Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

какой-нибудь точки А тела и направление скорости vs_другой точ­

ки В этого тела (сравн. с § 56). Пусть vA и направление vB известны. Проведем тогда через точку А плоскость /, перпендикулярную

вектору vA (рис. 177). Как показано выше (см. рис. 176), мгновенно ось ОР должна лежать в этой плоскости. Но одновременно ось

Р

перпендикулярно вектору v„. Следовательно, прямая, по которой пересекутся эти плоскости, и будет мгновенной осью вращения ОР. Теперь, определив расстояние 1г точки А от оси ОР, по формуле (76') найдем угловую скорость w тела в данный момент времени: (о=уЛ/А. После этого значение скорости vM любой точки М тела

находится по формуле (76'), а вектор vMбудет направлен перпенди­ кулярно плоскости ОМР.

В частном случае, когда известно, что скорость какой-то точки тела равна в данный момент времени нулю, прямая, проходящая через эту точку и неподвижную точку О тела, будет мгновенной осью вращения и расчет существенно упростится (см. задачу 72).

А н а л и т и ч е с к и скорость и определяют по ее проекциям на какие-ни­

будь координатные оси. Найдем проекции вектора v на оси Охуг, жестко связанные с телом и движущиеся с ним (см. рис. 176); эти оси имеют то преимущество, что в них координаты х, у, г точки М будут величинами постоянными. Так как гк—х, Гу—У I /•,=*, то по известной формуле векторной алгебры

• I к

v = ш Х г=

х у г

Отсюда, разлагая определитель по элементам первой строки и учитывая, что

v=v^i-\-vyj+V;k и что, следовательно, коэффициенты при i, j, к в этом разложении должны равняться ил, vy, иг соответственно, получим

(ГТ)

151

Эти формулы, как и формулу (76), называют формулами Эйлера. Каждую из них можно тоже получить из предыдущей круговой перестановкой букв х, у, г (см. формулы (47) н рис. 90, б В § 28).

В частном случае формулы (77), конечно, справедливы и при вра­ щении тела вокруг неподвижной оси г. Так как при этом ш*=<оу=0 и о>г—(о, то для такого случая

Направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку М и вектор е (рис. 178), а по модулю al =ersln$=ehu где ht — расстоя­ ние от точки М_до вектора е. Вектор же а,, перпендикулярный одно­

временно v и т, будет направлен вдоль МС (см. рис. 176), причем по модулю a 1=<Bwsin900=<o,A, так как v=a>h.

Заметим, что в отличие от результатов, полученных в § 51, здесь O i= e X r не будет вообще вектором касательного ускорения точки М (по_касательной направлен вектор v = a x F , а направление вектора

е х г будет вообще другим); следовательйо, и вектор шхо не будет вектором нормального ускорения точки М.

Задача 72. Найти скорости точек В и С конического катка (бегуна), если ско­ рость Vi центра А катка, движущегося по окружности радиуса ОА, известна (рис. 179). Каток при движении катятся без скольжения по неподвижной кониче­ ской поверхности К.

Р е ш е н и е . Каток движется вокруг неподвижной точки О. Так как его крчение по поверхности К происходит без скольжения, то скорости точек катка, лежащие в данный момент времени на линии 0В, равны нулю и, следовательно, ОВ является мгновенной осью вращения. Тогда (oAlt где ш — угловая ско-

152

рость катка при его повороте вокруг оси ОВ, а /4 — расстояние точки А от этой оси. Отсюда ш= vA/hv

Скорость vc точки С будет равна аЛа, где А.— расстояние точки С от оси ОВ. Так как в данном случае ht=2hlt то vc =2vA. Для точки В, лежащей на мгновен­ ной оси вращения, vg= О

§ 63. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Рассмотрим наиболее общий случай движения твердого тела, когда оно является свободным и может перемещаться как угодно по

Выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведем через нее оси Ax'^yfo, которые при движении тела будут переме­ щаться вместе с полюсом поступательно. Тогда положение тела в

отношению к осям Ах^у^, определяемое, как и в случае, рассмот­ ренном в§ 60, углами Эйлера ф, г|>, 0 (см. рис. 172; на рис. 180 углы Эйлера не показаны,чтобы не затемнять чертеж). Следовательно, уравнения движения свободного твердого тела, позволяющие найти его положение по отношению к системе отсчета Ох^у^ в любой мо­ мент времени, имеют вид

Установим теперь геометрическую картину рассматриваемого движения. Нетрудно видеть, что первые три из уравнений (79) опре­ деляют то движение, которое тело совершало бы при постоянных

углах ф, if, 0, т. е. при поступательном движении тела вместе с полюсом А. Последние же три уравнения определяют движение, которое происходило бы при постоянных -значениях координат *ia. У\а , а. т. е. когда точка А неподвижна. Но движение тела вокруг неподвижной точки, как установлено в § 60, слагается из элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения. Ог-

153

сюда заключаем, что в общем случае движение свободного твердого

тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно

выбранный полюс А со скоростью vA, и из серии элементарных пово­

ротов с угловой скоростью со вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через полюс А (рис. 181). Такой будет, например, кар­ тина движения любого непоступательного перемещающегося в воз­ духе тела: брошенного камня, самолета, проделывающего фигуры высшего пилотажа, артиллерийского снаряда и т. д. Наконец, анало­ гичной может быть картина движения и несвободного твердого тела при наличии соответствующих связей (см., например, в § 72 рис .207; в том же параграфе показано, как можно еще иначе представить геометрическую картину движения свободного твердого тела).

Основными кинематическими характеристиками движения яв­

ляются скорость vA и ускорение аА полюса, определяющие скорость н ускорение поступательной части движения, а также угловая

скорость ш и угловое ускорение е вращения вокруг полюса. Зна­ чения этих величин в любой момент времени можно найти по ура­ внениям (79). Заметим, что если за полюс принять другую точку

тела, например точку В (см. рис. 180), то значения vB и ав окажутся

отличными т vA и аА (предполагается, что тело движется не посту­ пательно). Но если связанные с телом оси, проведенные из точки В (на рис. 180 не показаны), направить так же, как и в точке А, что можно сделать, то значения углов <р, гр, 0, а следовательно, и последние из уравнений (79) не изменятся. Поэтому и здесь, как ив случае плоского движения, вращательная часть движения тела, в

частности значения со и ¥, от выбора полюса не зависят. Движение свободного твердого тела может быть в частном случае

плоскопараллельным; при этом векторы со и е будут все время перпендикулярны плоскости, параллельно которой движется тело. _ С к о р о с т и и у с к о р е н и я т о ч е к т е л а . Скорость

vM любой точки М тела в рассматриваемом движении слагается, как и в случае плоскопараллельного движения (см. § 54 и рис. 147), из скорости vA полюса А и скорости vMA, которую точка М получает при движении вместе с телом вокруг полюса А . При этом, так как движение тела вокруг полюса А происходит как движение вокруг неподвижной точки, то значение vMA определяется формулой (76),

Справедливость этого результата доказывается так же, как в § 54. Аналогично для ускорения любой точки М тела найдем (см.

§58)

154

где величина амл, т. е. ускорение, которое точка М получает при движении вместе с телом вокруг полюса А, определяется равен-

ством (78), в котором только надо считать r —AM, a V= VMA—(O XAM-

Глава XIII

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

9 64. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ, ПЕРЕНОСНОЕ И АБСОЛЮТНОЕ ДВИЖЕНИЯ

До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при реше­ нии задач механики оказывается целесообразным (а иногда и не­ обходимым) рассматривать движе­ ние точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам от­ счета, из которых одна считается основной или условно неподвиж­ ной, а другая определенным образом движется по отношению к первой.

Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называют со­ ставным или сложным. Например, шар, катящийся по палубе движу­ щегося парохода, можно считать совершающим по отношению к бе­ регу сложное движение, состоящее

из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (не­ подвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложить путем введения дополнительной (подвиж­ ной) системы отсчета более сложное движение точки или тела на более простые широко используется при кинематических расчетах и определяет практическую ценность теории сложного движения, рассматриваемой в этой и следующей главах. Кроме того, результа­ ты этой теории используются в динамике для изучения относитель­ ного равновесия и относительного движения тел под действием сил.

Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижной системе отсчета Охуг, которая в свою очередь как-то движется отно­ сительно другой системы отсчета Оххху хгь которую называем основ­ ной или условно неподвижной (рис. 182). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не по­ казанным. Введем следующие определения.

1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвиж­ ной системе отсчета (к осям Охуг), называется относительным двиясением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный

155

с этими осями и перемещающийся вместе с ними). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относи­ тельной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям

Охуг называется относительной скоростью (обозначается v01), а

ускорение — относительным ускорением (обозначается аот). Из определения следует, что при вычислении иот и аот можно движение осей Охуг во внимание не принимать (рассматривать их как непод­ вижные).

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Охуг (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отно­ шению к неподвижной системе Охххухгх, является для точки М пере­

носным движением.

Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Охуг точки т, с которой в данный мвмент времени совпадает движущаяся точка М , называется переносной скоростью точки М в этот момент

Если представить себе, что относительное движение точки про­ исходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Охуг, то перенЬсной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М.

3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной система отсчета Охххухгх называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого двйжения называется абсолютной траекто­

рией, скорость’— абсолютной скоростью (обозначается иаб) и уско­

рение — абсолютным ускорением (обозначается а,в).

В приведенном выше примере движение шара относительно палу­ бы парохода будет относительным,- а скорость — относительной ско­ ростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар, будет в этот момент его пере­ носной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость — абсолютной ско­ ростью шара.

Для решения соответствующих задач кинематики необходимо установить зависимости между относительными, переносными и

абсолютными скоростями и ускорениями точки, к чему мы и перей­ дем.

f С5. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ

Рассмотрим сложное движение точки М. Пусть эта точка совер­ шает за промежуток времени Дt=Ktx—t вдоль траектории АВ отно­

сительное перемещение, определяемое вектором ММ' (рис. 183, а).

156

Сама кривая АВ, двигаясь вместе с подвижными осями Охуг (на рисунке не показаны), перейдет за тот же промежуток времени в какое-то новое положение AiBx. Одновременно та точка т кривой АВ, с которой в момент времени t совпадает точка М, совершит пере­

носное перемещение т т 1= Ж т 1. В результате точка М придет в

положение Afi и совершит за время Дt абсолютное перемещение М М Х. Из векторного треугольника MmtM x имеем

М М Х= M m t + тгМ г.

Деля обе части этого равенства на At и переходя к пределу, получим

lim (MMjAl) — lim (MmjAt) -f lim (m^MjAt).

скоростей: при сложном двиясении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. По­ строенная на рис. 183, б фигура называется параллелограммом ско­

ростей.

157

Если угол менаду векторами v0T и ипер равен а, то по модулю

а сама прямая вращается в плоскости Охгуг вокруг центра Ос.угловой скоростью ш. Определить скорость точки М относительно осей Олод в зависимости от расстоя­ ния ОМ==-г.

Р е ш е н и е . Рассмотрим движение точки М как сложное, состоящее из относительного движения вдоль прямой ОА и движения вместе с этой прямой.

Тогда скорость и, направленная вдоль ОА, будет относительной скоростью точки. Вращательное движение прямой ОА вокруг центра О является для точки М пере­

носным движением, а скорость той хочки т прямой ОА, с которой в данный момент

времени совпадает точка М , будет ее переносной скоростью р„ерТак как эта точ­ ка прямой движется по окружности радиуса Om=r, то по модулю скорость vacp=

= (ог и направлена перпендикулярно От. Строя на векторах и и ипер параллело­ грамм, найдем_абсолютную скорость у,й точки М по отношению к осям Oxj/i. Так как и и vnep взаимно перпендикулярны, то по модулю

и,б= Y uJ-fo)Va.

Задача 74. Рычажок ОМ самопишущего прибора образует в данный момент

времени угол а с горизонтальной плоскостью, а перо М имеет скорость v, направ­ ленную перпендикулярно ОМ (рис. 185). Барабан с бумагой вращается вокруг

вертикальной оси с угловой скоростью ш. Определить скорость и перемещения

На основании теоремы о сложении скоростей v=M+onep, откуда u= v+ (—vntp). Строя на векторах v и (—vntv)- параллелограмм, найдем искомую скорость и. Так как угол между v и (—о„ер) равен 90° —а, то по модулю

158

Угол, который скорость и образует с направлением у„ер. можно теперь найти по теореме синусов.

Задача 75. В кривошипно-ползунном механизме (рис. 186) кривошип ОА длиной твращается с угловой скоростью to. Длина шатуна А В равна I. При дан­ ном угле <р определить скорость ползуна относительно кривошипа ОА. Найти так­ же абсолютную скорость ползуна.

Р е ш е н и е . Ползун движется поступательно и его скорость равна скорости точки В, принадлежащей одновременно шатуну А В. Следовательно, решение зада­ чи сводится к определению скорости точки В шатуна.

Относительное движение шатуна А В поотношению к кривошипу ОА представ­ ляет собой вращение вокруг шарнира А. Точка В при этом вращении описывает

окружность радиуса АВ\ следовательно, относительная скорость гот точки В по отношению к кривошипу направлена перпендикулярно АВ. Заметим еще, что

абсолютная скорость точки В направлена вдоль ВО.

Переносным для точки В является движение кривошипа ОА. Представим себе, что с кривошипом жестко связан треугольник ОАВ, вращающийся вместе с кри­ вошипом вокруг оси О с угловой скоростью (о (как на рис. 151 со стержнем AD был связан лист фанеры Л). Тогда скорость точки В треугольника ОАВ, совпадаю­ щая в данный момент времени с точкой В шатуна АВ, будет переносной скорсстьк)

v"nev точки В шатуна. Эта точка треугольника движется по окружности радиуса

Строим из векторов иот, t>nep и t',e соответствующий параллелограмм. Из не­ го видно, что

к 0т = ип е p/COS Р ИЛИ С'о т = £|) ( l + r COS ф /COS Р).

Исключим отсюда угол р. Из треугольника ОАВ находим, что / sin р =/■ sin <р.

Тогда cos р = У 1—(г®//!) sin* ф и окончательно значение искомой относительной скорости

Р е ш е н и е . Нам известна абсолютная скорость ползуна, равная скорости v стержня. Эту скорость ползуна можно рассматривать как слагающуюся из отно­

159

сительной скорости оот скольжения ползуна вдоль прорези кулисы и переносной скорости ипер, равной скорости той точки кулисы, с которой в данный момент времени совпадает ползун. Направления этих скоростей известны: скорость v0T направлена вдоль ОВ, скорость ипер— перпендикулярно ОВ. Тогда, разлагая за­

данную скорость и по направлениям иох и t'nep, найдем эти скорости. Из парал­ лелограмма видно, что по модулю ипер= ь cos ф.

Но, с другой стороны, переносная скорость ontv=a>'OB—аЛ/cos ф, где ш — угловая скорость кулисы. Сравнивая эти два значения wnepi найдем угловую ско­ рость кулисы о>= (o/h) cos* ф.

{ вв. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ (ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА)

Найдем зависимость между относительным, переносным и абсо­ лютным ускорениями точки. Из равенства (84) получим

Производные здесь определяют изменение каждого из. векторов при абсолютном движении. Эти изменения слагаются в общем случае из изменений при относительном и при переносном движениях, что ниже будет непосредственно показано. Следовательно, если усло­

виться изменения, которые векторы vox и ипер получают при отно­ сительном движении, отмечать индексом «1», а при переносном двиясении — индексом «2», то равенство (85) примет вид

Но по определению (см. § 64, п. 1) относительное ускорение

характеризует изменение относительной скорости только при относительном двиясении; движение осей Охуг, т. е. переносное движение при этом во внимание не принимается. Поэтому

В свою очередь, переносное ускорение характеризует изменение переносной скорости только при переносном двиясении, так кака„ер=

= а т (см. § 64, п. 2), где т — точка, неизменно связанная с осями Охуг и, следовательно, получающая ускорение только при движе­ нии вместе с этими осями, т. е. при переносном движении. Поэтому

В результате из равенства (86) получи»

160