тоже пер­ пендикулярная радиусу составляющая реакции оси А (сила давления на зуб и реакция оси А имеют еще составляющие вдоль радиуса, которые взаимно урав­ новешиваются и в условие равновесия не войдут). Принтом, согласно условию рав­

равенства действия и противодействия на нее со стороны шестерни / будет дей­

должна уравновеситься приложенной к шестерне 2 парой с моментом т , ; следова­ тельно, по условию равновесия (17), т , + (—Qa/’1) = 0 . Отсюда, так как Q ,= Q i, находим mt = m 1ri/r1.

Естественно, что пары с моментами m j и т , не удовлетворяют условию равно­

43

§15. ПРИВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

КПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ

Результат, полученный в§ 12, справедлив, конечно, и в частном случае плоской системы сил. Следовательно, плоская система сил тоже приводится к силе, равной R и приложенной в произвольно выбранном центре О, и паре с моментом М 0, но сила и пара лежат в данном случае в одной плоскости — в плоскости действия сил (рис. 47, а, где пара изображена дуговой стрелкой). Значения глав­ ного вектора R и главного момента М 0 даются формулами (21) и (22); при этом вектор R можно определить или геометрически по­

строением силового много-

£угольника (§ 4), или анали­ тически по формулам (10) из §5. Таким образом, для плос­ кой системы сил

Найдем, к какому простейшему виду может приводиться данная плоская система сил, не находящаяся в равновесии. Результат зави­

сит от значений R и М 0-

1. Если для данной системы сил /? = 0, а М о¥=0, то она приво­ дится к одной паре с моментом М 0 . Как показано в конце § 12, значение М 0 в этом случае не зависит от выбора центра О.

2. Если для данной системы сил R=£0, то она приводится к одной силе, т. е. к равнодействующей. При этом возможны два случая:

а) R=£0, М о —0. В этом случае система, что сразу видно, приво­ дится jc равнодействующей R, проходящей через центр О;

б) R~£0, МоФО. В э'гом случае пару с моментом М 0 можно изо­

бразить двумя силами/?' и R беря R ' = R , a R ”= —R (рис. 47, б). При этом, если d —OC•— плечо пары, то должно Ьыть

Отбросив теперь силы R и R", как уравновешенные, найдем,

что вся система сил заменяется равнодействующей R ' ==R, проходя­ щей через точку С. Положение точки С определяется двумя условия­

ми: 1) расстояние OC=d (OC±.R) должно удовлетворять равенству (28); 2) знак момента относительно центра О силы R', приложенной в точке С, т. е. знак m0 (R'), должен совпадать со знаком М 0.

Пример подобного расчета дан в задаче 17.

44

Таким образом, плоская система сил, не находящаяся в равнове­ сии, может быть окончательно приведена или к одной силе, т. е. к

приложенной в центре приведения О силе R с проекциями Я ж= —40 Н ,Я у = —30 Н (R = 5 0 Н) и паре сил с моментом M Q — И .З Н-м.

Задача 15. Привести к простейшему виду Систему сил Plt ~Pt , Р ., действую­ щих на балку А В (рис. 49), и найти силы давления на опоры А и а , если Рх=

мер, точки С) равна — Ра. Следовательно, данная система сил приводится к паре с моментом т = —Ра. Располагая эту пару так, как показано на чертеже пункти­

ром, заключаем, что силы Plt Р г, Pt оказывают на опоры давления ОТ и Q^, чис­ ленно равные Palb,

45

положение, показанное на чертеже пунктиром. Тогда силы Flt Fj взаимно уравно­

вешиваются и вся система сил приводится к равнодействующей R — Ft (численно

R = F ).

Отсюда заключаем, что действие сил Flt Рг, F3 сводится к вертикальному дав­ лению на опору А; опора В при этом не нагружена.

Задача 17. Привести к простейшему виду систему сил, рассмотренную в зада­ че 14 (см. рис. 48).

Р е ш е н и е . Из результатов, полученных в задаче 14, следует, что данная

система сил приводится к приложенной в точке О силе R , направленной так, как доказано иа рис. 51, и паре с моментом М о = П .З Н м. При этом численно Л = 5 0 Н и cos f!= \R y\/R=Q ,3 (fi& 53°). П редставим пару силами 7V = R и 7?" =

= —И, прилож ив силу ~R" в точке О, a ~R' в точке С, причем, согласно формуле

(28),d= O C — M o /R x O,23 м. Отбрасывая силы R и R найдем, что рассматривае­ мая система сил приводится к равнодействующей, равной R , лнння действия ко­ торой проходит на расстоянии 0,23 м от точки О (через точку С с координатами х = —d cos р » —0,14 м, y = d sin (3—0,18 м).

f 16. РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ. СЛУЧАЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ Х СИЛ

Необходимые и достаточные условия равновесия любой системы сил даются равенствами R = 0 и М 0 = 0, выражаемыми формулами (23). Найдем вытекающие отсюда аналитические условия равнове­ сия плоской системы сил. Их можно получить в трех различных формах.

1. О с н о в н а я ф о р м а у с л о в и й р а в н о в е с и я . Так как вектор R равен нулю, когда равны нулю его. проекции R x

а О — любая точка в плоскости действия сил. Но из формул (27) следует, что предыдущие равенства будут выполнены, когда дейст­ вующие силы удовлетворяют условиям:

Формулы (29) выражают следующие аналитические условия рав­ новесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необхо­ димо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю. Одно­ временно равенства (29) выражают условия равновесия твердого

равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточ­ но, чтобы суммы моментов всех этих сил относительно каких-ни­ будь двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ох, не перпен­ дикулярную прямой АВ, были равны нулю:

46

Необходимость этих условий очевидна, так как если любое из 1их не выполняется, то или ЯфО, или М Аф О ( М в¥=0) и равновесия ■е будет. Докажем их достаточность. Если для данной системы сил нтолняются только первые два из условий (30), то для нее МА= 0 iМ в =0. Такая система сил, согласно результатам, полученным в § 15, может не находиться в равновесии, а иметь равнодействующую

7?\ одновременно проходящую через точки А и В * (рис. 52). Но по третьему условию должно быть R x= 2 F kx= 0. Так как ось Ох прЬведена не перпендикулярно к АВ, то последнее условие может быть выполнено, только когда R = 0 , т. е. когда имеет место равно­ весие.

3*. Т р е т ь я ф о р м а у с л о в и й р а в н о в е с и я (уравнения трех моментов): для равновесия произвольной плоской систе­ мы сил необходимо и достаточно, что­ бы суммы моментов всех этих сил относи­ тельно любых трех центров А , В и С, не леж ащих на одной прямой, были равны нулю:

одновременном выполнении этих условий данная система сил не находилась бы в равновесии, то она должна была бы приводиться к равнодействующей, одновременно проходящей через точки А, В и С, что невозможно, так как эти точки не лежат на одной прямой. Следовательно, при выполнении условий (31) имеет место равно­ весие.

Во всех рассмотренных случаях для плоской системы сил полу­ чаются три условия равновесия. Условия (29) считаются основными, так как при пользовании ими никаких ограничений На выбор коор-. динатных осей и центра моментов не налагается.

Если на тело наряду с плоской системой сил Flt F t , , . . , 7 „ действует система лежащих в той же плоскости пар с моментами ти пц, . . ., тп, то ври составления условий равновесия в уравнения проекций пары не войдут, так как сумма проек­ ций сил пары на любую ось равна нулю. В уравнениях ж е моментов к моментам сил алгебраически прибавятся моменты пар, так как сумма моментов сил пары относительно любого центра равна моменту пары (§ 9 , формула (15)]. Таким об­ разом, например, условия равновесия (29) при действии на тело системы сил и пар

лельны друг другу, можно направить ось Ох перпендикулярно св-

* При М д = 0 система сил может иметь равнодействующую, проходящую че­ рез точку А , а при M g — 0 — проходящую через точку В.

47

лам, а ось Оу параллельно им (рис. 53). Тогда проекция каждой из сил на ось Ох будет равна нулю и первое из равенств (29) обратится в тождество вида О^Ю. В результате для параллельных сил останет­ ся два условия равновесия:

где ось Оу параллельна силам.

Другая форма условий равновесия для параллельных сил, полу­

При этом точки Л и В не должны лежать на прямой, параллельвой силам.

1 17. РЕШ ЕНИЕ ЗАДАЧ

При решении задач этого раздела следует иметь в виду все те общие указания, которые были сделаны в § 7.

Для получения более простых уравнений следует (если это толь­ ко не усложняет ход расчета): а) составляя уравнения проекций, проводить координатную ось перпендикулярно какой-нибудь неиз­ вестной силе; б) составляя уравнения моментов, брать центр момен­ тов в точке, где пересекается больше неизвестных сил.

При вычислении моментов иногда бывает удобно разлагать дан­ ную силу на две составляющие и, пользуясь теоремой Вариньона, находить момент силы как сумму моментов этих составляющих (см. пример вычисления моментов сил в § 14).

Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с помощью которых закрепляются балки, мостовые фермы и т. л. В технике обычно встречаются следующие три типа опорных Закреплений (кроме рассмотренных в § 3):

иметь любое направление в плоскости чертежа. При решении задач будем реакцию R B изображать ее составляющими Х в и У в по

48

\

направлениям координатных осей. Если мы, решив задачу, ^айдем Х в и Y B, то тем самым будет определена и реакция R B, по

модулю R B=VX%+Y%.

\ Способ закрепления, показанный на рис. 54, употребляется для того, чтобы в балке А В не возникало дополнительных напряжений

для нахождения реакции жесткой заделки надо определить три не­

известные наперед величины Х А, УА, тА.

Реакции других видов связей были рассмотрены в § 3.

Задача 18. Определить силы, с которыми давят йа рельсы колеси А и В кра­ на, схематически изображенного на рис. 56. Вес крана Р = 40 кН , центр тяжести его лежит наличии D E . Вес поднимаемого груза Q = 1 0 кН , вылет крана Ь = 3,5 м.

Q"и реакции связей И д и Ng- Д л я этой системы параллельных сил составляем условия равнове­ сия (33), принимая за центр моментов точку А и проектируя силы на вертикальную ось. Полу-

— P a + N g - 2 a - Q (а + 6 ) = 0 , N A+ N g - P - Q = 0.

Реш ая эти уравнения найдем:

N A = 0 ,5 Р —0,5 Q(b/a— I)— 11 кН ,

N B= 0,5 Я + 0 ,5 Q (b /a + \)= 3 9 кН .

Д ля проверки составим уравнение моментов от­ носительно центра В

- N A '2 a + P a - Q (6—а ) = 0.

Подставляя сюда найденное значение N A , убеждаемся, что уравнение удовлетво­ ряется. Искомые силы давления колес на рельсы равны численно N А и Л'д, но направлены вниз.

Из найденного решения видно, что при Q = a P l (Ь— а )= 22,2 кН реакция N A обращается в нуль и левое колесо перестает давить на рельс. При дальнейшем увеличении нагрузки Q кран начинает опрокидываться. Н аибольш ая нагрузка Q,

при которой сохраняется равновесие крана, определяется из условия 2 т д ( / > ) —0 , где F /,— действующие на кран заданные силы (в данной задаче — силы тяжести).

А В = 2 а , Z K A B = y (А К — плечо силы R относительно центра А).

И з последнего уравнения находим

R = ( P cos f$)/2 cos у.

Т ак как прямая А К параллельна наклонной плоскости, то Z K A x — a; отсюда у=* = о —р. Окончательно

R —(P cos Р)/2 cos (а—Р).

Реш ая первые два уравнения, получим:

Силы давления на плоскости равны по модулю соответствующим реакциям и на­ правлены противоположно этим реакциям.

Д л я проверки правильности вычисления величин N i и N t можно составить уравнения моментов относительно точек, где пересекаются линии действия сил R и 7Г, и сил JT и ffi.

Задача 20. Симметричная арка (рис. 58) загружена .системой сил, приводя­ щ ейся к силе Q— 40 кН , приложенной в точке D, и паре с моментом т д = 120 кН -м.

50