Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

где г—ОМ — расстояние точки от центра Земли; R=OM« — зна­ чение г для точки вылета М 0', g — ускорение силы земного тяготе­ ния в точке Af0*.

Так как сила F — центральная (см. § 86), то траектория точки будет плоской кривой. Поэтому для изучения движения можно вос­ пользоваться полярными координатами г=ОМ и ф, поместив их начало (полюс)

О в центре Земли и направляя поляр­ ную ось Ох вдоль линии ОМ0. Составим дифференциальные уравнения движения точки М .

По закону площадей (см. § 86) при движении под действием центральной си­

лы момент вектора скорости v относи­ тельно центра О (или удвоенная сектор­ ная скорость точки) будет величиной по­

стоянной. Следовательно, m0(v)=c. Но из чертежа видно, что если разложить

вектор v на радиальную vr и попереч­ ную 1>фсоставляющие (см. § 47), то

т 0(v) = т 0(йф) = rvф, где v4 = г •d<p/d/. Отсюда получаем первое уравнение

(103)

Значение постоянной с найдем из условий в точке, вылета Af0, где, как легко видеть, mo(v0)= Rv<1co&a. Следовательно,

c=/?u0cosa. (104)

Второе уравнение получим из теоремы об изменении кинетиче­ ской энергии в дифференциальной форме [см. § 89, формула (51)1

* В формуле (102) R может иметь любое значение, большее земного радиуса. Когда точка /Й0 берется на поверхности Земли, будем обычно считать R равным радиусу земного экватора /?„=6378 км и g=9,82 м/с” (g всюду — ускорение силы земного тяготения, а не силы тяжести, см. § 92). Но, конечно, все получаемые да­ лее формулы справедливы для движения в поле тяготения любого другого небес­ ного тела.

2SI

где (см. § 47)

Интегрируя дифференциальные уравнения (103) и (105), можно определить г и <ркак функции времени t, т. е. найти закон движе­ ния точки. Вместо этого найдем сразу ее траекторию. Чтобы упро­ стить расчет, введем новое переменное и, полагая

Тогда с учетом равенств (107) и (103) получим

Подставляя эти значения в формулу (106), находим

и9= с* [U* + (du/dcp)*].

Найденное выражение t/9подставим в левую часть уравнения (105).

Получим

0 l “ l?- + _5pd9*-J= * ;? !?•

Заменяя здесь с его значением из (104) и сокращая на du/d<p, найдем окончательно дифференциальное уравнение траектории:

гв

Решение этого уравнения слагается из общего решения уравне­ ния без правой части, которое совпадает с решением уравнения (67) при 1 и частного решения уравнения с правой частью. Следова­ тельно, «=ы1+ и|, где «1 имеет вид (68) или (69) при k—\, а и»=1/р, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. В резуль­ тате решением уравнения (108) будет

M = c,sin(<p + ct) + j или м= у [ 1+ схр sin(<р+с,)],

где Ci и с , —г постоянные интегрирования. Полагая здесь сгр——е, с,=я/2—р, где е и р — новые постоянные, и переходя от и к г, най­ дем окончательно уравнение траектории в виде

Из аналитической геометрии известно, что (110) представляет собой уравнение конического сечения (эллипса, параболы или ги-

2S2

Скорость 0 ,= К 2gR называется параболической или второй кос­ мической скоростью. Если считать R = R 0=6378км И g=gt=9,82м/са, то получим и,«11,2 км/с. Таким образом, при начальной скорости v0^ ll,2 км/с тело, брошенное с поверхности Земли под любым уг­ лом а к горизонтальной плоскости, будет двигаться по параболе или гиперболе (при а =90° — по прямой), неограниченно удаляясь от Земли. Достижение скоростей такого порядка необходимо для меж­ планетных сообщений *. При скорости, меньшей второй космиче­ ской, тело или упадет обратно на Землю, или станет искусственным спутником Земли.

Закон движения точки вдоль .траектории, т. е. ее положение на траектории в любой момент времени, можно найти, заменяя в ра­ венстве (103) г его значением из (110), а затем, интегрируя полуден­ ное уравнение.

§ 98. ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ ЗЕМЛИ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ

При о0-<К2gR и афп/2 траектория тела, брошенного с земной поверхности, есть эллипс, у которого ось РА , образующая с Ох угол Р, является осью симметрии (см. рис. 269). Если начальные условия в пункте М 0 будут таковы, что угол то траектория пересечет поверхность Земли в симметричной относительно оси РА точке M i, т. е. тело упадет на Землю. Следовательно, брошен­ ное тело может стать спутником Земли лишь при тех начальных ус­ ловиях, которые дают р=я. Но, как показывают равенства (111), Р= я только при а=0 (или а= я) и xfi^gR, так как при р=я и vl<.gR первое из равенств (111) дает е<0, что невозможно, посколь­ ку е — величина положительная. Следовательно, чтобы тело, бро­ шенное с земной поверхности, превратилось в спутника Земли,

Эксцентрисистет орбиты спутника при а=0 й Р= я, как видно

Скорость Vy—V g R , при.которой е=0 и спутник движется по круговой орбите радиуса R , называется круговой или первой кос­ мической скоростью [см. § 82, формула (28)]. При бросании с поверх­ ности Земли, если считать R= 'R0= 6378 км и g=g0=9,82 м/са, пер­ вая космическая скорость их«7,9 км/с. При Уо>Ух орбитой спутни­ ка будет эллипс, эксцентриситет которого тем больше, чем больше v0 (рис. 270).

* Скорость, необходимая для освобождения межпланетного корабля от со местных притяжений Земли иСолнца,,будет больше У 2g0R 0 и при определенном

направлении и0 равна около 16,7 км/с; эту скорость называют третьей космиче­ ской скоростью,

254

Когда угол бросания афО, то ни при какой начальной скорости v0тело, бросаемое с земной поверхности (если даже не учитывать сопротивление воздуха), спутником Земли стать не может. Поэтому, например, создать искусственный спутник Земли выстрелом из Орудия практически невозможно; для этой цели пригодна управляе­

раблей с человеком на борту. Отметим в заключение, что с

увеличением высоты Н' пункта М „ над поверхностью Земли сопротивление воздуха будет убывать и

спутник будет долговечнее. Одновременно станет, очевидно, воз­ можным получение спутникового движения и при а#0. Однако нетрудно подсчитать, что при увеличении Я (хотяУц например, при этом уменьшается) полная энергия, затрачиваемая на запуск спут­ ника данной массы, возрастает. _____

Э л л и п т и ч е с к и е траектории. При а>0 и vB< V%g<>Rt, тело, брошенное с земной поверхности, описав дугу эллипса, упа­ дет обратно на Землю. Такие эллиптические траектории описывают баллистические ракеты, в частности мёжконтинентальные. Найдем основные характеристики этих траекторий.

Так как ось РА является осью симметрии траектории, то точкой

падения будет M i и дальность S будет равна длине дуги М 0М Х(см. рис. 269); следовательно,

где Р определяется формулой (112). При этом, как обычно принято, в равенстве (116) R„ — средний радиус Земли.

d/= (г5/с) d<p= (r4R0v0cosa) d<p.

Заменяя здесь г его значением, получаемым из равенств (109) и (110), и интегрируя, найдем, что

255

где^р=<р—р. Вычисляя интеграл, найдем окончательно после ряда преобразований

По полученным формулам, зная и. и угол бросания а, можно определить дальность полета S, наибольшую высоту траектории Н

ивремя полета Т.

Спрактической точки зрения важно найти минимальную ско­ рость i£ ln и наивыгоднейший угол бросания ан, при которых может быть получена заданная дальность S —2R0fi.

Для этого определим из равенства (112) величину v„. Получим

При данной дальности (при данном угле Р) потребная скорость v0зависит от угла а. Так как угол а входит в равенстве (120) только в знаменатель, то v0 имеет минимум, когда этот знаменатель дости­ гает максимума. Приравнивая производную от знаменателя по а нулю, найдем

cos2а—sin 2а tgр=0,

откуда ctg 2a„=tg Р и наивыгоднейщий угол бросания

а.=45*-р/2. (121)

Что данная величина а„ дает iff1", легко проверяется по знаку второй производной. Подставляя значение аж в равенство (120) и учитывая, что 2cos-а = 1-fcos2a, получим

Формулы (122) и (121) определяют наименьшую начальную ско­ рость и наивыгоднейший угол бросания, обеспечивающие заданную дальность. Высота траектории и время полета при этом подсчиты­ ваются по формулам (117) и (118), в которых v0и а заменяются их значениями из (122) и (121). Для наглядности элементы нескольких наивыгоднейших эллиптических траекторий, подсчитанные по этим формулам при #о=/?Ср=6370км, приведены в тайл. 3 (все величины даны в таблице С точностью до 5 единиц последнего знака).

Напоминаем, что все эти расчеты относятся к движению в без­ воздушном пространстве и не учитывают влияние вращения Земли. В заключение отметим, что при малых дальностях (угол р мал) дуга эллипса, описываемого брошенным телом, близка к дуге параболы. Если при этом считать sinp«p и 2/?0Р= Х, а величиной р в других равенствах по сравнению с единицей пренебречь, то в пределе все

256

Т аблиц а 3

полученные формулы перейдут в соответствующие формулы для параболических траекторий (см. § 82). В частности., из (121) и (122) получаем сразу

а„=а*=45°, Uolln= Kgo**-

§ 99. ПОНЯТИЕ О НЕВЕСОМОСТИ. МЕСТНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

При движении тел в поле тяготения может иметь место интерес­ ное явление, называемое невесомостью. Начнем с частного примера.

Рассмотрим груз массой т , покоящийся в лифте, который дви­ жется по отношению к неподвижным осям Оху вертикально вниз с

ускорением а (рис. 271,а). На груз действуют сила тяжести P=mg и

реакция N. Так как груз, двига­ ясь вместе с лифтом, тоже имеет

ускорение а, то, составляя урав­ нение его движения в проекции на ось х, получим

т а —mg—N и N=m(g—а).

(пол не служит ему опорой). Поэтому груз по отношению к лифту будет1оставаться в покое («висеть») в любом месте кабины, если его туда поместить. На чашу весов, находящихся в кабине, груз тоже не окажет давления и они покажут, что «вес» груза равен нулю. Аналогичное состояние будет и у груза, помещенного в кабину по­ ступательно движущегося космического летательного аппарата. Такое, состояние груза (тела) и называют невесомостью.

Объясняется полученный результат просто: под действием силы тяжести и лифт, и находящийся в нем груз движутся по отношению

к осям Оху с одним и темже ускорением g (рис. 271, б); поэтому от-

носительно кабины лифта груз не перемещается (находится в любом месте в покое) и не будет давить на дно кабины. Но одновременно ясно, что состояние падающего груза никак не зависит от наличия лифта и останется таким же, когда груз> падает один. Следователь­ но, в состоянии невесомости находится любое тело, свободно дви­ жущееся (падающее) в поле сил тяжести (тяготения).

Однако иэ изложенного не видно, чем же физически состояние тела при невесомости отличаете* от состояния, которое будет у тела, когда оно просто покоится на поверхности Земли или дви­ жется под действием каких-нибудь других сил, например силы тяги. Между тем, что в этих состояниях есть существенное различие, показывает эксперимент. Так, если в кабину падающего лифта или космического летательного аппарата поместить сосуд с жидкостью, не смачивающей его стенок (например, с ртутью), то при невесомости жидкость не заполнит сосуд, а примет в нем форму шара и сохранит ее и вне сосуда. Объясняется это, очевидно, тем, что при невесомости изменяется характер внутренних усилий в теле (в данном случае в жидкости). Следовательно, чтобы выяс­ нить, в чем состоит отличительная особенность состояния невесо­ мости, надо обратиться к рассмотгению возникающих в теле внутренних усилий.

Будем различать две категории внутренних усилий в теле: уси­ лия, не связанные с внешними воздействиями на тело (например, мо­ лекулярные силы, температурные напряжения или усилия в двух стянутых болтами и образующих одно тело полосах железа) и уси­ лия, вызванные внешними воздействиями на тело, т. е. действием на тело внешних сил.

Остановимся на рассмотрении второй категории внутренних Усилий (см. § 20). При этом буДЬм различать так называемые мас­ совые (или объемные) и поверхностные силы. Массовыми называют силы, действующие на каждую из частиц данного тела и численно пропорциональные, массам этих частиц; примером массовых сил являются силы тяготения. Поверхностными называют силы, прило­ женные к точкам поверхности данного тела; примером таких сил являются реакции всевозможных опор, сила тяги, силы сопротив­ ления среды и т. п. При определении закона движения (или усло­ вий равновесия) физическая природа приложенных к телу сил роли не играет. Важно лишь, чему равны модуль и направление каждой из сил. Однако на значениях возникающих в теле внутренних уси­ лий это различие, как мы увидим, сказывается весьма существенно. Объясняется такой результат тем, что массовые силы действуют на каждую из частиц тела непосредственно; действие же поверхност­ ных сил передается частицам тела за счет давления на них соседних

частиц.

Рассмотрим тело массой т , движущееся в поле тяготения Земли поступательно, но не обязательно прямолинейно. Размеры тела по сравнению с земным радиусом будем считать настолько малыми, что различием в расстояниях частиц тела от центра Земли можно

пренебречь и считать, что силы тяготения сообщают всем частицам

25®

тела одно и то же ускорение g. Тогда равнодействующая приложен­ ных к телу сил тяготения будет

Допустим, что кроме сил тяготения на тело действуют еще по­ верхностные силы, приложенные вдоль какой-то площадки А В и

имеющие равнодействующую Q (рис. 272, а). Сила Q может быть реакцией дна кабины лифта (или кабины самолета, космического летательного-аппарата), в которой покоится тело, или же силой тяги, силой сопротивления среды и т. п.

Согласно сказанному в § 73, тело, движущееся поступательно, можно рассматривать как материальную точку. Составим уравне­

вием сил FT и Q в каком-нибудь сечении ЬЬгтела, перпендикулярном

направлению вектора Q, т. е. те силы, с которыми частицы тела, разделенные этим сечением, действуют друг на друга. Для этого рассмотрим движение одно£ из частей тела, например верхней, мас­ су которой обозначим mt. На эту часть тела действуют силы тяго­ тения, равнодействующая которых согласно формуле (123) будет

F^i—ntig, и силы давления отброшенной части тела, равнодейст­

вующую которых назовем S t (рис. 272,6). Поскольку тело движется поступательно, то и рассматриваемая его часть тоже движется по­

ступательно с тем же^ускорением а и для нее m ia=FTl+ Si или

mla=m1g-\-S1, откуда Si= n ii(a—g). Заменяя здесь а его значением из формулы (125), найдем окончательно, что

Таким образом, значения возникающих в теле внутренних уси­ лий зависят только от действующих на него поверхностных сил. При этом, поскольку в формулу (126) ускорение не входит, она бу­ дет справедлива и для покоящегося тела.

Рассмотрим тело, покоящееся на поверхности Земли. Действую­ щей на него поверхностной силой будет реакция земной поверхнос­ ти, численно равная весу Р тела. Следовательно, при Q=P формула (126) определяет внутренние усилия в теле, покоящемся на поверх­ ности Земли. Состояние, в котором находится тело при наличии в

нем таких внутренних усилий, называют состоянием весомости. Испытываемое человеком, находящимся на поверхности Земли, ощущение «весомости» и является следствием наличия в его теле таких внутренних усилий (давлений частей тела друг на друга).

Если на покоящееся или движущееся тело действует поверхност­ ная сила Q < P, то внутренние усилия в любом сечении тела будут меньше, чем при его покое на земной поверхности (явление недо­ грузки)-, если же действующая поверхностная сила Q>P (например, Q — сила тяги вертикально стартующей ракеты), то внутренние усилия в любом сечении тела будут больше, чем при его покое на земной поверхности (явление перегрузки). Наконец, когда Q=0 и тело движется свободно под действием только массовых сил (сил тяготения), т. е. находится в состоянии невесомости, то под дейст­ вием этих сил никаких внутренних усилий в теле не возникает»

В итоге приходим к следующим результатам: 1) любое тело, размеры которого малы по сравнению с его расстоянием от центра Земли и которое движется в поле тяготения Земли свободно (т. е. под действием только сил тяготения) и поступательно, находится в со­ стоянии невесомости', 2) состояние невесомости характеризуется тем, что при невесомости в теле не возникает внутренних усилий, вызываемых внешними воздействиями на это тело.

Аналогичный результат имеет место при движении в поле тя­ готения любого другого небесного тела.

Таким образом, если сопротивление воздуха пренебрежимо мало, то любое падающее на Землю или брошенное с ее поверхности тело, движущееся поступательно, будет находиться в состоянии невесо­ мости. В частности, в состоянии невесомости находятся движущиеся вне земной атмосферы искусственные спутники Земли или Косми­ ческие летательные аппараты и все находящиеся в них тела.

Учет невесомости приобретает важное значение при космиче­ ских полетах, поскольку невесомость изменяет условия работы мно­ гих устройств и приборов, а те из них, в которых, например, ис­ пользуются физические маятники или свободная подача жидкости и т. п., вообще оказываются непригодными. Важную роль в услови­

ях невесомости начинают играть не зависящие от внешних воздейст­ вий и сохраняющиеся при невесомости молекулярные силы (в зем­ ных условиях малые по сравнению с взаимными давлениями, обус­ ловленными весомостью), что меняет характер ряда явлений. На­ пример, в условиях невесомости смачивающая жидкость, заполняю­ щая замкнутый сосуд, под действием молекулярных сил распреде­ лится равномерно по его стенкам. Жидкость же, не смачивающая стенок, примет форму шара, на что уже указывалось *.

Невесомость влияет и на работу ряда органов человеческого тела (напри­ мер, на вестибулярный аппарат, обеспечивающий чувство равновесия); поэтому, чтобы приспособиться к условиям невесомости, требуется соответствующая тре­ нировка. Чтобы в некоторой мере имитировать при полете в космосе состояние «ве­

сомости», на космонавтов надевают специальные костюмы, придающие телу соот­ ветствующие («вертикальные») нагрузки.

360