Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

Поскольку сила тяжести Р потенциальная, то уравнение Лагранжа можно сос­ тавить в виде (129). Направляя ось Ог вертикально вниз, имеем в данном случае Н=‘ —Р г = —Ра cos <р. Тогда по формуле (128):

В результате уравнение (129) также дает J ojf+ P a sin ф=0.

Задача 176. Решить с помощью уравнений Лагранжа задачу 143 (см. $ 124). Р е ш е н и е . Механизм имеет одну степень свободы (см. рис. 314) и его по­ ложение определяется координатой ф (<7х=ф). Сообщая углу ф приращение бф, найдем, что на этом перемещении элементарная работа ОАх будет иметь выраже­ ние, совпадающее с выражением АА1в задаче 143, если только заменить в нем <1ф на

6ф. Следовательно,

Qx= —сф(/—г)Чг*.

Величина Т для механизма также была найдена (формула (б) в задаче 143). Учйтывая, что ш*р=<р, получим

Т = (9P +2Q )/V /12?,

откуда

^ = ° . - g = (9P + 2Q)/»q)/6«.

т. е. тот же результат, что и в задаче 143.

Обращаем внимание на то, что-для системы с одной степенью свободы составле­ ние дифференциального уравнения движения методом Лагранжа сводится по су* ществу к тем же расчетам, что и при использовании теоремы об изменении кинети­ ческой энергии.

Задача 177. Найти закон движения шарика В массой m вдоль трубки ОА, вра­ щающейся равномерно в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ш (рис. 368). В начальный момент шарик находится от оси О на расстоянии и его скорость вдоль трубки равна нулю. Найти также, какой при этом действует на трубку вращающий момент Mt f .

Р е ш е н и е . Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат вфберем координату х, определяющую относительное движение шарика,

Найдем сначала Qi и Q,. На перемещении, при котором координата х получа­ ет приращение 6х, действующие силы работу не совершают (трубка вращается в горизонтальной плоскости); следовательно, 6Л,==0. На перемещении, при котором

Кинетическая энергия системы слагается из энергии Тг шарика и энергии Tt труб­ ки. Энергию 7\ определяем для абсолютного движения шарика. T o w 7'1=/т»Ь/2, где VB — абсолютная скорость шарика, причем векторно од= вох+ Unep. В данном случае численно ti0I= x , vatv= O B ‘ <o=хф и так как и0т_Й »р . то

Т1 = т(х*+х*<р*))2.

Учтя еще, что Tt= J 0u?/2—Jо<р/2, где J0 — момент инерции трубки, получим

окончательно

T^=m(3^-{-xt^ t)/2-\-J0ф*/2. .

381

Отсюда

Подставляя эти величины и значения Qi, Qt из равенств (б) в уравнения (а) и учтя одновременно, что по условиям задачи ф=со= const, получим:

x+<D*x=0, 2та>хх— Мър. (в)

Интегрируя первое из уравнений (в) и определяя постоянные интегрирования по

начальным условиям задачи (при /= 0 х = х 0, х=0), найдем окончательно следую­ щий закон движения шарика вдоль„трубки:

х = х 0 (e®*-f-e—®**)/2 или x = x 0ch шЛ (г)

Второе из равенств (в) определяет искомый момент (нетрудно видеть, что он равен моменту кориолисовой бнлы инерции). Если с помощью уравнения (г) вы­

Заметим, что для шарика здесь решалась основная задача динамики (опреде­ ление закона движения по заданным силам), причем изучалось его относительное движение, но так как значение Т находилось для абсолютного движения системы, то вводить силы инерции не понадобилось; для трубки же, наоборот, по заданному движению определялся момент действующей силы (или пары сил).

ш / ш Зшшя шя шМштт .т .

Рис. 369

Задача 178. Масса тележки 1 равна mt, а масса находящегося на ней сплош­ ного цилиндрического катка 2 равна гщ. Определить, с каким ускорением будет двигаться тележка вдоль горизонтальной плоскости под действием приложенной

х ней силы F (рис. 369), если каток при этом катится по тележке без скольжения. Массой колес тележки пренебречь.

Р е ш е н и ё. Система имеет две степени свободы (независимы перемещение катка относительно тележки и перемещение самой тележки). В качестве обобщен­ ных координат выберем координату х тележки и координату s центра масс С катка

Кинетическая энергия тележки Tx=m 1x*/2, а катка 7’, = т аос/2+Ус®2/2, где i’с — абсолютная скорость^центра С катка и численно Vq=x—s. Так как для сплош­

ного цилиндра J c—m2rs/2, а при качении без скольжения io=s/r, где s — относи­ тельная скорость центра С'по отношению к тележке (считать здесь w=Vq!t было бы ошибкой), то окончательно получим

382

Тогда

Для определения обобщенных сил дадим сначала системе возможное переме­ щение, при котором координата х получает приращение бх>0. На этом перемеще­ нии 6Ai=F6x. На перемещении же, при котором s получает приращение 6s, оче-' видно, 6i4t= 0 . Следовательно,

<?i=f, Qi=0.

Подставляя эти значения Qt, Q2 и значения производных, определяемые фор­ мулами (в), в равенства (а), найдем следующие дифференциальные уравнения дви­ жения системы:

(m^+ m,) х — m,s = F, 3s— 2х = 0. (г)

Из последнего уравнения s=2x/3, и тогда первое уравнение дает окончательно для ускорения ах тележки значение

fli = х — 3F/(3mi - f m,).

Нели каток был бы на тележке закреплен неподвижно, то ее ускорение, оче­ видно, равнялось бы FI(m1+ 'n t).

Отметим еще один результат. Допустим, что трения катка о тележку нет. Тогда он по тележке будетскользить, двигаясь поступательно, и Г ,= mau?;/2 = т ,(х —s)’ /2.

Легко видеть, что первое из уравнений (г) при этом не изменится, а второе, так

как теперь d7Vds=m, (s—х), примет вид s—* = 0 и дает*=*. В результате из первого уравнения системы (г) находим для ускорения тележки значение a1= f/m 1.

Объясняется такой результат тем, что при отсутствии тре"ния тележка не увле­ кает с собой катка и движется так, как если бы катка на ней вообще не было.

Задача 17*. На барабан /, имеющий радиус R и массу т 1? распределенную по его ободу, намотан тросик, к которому посредством пружины с коэффициентом

вкачестве обобщенных координат угол <р поворота барабана

иудлинение х пружины (<7i=<p, q2~ x ). Тогда уравнения Лагранжа будут:

Кинетическая энергия системы 7'= 7’1+ 7 ',) где 7’1=У 1ф*/2, Tt= m tv\!2. В дан­ ном случае / 1= т 1^*, а u,=uOT+Onep и vt='x—R<p. Тогда

383

Э то будут искомые уравнения. Сложив их почленно, получим mxR4= M ^ R —cXi

а исключив из этого равенства и равенства (д) R<f, найдем следующее дифферен­ циальное уравнение относительных колебаний груза, совершаемых с частотой к:

Абсолютное движение груза происходит по закону s= x —Rф. Это движение тож$ сопровождается колебаниями с частой k. Колебаниями с такой же частотой сопро1 вождается и вращение барабана.

Задача 180. К оси В однородного катка весом Я, который может кататься без скольжения вдоль горизонтальной плоскости, прикреплен шарнирно однородный стержень BD длиной / и весом р (рис. 371). Соста­

Окончательно найдем следующее выражение для функции Лагранжа:

384

Подставляя эти величины в равенства (а), получим после очевидных сокращений следующие дифференциальные уравнения движения системы:

^ ((ЗЯ + 2р) х + р /ф c o s ф ]= О,

.Перейдем теперь к отысканию закона малых колебаний системы. При этом счи­ таем угол ф и смещение х малыми величинами одного и того же порядка малости, т. е. полагаем, что ф =е/, (/), х = е /,(/), где е — малая величина, а / х (f), / . (t) — не­ которые функции от времени (ограниченные вместе с их производными), опреде­

ляющие закон колебаний. Очевидно, что при этом и скорости ф =е/1(/), x=e/*(Q будут также малыми величинами порядка е.

Чтобы составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы, надо в уравнениях (б) сохранить только члены порядка е, а малые более высокого

порядка отбросить. Для этого в слагаемом р/ф cos ф, которое входит в первое из уравнений, надо положить cos ф = 1, а во втором уравнении принять sin ф=ф,

cos ф= 1 и член хф Ф отбросить целиком как имеющий порядок е*. В результате уравнения (б) примут вид:

^ ((З Я + 2р )х+ р/ф ] = 0, ^ * + у / ф ) + « ф = 0 .

Отсюда, вычисляя производные, найдем окончательно следующие дифференциаль­ ные уравнения малых колебаний рассматриваемой системы:

(ЗЯ+ 2р) if+ р/ф = 0, х -f- (2//3) <р + £ ф = 0. (в)

Определив из первого уравнения х и подставив его значение во второе уравне­ ние, получим

Интегрируя уравнение (г) и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям задачи (при / = 0 ф=фв. <р=0), найдем окончательно

Интегрируя теперь первое из уравнений (в) и учитывая, что При /= 0 х —0, х=.0, Ф = Ф о , ф=0, получим

(ЗЯ.+2р)дс+р/ (ф—фо)=0.

Замена здесь ф его значением из равенства (е) дает

х = = 3,p + (ж )

Уравнения (е), (ж) и определяют закон малых колебаний системы. Частота к этих колебаний дается равенством (д).

Такой сравнительно простой результат получился в данной задаче потому, что здесь Qi=0. Вообще же, колебания системы с двумя степенями свободы оказыва­ ются значительно более сложными и слагаются из колебаний с двумя разными ча­ стотами kx v к2 (см. § 150).

Задача 181. Составить уравнения движения симметричного гироскопа в форме Лагранжа. Рассмотреть случай медленной прецессии.

Р е ш е н и е . Гироскоп имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем углы Эйлера ф, ф, 6 (см. рис. 172 в § 60). Тогда уравнения Лаг­

Кинетическая эвергня гироскопа определяется формулой (79”) из § 132. Считаем, как всегда, ось Ог направленной по оси симметрии гироскопа. Тогда Jx= J y и

Чтобы выразить Т в обобщенных координатах, воспользуемся кинематиче­ ским! уравнениями Эйлера (см. § 61):

wx = ^s1neslii4p4-6cos ф,

<о„=Ч>81пвсозф— ЙЯлф, « ,= ф -(-$ с о 8 0 .

И* m i уравнений

e>* + ® 5 = + ,sln *0 + 6, 1 coj=(<p-|-ij>cos 0)*.

Ледспмяя обе эти величины в равенство (б), найдем

т = Y V , <** sin* 0 + ё*) + Jt (ф+ cos ©)*].

Тогда учитывая, что /*(ф-Н£ cos 0)=У 1ш1, получим:

Для подсчета обобщенных сил обратимся к рис. 172. Если координате ф сооб­ щить приращение бф>0, то гироскоп совершит элементарный поворот вокруг оси Ог. Элементарная работа при таком повороте О.Д|=М*(мр, где Мг — главный мо­ мент всех действующих сил относительно оси Ог. Следовательно, QQ = M z.

.Аналогичным путем, учитывая, что при изменении угла ф гироскоп совершает поворот вокруг оси Огi, а при изменении угла в — вокруг линии узлов ОК,

найдем, что Q+ = M Zi, Q e-M 0K.

Подставляя все вычисленные величины в равенства (а), получим окончатель­ но следующие дифференциальные уравнения движения Гироскопа в форме Лагра­

проще, чем совокупность динамических и кинематических уравнений Эйлера. В частном случае, когда на гироскоп действует только сила тяжести ~Р, приложенная в какой-то точке С на оси Ог (см. рис. 172; точка С на нем не показана), и расстояние О С —а, а ось Ог, вертикальна, будет М ,= 0, М . = 0,

386

дают Л4г= 0 и ^ * ,= 0 , а из третьего уравнения, пренебрегая малой величиной, со­

Результат совпадает с тем, который дает элементарная теория гироскопа [см. § 131, формула (76)].

Глава X X X *

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ

§ 147. ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ

При определении условий равновесия механической системы воз­ никает весьма важный вопрос о том, будет ли это равновесие практи­ чески реализуемым, т. е. устойчивым, или нет. Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если ее можно выве­ сти из этого положения настолько малым возмущением (смещением, толчком), что во все последующее время отклонения системы от равновесного положения будут меньше любого сколь угодно мало­ го заданного отклонения. В противном случае равновесие называют неустойчивым. Такое определение соответствует понятию об устой­ чивости равновесия и движения по А. М. Ляпунову. Исходя из него, можно, например, сразу установить, что равновесие маятника, изображенного на рис. 324, при <р=0 будет устойчивым, а при Ф=180° — неустойчивым.

Один общий критерий, устанавливающий достаточное условие устойчивости равновесия консервативной (см. § 127) системы, дает следующая т е о р е м а Л а г р а н ж а — Д и р и х л е : если потен­ циальная энергия консервативной системы имеет в положении рав­ новесия строгий минимум, то равновесие системыв этом положении является устойчивым.

В качестве доказательства ограничимся следующими рассуждениями. Для консервативной системы имеет место закон сохранения механической энергии, т. е. 74- n=const, где Т — кинетическая, а П — потенциальная энергия системы. Поэтому, если в положении равновесия П = П т |п, то когда система после малого возмущения придет в движение и будет удаляться от положения равновесия, зна­ чение П должно возрастать и, следовательно, Т будет убывать. Однако при воз­ растании П не может стать больше некоторой величины 111= П П)1П+Д П , которая

.получится, когда Т обратится в нуль. Учтя это, можно начальные возмущения, а с ними и значение ДП сделать столь малыми, что когда у системы П = П тш +ДП ее отклонение от равновесного положения будет меньше любого сколь угодно малого заданного. Отсюда и следует, что равновесное положение является устой­ чивым.

Даваемое теоремой условие устойчивости равновесия является лишь достаточным и не позволяет судить о том, что будет, если в положении равновесия потенциальная энергия не имеет минимума.

Рассмотрим отдельно случай равновесия консервативной системы, имеющей одну степень свободы. Пусть положение системы

определяется обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии <7=0. Согласно формулам (118') из § 144 в положении рав­ новесия (ЯШ<7)в= 0 . Кроме того, если П (q) имеет при q = 0 минимум, то (д,П/д<7* )* > 0 . Таким образом, при выполнении следующих усло­ вий (достаточных, но не необходимых):

(130)

« ? ) . > •

равновесие системы в данном положении ( q = 0) будет устойчивым. При решении задач, считая q малым, достаточно определять П(<7) с точностью до q%, так как члены с q* и выше в условия (130)

не войдут (при q= 0 обратятся в нули).

Задача 182. Определить, при каких условиях стержень AD (маятник), имею­ щий ось вращения в точке А , находится в устойчивом равновесии, когда он верти­

Где в П«=П(0) включены все постоянные величины (без выяснения, чему равно U*). Отсюда находим

ап

"Зф"-------(л1# //2) ф -)- (cxA.ii)— c,Xj0) h-f- (cj -f- ct) Л*ф.

что, конечно, можно было предвидеть заранее. Далее получим

388

1 148. МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, нахо­ дится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять поло­ жение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии q—0. Так как равновесие устойчиво, а возмущения малы,

то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движе­ ния тоже оставаться величинами малыми. Для составления диффе­ ренциального уравнения движения системы воспользуемся уравне­ нием Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы ,П [(см. §143, формулы (115)), примет вид

(131)

Вообще это уравнение будет нелинейным, но его мбжно линеаризи­ ровать и тем самым существенно упростить, сохранив в уравнении малые величины q и q только в первой степени (первого порядка

малости; см. задачу 180 в § 146). Для этого значения T(q, q) и П (q) достаточно определить тоже приближенно. При этом, так как

т. е. с точностью до q* или q*.

Найдем сначала приближенное выражение Т (q, q). Для любой точки системы при станцнонарных связях

Тогда, вынося общий множитель q* за скобки, получим

так как производные drjdq, как и сами г*, являются функциями только q. Разложив F(q) в ряд Тейлора, получим

F fo)= F (0 )+ F '(0 to+ .

Так как Т надо определить с точностью до q*. то в этом разложении следует сохранить только первое постоянное слагаемое F (0). Тогда для Т получим выражение

389

Поскольку Т величина существенно положительная, то постоянный коэффициент а>0; его называют инерционным коэффициентом.

Размерность а зависит от размерности q\ в частности, а может иметь размерность массы или момента инерции.

Далее, разлагая П((7) в ряд Тейлора и учитывая, что в положении равновесия (дП/дд)0=0, найдем (с точностью до q*)

При этом по условиям (130) с Х ). В частном случае, если q — удли­ нение пружины, равенство (133) выражает потенциальную энергию поля сил упругости; поэтому коэффициент с называют квазиупругим коэффициентом (или обобщенным коэффициентом жесткости).

Из равенств (132) и (133) находим:

Подставляя эти величины в уравнение (131), получим следующее дифференциальное уравнение малых свободных колебаний системы с одной степенью свободы:

Это уравнение совпадает с известным уравнением свободных прямолинейных колебаний материальной точки (см. § 94) и его общее решение имеет вид

где А н а — постоянные интегрирования, определяемые по на­ чальным условиям. Частота и период этих колебаний согласно (134) определяются равенствами:

Установим, как при этом движутся точки системы. Разлагая ра­ диус-вектор rh (q) одной из точек системы в ряд Тейлора, получим

/Ч(<7)=гь(0)+гДО)<7+. . . Заменяя здесь q его значением (135), найдем, что с точностью до величин первого порядка малости

K (< 7 )-M 0 )| = K (0)| ,4sin (ft/ + a) (* = 1, 2......... п). (137)

Таким образом, точки системы тоже совершают малые колебания с частотой k и амплитудами \r'k(0)|Д. Из найденных результатов вытекают следующие с в о й с т в а м а л ы х к о л е б а н и й

си с т е м ы :

1)свободные (собственные) колебания системы являются коле­ баниями гармоническими; частота и период этих колебаний не за­

амплитуды колебаний точек системы, равные Л|/^(0)|, и начальная фаза а тоже зависят от начальных условий;

390