Добавил:
ac3402546@gmail.com Направление обучения: транспортировка нефти, газа и нефтепродуктов группа ВН (Вечерняя форма обучения) Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

.pdf
Скачиваний:
153
Добавлен:
01.06.2021
Размер:
14.76 Mб
Скачать

Задача 162. По шероховатой цилиндрической поверхности радиуса R (ряс. 329) из положения, определяемого углом <р0, начинает катиться без сколь­ жения сплошной однородный цилиндр радиусом л Пренебрегая сопротивлением

качению,

определить

закон

движения

 

 

центра цилиндра, когда угол q>0 мал. Най­

 

 

ти также, при каких значениях

0 воз­

 

 

можно качение без

скольжения, если ко­

 

 

эффициент

трения

цилиндра

о

поверх­

 

 

ность

/.

 

 

Рассмотрим

цилиндр

 

 

Р е ш е н и е .

 

 

 

при его качении

вниз

(движение

проис­

 

 

ходит в вертикальной

плоскости).

В по­

 

 

ложении,

определяемом углом ф,_иа ци^

 

 

линдр

действуют

сила

тяжести

P=mg,

г

ЧРшт§

сила

трения скольжения 7 и реакция N.

р ис

329

Проведя касательную Ст к траектории цент­ ра С (в сторону движения этого центра)

н учтя, что для цилиндра J c =mr42, составим первое и третье из уравнений (72)

в виде:

.

„ mr? dco

_

, .

dvr

m ~dt ~ m g s«n<p — F,

= Fr,

(a)

где о) — угловая скорость цилиндра.

Выразим все скорости через <р. Одновременно учтем, что в точке К находится мгновенный центр скоростей. Тогда, поскольку при качении цилиндра вниз <р

убывает и ф < 0 , будет:

»'с= — (Я— ')Ф. ю=с'С/г= —(R—г)ф/г.

При этих значениях vc и о> уравнения (а) примут вид:

m (/?— г) ф = —ragslnq>-f F, m (R — r) ф = —2F.

(б)

Исключая из равенств (6) силу F, найдем окончательно следующее дифферен­ циальное уравнение, определяющее движение центра С:

ср+к2вт<р=0, где fc=2g/3 (R —r).

Поскольку очевидно, что при движении цилиндра < ср0, то, когда угол <р0 мал, можно приближенно принять sin <рх<р. Тогда получим известное диф­ ф е р е н ц и а л ь н о е уравнение гармонических колебаний.

Ф+**Ф=0.

(в)

В данной задаче при 1=0 ф = ф 0, а <р=0. Интегрируя уравнения (в) при этих начальных условиях, найдем следующий закон малых колебаний цилиндра:

ф = ф в cos kt.

(г)

Период этих колебаний

т = 2л/k — 2л У 3 (R r)/2g.

В заключение найдем условие качения без скольжения, учитывая, что F < {S (см..§23). Значение F дает второе из равенств (б):

F = —m (R—r)ф/2.

Но согласно уравнению (в) <p=—/Лр и так как k*=2g!3(R—r), то окончательно

f= (m g /3)ф.

Теперь заметим, что при малом ф часть цилиндрической поверхности, по ко­ торой хатается цилиндр, можно рассматривать как часть горизонтальной пло­ скости и считать приближенно N = P= m g. Тогда неравенство F<JN дает

Так как наибольшее значение ф равно ф», то при рассматриваемых малых коле­ баниях качение цилиндра будет происходить без скольжения, когда ф«<ЗЛ

331

Задача 163. Тело весом Р опирается в точке В на пьезоэлектрический датчик прибора, измеряющего силу давления, а в точке А поддерживается нитью AD (рис. 330). При равновесии линия АС горизонтальна, а давление в точке В равно Q0. Вычислить, чему равен момент инерции Jc тела относительно оси, проходя­

щей через его центр масс С, если в

момент, когда нить пережигают, давление

в точке В становится

равным Qv

Расстояние

I известно.

 

Р е ш е н и е . 1. В

положении

равновесия

QBl—P(l—b). Отсюда находим

b=(P—Qi)l/P.

 

 

двигаться плоскопараллельно.

2. Когда нить пережигают, тело начинает

Для начального элементарного промежутка времени изменением

положения

тела можно пренебречь. Тогда .уравнения (71),

справедливые только для Зтого

промежутка времени, будут иметь вид:

 

 

MaCx = P — Qu

ас „= 0, Jc -t = Qib.

(а)

Так как oCj/—0, то точка С начинает перемещаться по вертикали вниз, а точ. ка В скользит горизонтально (трение в опоре считаем малым). Восставляя перпен­ дикуляры к направлениям этих перемещений, находим, что мгновенный центрскоростей будет в точке К ■Следовательно, vc—Ьш. Дифференцируя это равен* стйо и считая в течение рассматриваемого элементарного промежутка времени b= const, получим ас^Ь г. Тогда первое из уравнений (а) дает

P 6e = ( P - Q 1)g.

Определяя отсюда е, найдем окончательно

7c = Q 16/e»=PQxfc*/(P-Q1)ff.

Полученный результат, можно использовать для экспериментального опре­ деления моментов инерции.

 

Рис. 331

Задача 154. Вес автомобиля с колесами равен Р (рис. 331); вес каждого яа

четырех его колес равен

р, радиус г, радиус инерции относительно оси С—рс .

К задним (ведущим)

колесам приложен вращающийся момент М ,р. Авто­

мобиль, начиная движение из состояния покоя, испытывает сопротивление воз­ духа, пропорциональное квадрату его поступательной скорости: Я=ци*. Момент трения в оси каждого колеса AfTp=const. Пренебрегая сопротивлением качению,

определить: 1) предельную скорость

автомобиля;

2) силу трения скольжения,

действующую

на

ведущие и ведомые

колеса при

движении.

 

 

Р е ш е н и е .

1. Для определения

предельной с к о р о с т и

составим

диффе­

ренциальное

уравнение, движения

автомобиля,

пользуясь

равенством

(49)

 

 

d7’= 2 d > 4 j - f S d 4 .

 

 

(а)

Кинетическая энергия автомобиля равна энергии кузора и колес. Учитывая* что Р — вес всего автомобиля, a v=for (так как скорость центра С колеса равна скорости v кузова), получим

 

T=Pv*/2g+ 4 (Ус ш*/2)=

(P + 4 p p J/rV /2 f,

где полагалось,

что .со — угловая скорость

колеса.

Из внешних

сил работу совершает только сила сопротивления воздуха, так

как сопротивлением качению мы пренебрегаем, а работа сил трення F1 n F t колес

332

о грунт равна

в этом случае нулю (см. § 122). Следовательно,

 

 

 

2 dAk = — R ds = — ЦП* ds,

 

 

где ds — элементарное

перемещение

кузова.

 

 

Работа внутренних сил (вращающего момента и сил трения в осях), если

учесть, что dsc=ds=rd<p, где

q> — угол поворота колеса, будет

 

 

2 d ^ =

(Мвр- 4 М тр) dq> =

(AfBp— 4Л1хр) ds/л.

 

Подставим все эти значения в равенство (а) и одновременно разделим обе его

части на dt. Тогда, учтя еще, что dsldt—v, a dvldt=a, получим

 

 

(.Р Р Р сА *) v‘al8'= (Mtt l r ~ iM ^

r — Vivi) v-

 

Отсюда,

сокращая

на

v,

находим

 

 

 

 

(Р + 4рргс1г*) а — (М вр— 4Л1тр— цги*) g/r.

(б)

Когда скорость автомобиля стремиться к ее предельному значению, его

ускорение а стремится к

нулю. Следовательно, гпр

найдется из

уравнения

 

 

 

Л1Вр ~4Л 1Тр— цги* = О,

 

 

откуда

 

 

 

________________

 

 

 

 

i ' n p = V

вр “

тр)/(лг.

 

 

Этот результат можно получить сразу, приравняв нулю сумму работ всех сил. Цель предыдущих выкладок — показать, как составляется уравнение дви­

жения {б).

2. Для определения сил трения, действующих на каждое колесо, составим уравнения вращательного движения колес относительно их осей. Для двух веду­

щих колес, учитывая, что действующая на каждое из них сила трения Ft направ­ лена вперед (см. § 108, рис. 284), получим

2PPc'e/S — Мвр 2М Хр 2 F\f

Так как при качении zr—ac —a, то окончательно найдем

F1 = MBV/2r — M rv/r — pptca/gr*.

(в)

Действующая на каждое из ведомых колес сила трения Ft направлена назад. Следовательно, для ведомого колеса будет

РрУ/g ^ F tr — Л11р|

откуда

(г)

Ft = MTV/r+pplaJgr3.

Из равенства (б) видно, что с увеличением скорости ускорение а убывает, стремясь к нулю, когда и стремится к t»np. Таким образом, сила трения, действую­ щая на ведущие колеса, при разгоне несколько возрастает и достигает наиболь­

шего значения, когда движение установится (а= 0). Если подставить значение а

из равенства (б), то легко видеть,

что последнее слагаемое в формуле (в) будет

много меньше первого, так как Р

> р . Поэтому практически величина Ft изме­

няется незначительно.

На ведомых колесах сила трения имеет наибольшее значением момент начала движения, а затем убывает и при равномерном движении (а = 0) равна наимень­ шему значению Л1тр/л

Если коэффициент трения колес о грунт не будет достаточен для того, чтобы сила трения, могла принять значение Fy или Ft , то соответствующие колеса будут буксовать. Так как М вр много больше Мтр, то в первую очередь буксование угрожает ведущим колесам.

При выключенном двигателе все колеса являются ведомыми и на них вна­ чале будет действовать сила трения F = M TVlr. Действие тормозных колодок экви­ валентно увеличению момента М тр в осях, а следовательно, и силы трения, дейст­ вующей на каждое из колес, чем и ускоряется торможение автомобиля (см. § 108).

333

§131*. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПА

Рассмотрим однородное твердое тело с неподвижной точкой О, имеющее ось симметрии Ог и вращающееся вокруг этой оси с угло­ вой скоростью й, на много превышающей ту угловую скорость со, которую может иметь сама ось Ог при ее поворотах вместе с телом

Рис. 332

вокруг точки О; такое тело называют гироскопом. Ось Ог гироскопа, как ось симметрии, является одновременно его главной центральной осью Инерции (см. § 104).

Простейшим примером гироскопа является детский волчок (см. ниже рис. 335). В гироскопических приборах ротор гироскопа обычно закрепляют в так называемом кардановом (кольцевом) под­ весе, позволяющем ротору совершить любой поворот вокруг непод­ вижного центра подвеса О, совпадающего с центром тяжести ротора, (рис. 332). Такой гироскоп, как. и волчок, имеет три степени свобо­ ды *

Угироскопов, применяемых в технике, Q больше ш в десятки

исотни тысяч раз (£ф>ш), что позволяет построить весьма эффектив­

ную приближенную теорию гироскопа, называемую элементарной, или прецессионной, Исходят при этом из следующего.

В каждый момент времени абсолютная угловая скорость гиро­

скопа. (о1Й=£2+(о, а его движение, как движение тела, имеющего неподвижную точку О (см. §60), слагается из серии элементарных

поворотов с ЭТОЙ угловой скоростью СОав вокруг мгновенных осей вращения ОР (рис. 333). Но когда £2^><о, угол Р между векторами <оав и Q очень мал и практически можно принять, что <oi(S=Q, а ось ОР в любой момент времени совпадает с осью Ог гироскопа. Тогда кинетический момент Ко гироскопа относительно точки О можно

* Гироскоп на рис. 332 может совершать независимые друг от друга поворо­ ты вокруг оси Ог, оси Ох (вместе с кольцом 2) и оси Ог, (вместе с колыши 1). Подробнее вопрос о степенях свободы рассматривается в § 138.

334

тоже считать в любой момент времени направленным вдоль оси Ог и численно равным К г, т. е. J (см. конец § 115). В этом и состоит основное допущение элементарной теории гироскопа.

Таким образом, в дальнейшем будем считать

=

(73)

где J t — момент инерции гироскопа относительно его оси Ог, а

саму ось Ог и вектор Ко полагать все время направленными вдоль одной и той же прямой. Последнее позволяет находить, как изме­ няется со временем направление оси Ог гироскопа, определяя, как

изменяется направление вектора Ко- Установим, исходя из элемен­

тарной теории, каковы основные свойства гироскопа.

г и р о с к о п .

1. С в о б о д н ы й

т р е х с т е п е н н о й

Рассмотрим гироскоп с

тремя степенями свободы,

закрепленный

так, что его центр тяжести неподвижен, а • ось может совершать любой поворот вокруг этого центра (см. рис. 332); такой гироскоп называют свободным. Для него, если пренебречь трением в осях под­

веса, будет 2 т 0 (/г*)=0 и ^ 0 =const, т. е. модуль и направление ки­ нетического момента гироскопа постоянны (см. § 117). Но так как

направления вектора Ко и оси Ог гироскопа все время совпадают, то, следовательно, и ось свободного гироскопа сохраняет неизменное направление в пространстве по отношению к инерциальной (звезДной)

системе

отсчета. Это одно из важных

 

свойств

гироскопа,

используемое

при

 

конструировании

гироскопических

при­

 

боров.

 

 

 

 

 

 

Сохраняя неизменное направление в

 

звездной системе отсчета, ось свободного

 

гироскопа по отношению к Земле

будет

 

совершать

вращение

в сторону,

про­

 

тивоположную направлению вращения

 

Земли. Таким образом, свободный гиро­

 

скоп можно использовать для экспери­

 

ментального обнаружения факта враще­

 

ния Земли * .

 

 

 

 

2. Д е й с т в и е с и л ы ( п а р ы с и л ) н а о с ь т р е х »

с т е п е н н о г о

г и р о с к о п а .

У с т о й ч и в о с т ь

о с и

г и р о с к о п а.

Пусть на ось гироскопа (рис. 334) начинает дейст­

вовать сила

F, момент которой относительно центра О равен М 0

(или пара сил F, F' с моментом, равным М 0)- Тогда по теореме мо­

ментов (см. § 116)

 

 

 

АК0

-г.

d (ОВ)

-Т-,

—АГ

= м 0 или

- V -

= М 0’

* Чтобы проделать подобный опыт, французский ученый Ж . Фуко (1819— 1868) сконструировал в 1852 г. прибор, сходный с изображенным на рис. 332, ко­ торый он и назвал «гироскоп» (от греческих gyreuo — вращаюсь и вкореб — смот­

рю, наблюдаю).

335

где В — точка оси, совпадающая с концом вектора Ко- Отсюда, учитывая, что производная от вектора ОВ по времени равна скоро­ сти vB точки В, получаем

1>вМ 0 (vBdK0/dt).

(74)

Равенство (74) выражает следующую теорему Резаля *: ско­ рость конца вектора кинетического момента тела относительно центра О равняется по модулю и по направлению главному моменту, внешних сил относительно того же центра. Следовательно, точка

В, а с нею и ось гироскопа, будет перемещаться по направлению век­

тора М 0■В результате находим, что если на ось быстро вращающе­ гося гироскопа подействует сила, то ось начнет отклоняться не в

сторону действия силы, а по направлению, которое имеет вектор Мо момента этой силы относительно неподвижной точки О гироскопа, т. е. перпендикулярно силе. Аналогичный результат имеет место и при действии на ось гироскопа пары сил.

Из равенства (74) следует, что когда действие силы прекра­ щается, то М 0= 0, а следовательно, и vB обращается в нуль и ось гироскопа останавливается. Таким образом, гироскоп не сохраняет движения, сообщенного ему силой. Если действие силы является кратковременным (толчок), то ось гироскопа практически почти не измекяет своего направлений **. В этом проявляется свойство ус­ тойчивости оси быстро вращающегося гироскопа, имеющего три

степени

свободы.

3.

П р е ц е с с и я т р е х с т е п е н н о г о г и р о с к о п а .

Допустим, что сила F (или пара сил F, F ', см. рис. 334) действует на гироскоп во все рассматриваемое время его движения, оставаясь в плоскости zOzi (такой силой может, например, быть сила тяжести). Так как по установленному выше ось Ог в сторону действия силы не отклоняется, то угол 0 = /jx O z остается все время постоянным, а

скорость vB — перпендикулярной плоскости zj0z. Следовательно, ось Ог гироскопа будет вращаться (прецессировать) вокруг оси Ozi

с некоторой угловой скоростью ю, называемой угловой скоростью прецессии. Найдем уравнение, определяющее со. Так как ось Ог

вращается вокруг оси хс угловой скоростью со (см. рис. 334), то

по формуле (48), из § 51 vB= w X O B = a X K o

и равенство (74) дает

а х К 0 = М 0.

(75)

* Анри Резаль (1,828— 1896) известный французский ученый, автор первого учебника но кинематике (1862), где кинематика излагается как самостоятельный раздел механики.

«Скорость» ид в формуле (74) имеет, конечно, размерность не длина / время,

кинетический момент/время.

**Точнее ось .начнет совершать вблизи начального положения высокочастот­ ные колебания малой амплитуды, которые при наличии сопротивлений затухнут,

■ ось придет в положение, близкое к начальному (тем ближе, чем больше / жО).

336

Это уравнение является исходным приближенным уравнением элементарной (прецессионной) теории гироскопа. Из него следует, что ш/Cosin 0=Atfo. откуда

m — М°

М°

ПЬ\

Ko s i n e “

y zQ sln 0 -

' /D>

Чем больше J тем меньше со и тем большую точность дает эле­ ментарная теория * .

В качестве примера найдем угловую скорость прецессии волчка под действием силы тяжести Р (рис. 335). Введя обозначение ОС=а,

получим, что Af0= P a sin 0 и равенство

(76) дает

t0 = 7c3 = 77i-

(76)

Аналогичную прецессию совершает земная ось, так как вслед­ ствие отклонения формы Земли от правильной шарообразной и нак­ лона ее оси равнодействующие сил притяжения Солнца и Луны не проходят через центр масс Земли и создают относительно этого цент­ ра некоторые моменты. Период прецессии земной оси (время од­ ного оборота) приблизительно 26 ООО лет.

4.

Г и р о с к о п

с д в у*м я

с т е п е н я м и

с в о б о д ы .

Г и р о с к о п и ч е с к и й

э ф ф е к т .

Рассмотрим

гироскоп с

ротором 3, закрепленным только в одном кольце 2, которое может вращаться по отношению к основанию 1 вокруг оси Ох (рис. 336). Такой гироскоп имеет по отношению к основанию две степени сво­ боды (поворот вокруг оси Ог и вместе с кольцом 2 — вокруг оси Ох) и его свойства существенно отличаются от свойств гироскопа с тре­ мя степенями свободы. Например, если толкнуть кольцо 2, то оно

* Процессия сопровождается еще так называемой нутацией — происходя­ щими с очень большой частотой малыми колебаниями оси Ог около ее среднего по­ ложения. В элементарной теории нутацня не учитывается.

22-1 8 7 0

337

начнет свободно вращаться вместе с ротором вокруг оси Ох, в то время как трехстепенной гироскоп на такие толчки практически не реагирует (см. п. 2). Не реагирует трехстепенной гироскоп и на вра­ щение основания, сохраняя неизменным направление своей оси Ог (см. п. 1). Рассмотрим, что в таком случае будет с двухстепенным гироскопом.

Допустим, что в некоторый момент времени основание 1 начи­ нает вращаться вокруг оси Огх (или любой другой ей параллель­ ной) с угловой скоростью со (со<^£2). Тогда, вращаясь вместе с осно­ ванием, гироскоп начнет совершать вынужденную прецессию во­ круг оси Ozy. При этом, согласно уравнению (75), на ротор 3 должен

действовать момент М 0—(лХК о, который, очевидно, могут создать

только силы F, F' давления подшипников А, А' на ось ротора, по­ казанные на рис. 336 пунктиром (сравни с рис. 334). Так как центр масс О ротора 3 неподвижен, то по теореме о движении центра масс

должно быть F + f ' = 0, и, следовательно, силы F, F1образуют пару.

Но когда подшипники действуют на ось ротора с силами F, F', то по третьему закону динамики и ось будет одновременно действо­ вать на подшипники А, А ' с такими же по модулю и противополож­

ными по направлению силами N, N'. Пара сил N, N' называется

гироскопической парой, а ее момент Afriip — моментом гироскопиче­ ской пары или гироскопическим моментом * . Поскольку момент

М п р противоположен М 0, то

Мщр = /С0 Хсо и Afr„p = /Co(osin0 = yzQcosin0.

(77)

Отсюда получаем следующее п р а в и л о Н . Е . Ж у к о в -

ск о г о: если быстро вращающемуся гироскопу сообщить вынужден­ ное прецессионное движение, то на подшипники, в которых закреп­ лена ось ротора^гироскопа, начнет действовать гироскопическая пара

смоментом Л4Г11р, стремяищяся кратчайшим путем установить ось ротора параллельно оси прецессии так, чтобы направления век­

торов Q и со совпали.

Под действием гироскопической пары кольцо 2 начнет вращаться вместе с ротором вокруг оси Ох; при этом угол 0, а, с ним момент

Mr,p будут,убывать, и когда станет 0=0, вращение кольца прекра­ тится.

Если кольцо 2 скрепить с основанием 1 жестко, т. е. так, чтобы оно не могло вращаться вокруг оси Ох, то у гироскопа останется од­ на степень свободы (поворот вокруг оси Ог).Н о и вэтом случае, если вращать основание вокруг оси Огь будет иметь место гироскопиче­

ский эффект и ось начнет давить на подшипники с силами N, N', значения которых, зная расстояние А А ', можно определить по фор­ мул? (77), если все величины, входящие в ее правую часть, будут тоже известны.

* Некоторые авторы применяют этот термин в другом смысле, называя ги­ роскопическим моментом момент сил инерции частиц гироскопа.

338

5. Н е к о т о р ы е т е х н и ч е с к и е п р и л о ж е н и е г и р о с к о п а . Гироскопы используются как основной элемент в очень большом числе гироскопи­ ческих приборов и устройств, имеющих самое разнообразное применение.

Трехстепенные гироскопы используют в целом ряде навигационных приборов (гирокомпас, гирогоризонт, курсовой гироскоп и др.), а также в устройствах для автоматического управления движением (стабилизации) таких объектов, как самолет (автопилоты), ракеты, морские -суда и др.

Рассмотрим в качестве примера простейшее устройство, где трехстепенной гироскоп используется как стабилизатор (прибор Обри, стабилизирующий движение мины в горизонтальной плоскости). Прибор содержит свободный гироскоп (см. рис. 332), ось которого в момент выстрела совпадает с осью торпеды, направленной на цель. Если торпеда в некоторый момент времени отклонится от заданного направления на угол а (рис. 337), то ось гироскопа,

г,

Цель

Рис. 337 Рис. 338

сохраняя свое направление на цель неизменным (по свойству свободного гироскопа), окажется повернутой по отношению к корпусу торпеды на такой же угол. Этот поворот с помощью специального устройства приводит в дейст­ вие рулевую машину. В результате происходит поворот руля в соответст­ вующую сторону, и торпеда выравнивается.

Прибор дает пример широко используемой индикаторной системы стаби­ лизации (стабилизатор непрямого действия), где гироскоп играет роль чувст­ вительного элемента, регистрирующего отклонение объекта от заданного положения и передающего соответствующий сигнал двигателю, который и осуществляет стабилизацию, возвращая объект в исходное положение (на­ пример, с помощью рулей).

Рассмотрим примеры использования двухстепенного гироскопа. Допу­ стим, что ротор этого гироскопа (рис. 338) помешен в кожух 2, связанный с основанием 1 жесткой пружиной, удерживающей ротор в положении, для которого угол /?= 7i/2 - 0 =O, и сохраняющей в дальнейшем этот угол малым. При вращении основания начнется под действием гироскопической пары поворот ротора, что вызовет увеличение угла /? и деформацию пружины. В результате начнет действовать момент kfi силы упругости пружины. При некотором р этот момент и момент гироскопической пары уравновесятся, т. е. будет kp= Jfla) или а>= kfj/Jfl. Таким образом, прибор служит гиротахомет­ ром, т. е. позволяет по значению угла /? определить угловую скорость объекта, на котором прибор установлен. Конкретным примером подобного прибора является авиационный указатель поворотов.

Примером использования двухстепенного гироскопа в качестве стабилизатора служит успокоитель качки. Он представляет собой вращающийся с угловой скоро­ стью П ротор 1 (рис. 339). Ось АА { ротора закреплена в раме 2, которая имеет свою ось вращения DDit скрепленную с корпусом судна. Когда на судно при волнении подействует момент М, он сообщит судну какую-то угловую скорость щ (вектор C0j направлен перпендикулярно плоскости чертежа). Тогда, согласно правилу Жуковского, рама вместе с ротором начнет вращаться вокруг оси DD\

ЗЭ9

2 2 *

с некоторой угловой схоростью со,, вследствие чего на подшипники D и О , станет

действовать гироскопическая пара N, N' с моментом Mr,p= /,Q cos, способст­ вующая уменьшению крена. Для повышения эффективности стабилизатора ис­ пользуют снабженный специальным регулятором двигатель, увеличивающий угловую скороств ш,, а с нею и стабилизирующий момент Afrip, и возвращающий раму в исходное положение, когда крен прекратится.

Успокоитель качки дает пример силовой гироскопической стабилизации (стабилизатор прямого действия),- где массивный гироскоп и регистрирует от­ клонение объекта от заданного положения, и осуществляет стабилизацию, а дви­ гатель играет лишь вспомогательную роль.

Рассмотрим в заключение пример определения гироскопических давлений на подшипники. Если судно, у которого ротор турбины вращается с угловой ско­ ростью (1 (рис. 340), совершает поворот с угловой скоростью ю, то на подшипники

А и В будут действовать силы Л^,

направленные как показано на рисунке *.

Если при этом ЛВ=*1, а момент инерции ротора J ж, то по формуле (77)

М Г1р= JV/ =

У,£2ш и N =

Величины этих сил могут достигать десятков килоньютонов и должны учиты­ ваться при расчете подшипников.’ Через подшипники гироскопические давления передаются корпусу судна и у очень легкого судна могли бы вызвать при по­ вороте опускание хиля или носа. Подобный эффект может наблюдаться и у вин­ товыхсамолетов при виражах (поворотах в горизонтальной плоскости).

f132*. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

ИДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для составления дифференциальных уравнений движения тела, имеющего неподвижную точку, необходимо найти выражение главного, момента количеств

движения Ко (кинетического момента) и кинетической энергии Т тела в этом

случае

движения.

1.

К и н е т и ч е с к и й м о м е н т т е л а , д в и ж у щ е г о с я в о

к р у г

н е п о д в и ж н о й т о ч к и . Вектор Ко можно определить, найдя его

проекции на какие-нибудь три координатные оси Охуг. Чтобы получить соответст­ вующие формулы в наиболее простом виде, возьмем в качестве осей Охуг (см. ниже рис. 341) жестко связанные с телом главные оси инерции этого тела для точ­ ки О (см. § 104).

Начнем с вычисления Кх• По, аналогии с формулами (47) из § 28

тх ( т л7 » = т * (ykvk i— zkvky).

Но по формулам Эйлера [§ 62, формулы (77)]

v*i( ' “Л —а д , vkz= *>xVt—a>vxki

* Гироскопические давления на подшипники возникают и вследствие качк судна. Направления этих давлений будут, конечно, другими.

340