Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

Обозначим равнодействующие всех (и внешних, и внутренних) активных сил и реакций связей, действующих на какую-нибудь точ­

ку системы Bh, соответственно через F| и Nh. Тогда, поскольку

каждая из точек системы находится в равновесии, Fk+ N k= 0, а сле­ довательно, и сумма работ этих сил при любом перемещении точки Вк будет тоже равна нулю, т. е. 6Л*+бЛ£=0. Составив такие ра­ венства для всех точек системы и сложив их почленно, получим

+= 0.

Но так как связи идеальные, а бг* представляют собой возможные перемещения точек системы, то вторая сумма по условию (98) будет равна нулю. Тогда равна нулю и первая сумма, т. е. выполняется равенство (99). Таким образом, доказано, что равенство (99) выра­ жает необходимое условие равновесия системы.

Покажем, что это условие является и достаточным, т. е. что если к точкам механической системы, находящейся в покое, приложить

активные силы /•*, удовлетворяющие равенству (99), то система останется в покое. Предположим обратное, т. е. что система при этом придет в движение и некоторые ее точки совершат действительные

перемещения dr*,. Тогда силы F| совершат на этих перемещениях работу и по теореме об изменении кинетической энергии будет:

dr = 2 d /ll (di4S = Fl-dr*),

где, очевидно, d7^>0, так как вначале система была в покое; сле­ довательно, и 2di4J>0. Но при стационарных связях действитель­

ные перемещения dr* совпадают с какими-то из возможных переме­

щений 6о, и на этих перемещениях тоже должно быть 26Л£>0, что противоречит условию (99). Таким образом, когда приложенные силы удовлетворяют условию (99), система из состояния покоя выйти не может и это условие является достаточным условием равновесия.

Из доказанного вытекает следующий п р и н ц и п в о з м о ж ­ н ы х п е р е м е щ е н и й * : для равновесия механической системы с идеальными связями, необходимо и достаточно, чтобы сумма эле­ ментарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении. системы была равна нулю. Математически сформулированное условие равновесия выражается равенством (99), которое называют также уравнением возможных работ. Это равенство можно еще представить в аналитической форме (см. § 87):

* В форме, близкой к современной, но без доказательства этот принцип вы­ сказал знаменитый математик и механик (швейцарец по происхождению) Иогаин Бернулли (1667— 1748). В общем виде принцип впервые сформулировал и доказал Ж. Лагранж (1788 г.) Обобщение принципа на случай неудерживающих связей было дано М.В. Остроградским в работах 1838— 1842 гг.

361

Принцип возможных перемещений устанавливает общее условие равновесия механической системы, не требующее рассмотрения рав­ новесия отдельных частей (тел) этой системы и позволяющее при идеальных связях исключить из рассмотрения все наперед неиз­ вестные реакции связей.

f 140. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Приступая к решению задачи, следут вначале определить число степеней свободы рассматриваемой системы (в частности, механиз­ ма), по числу независимых возможных перемещений или координат системы.

В плоских механизмах число степеней свободы можно практически опреде­ лять тай. Представим себе, что механизм движется. Если, остановив поступатель­ ное или вращательное движение какого-нибудь одного звена, мы одновременно останавливаем весь механизм, то он имеет одну степень свободы. Если после этого часть механизма может продолжать движение, но, когда затем будет остановлено перемещение какого-нибудь другого звена, механизм остановится, t q он имеет две степени свободы и т. д. Аналогично, если определить положение механизма какой-нибудь координатой и когда она постоянна, механизм не может двигать­ ся — у него одна степень свободы. Если же после этого часть механизма мо^кет двигаться, то выбирается вторая координата и т. д.

Для решения задачи геометрическим методом, когда система имеет одну степень свободы, надо: 1) изобразить все действующие на систему активные силы; 2) сообщить системе возможное переме­ щение и показать на чертеже элементарные перемещения 6sh точек приложения сил или углы бф* элементарных поворотов тел, на кото­ рые действуют силы (у элементарных перемещений будем на черте­ же указывать их модули 6s„, которые непосредственно входят в условия равновесия); 3) подсчитать элементарные работы всех активных сил на данном перемещении по формулам;

ЬА% = bsk— 6sA cos а* или 6ЛJ = m0 (f|) бфА (101)

и составить условие (99); 4) установить зависимость между вели­ чинами бsfc и бср*, вошедшими в равенство (99), и выразить эти ве­ личины через какую-нибудь одну, что для системы с одной степенью свободы всегда можно сделать.

После замены в равенстве (99) всех величн бsk, 6<ph через одну получим уравнение, из которого и найдется искомая в задаче ве­ личина или зависимость.

Зависимости между бsk и 6<pft можно находить: а) из соответ­ ствующих геометрических соотношений (задачи 164, 169); б) из кинематических соотношений, считая, что система движется, и определяя при данном положении системы зависимости между линейными vh или угловыми <ofc скоростями соответствующих точек или тел системы, а затем полагая 6sh= v kdt, 6<pfc=<ohctt, что справед­ ливо, так как получаемые точками или телами за время dt действи­ тельные перемещения будут при стационарных связях одними из возможных (иначе, здесь можно сразу считать зависимости меж-

362

ду возможными перемещениями такими же, как между соответствую­ щими скоростями, см. задачи. 165, 166 и др.).

Для системы с несколькими степенями свободы задачу можно решать, составляя условие (99) для каждого из независимых возмож­ ных перемещений системы и преобразуя его тем же путем. В ре­ зультате для системы получится столько условий равновесия, сколько она имеет степеней свободы. Другой метод решения, при­ водящий к тем же результатам, изложен в § 144.

При аналитическом методе расчета условие равновесия состав­ ляют в виде (100). Для этого выбирают координатные оси, связанные с телом, которое при возможных перемещениях системы остается неподвижным. Затем вычисляют проекции всех активных сил на выбранные оси и координаты xh, yh, zh точек приложения этих сил, выра&ая все координаты через какой-нибудь параметр (например, угол). После этого величины 6xh, byk, 6zh находятся дифференциро­ ванием координат xh, yh, zk по этому параметру.

Если все координаты xh, yh, zh выразить через один параметр сразу не удается, то надо ввести несколько параметров, а затем установить зависимость. между ними.

Отметим в заключение, что условиями (99) или (100) можно пользоваться для решения задач и при наличии трения, включая силу трения в число активных сил. Этим же путем можно находить реакции связей, если, отбросив связь, заменить ее соответствующей реакцией, включить последнюю в число активных сил и учесть, что после отбрасывания связи у системы появляется новая степень свободы.

Задача 164. В механизме, изображенном на рис. 354, найти зависимость

возможное перемещение, то все диагонали параллелограммов, образованных

(рис. 355). Трение катков о плоскость и бревно обеспечивает отсут­ ствие скольжения.

F 6sB— Q sin a -6 sg — 2Я Sin a - 6sc — О,

где 6SB — возможное перемещение бревна, совпадающее с перемеще­ нием точки В.

Точка касания К является мгновенным центром серостей катка. Следова­ тельно, vB~ 2vc и &sg=26sc , если считать 6sB—vgdt, 6sc = v c dt, Подставляя это значение 6sg в предыдущее уравнение, найдем окончательно

Р=(<Н~Я) sin a.

363

Задача 106. Найти зависимость между моментом М пары, действующей на

кривошип кривошипно-ползунного механизма (рис. 356), и силой давления Р на поршень при равновесии, если ОА—т, A B = l, Z ЛОВ=<р,

матическая задача была решена ранее (см. § 57, задача 63). Пользуясь/ получен­ ным там результатом, находим

Задача 167. Для редуктора, рассмотренного в задаче 83 (см. § 70), найти за­ висимость между'вращающим моментом МА, приложенным к ведущему валу А,

будет таким же, как пои равновесии. Следовательно, по условию (99), если по* ложить 6<p/)= o )/d /, бфд— wad/, будет:

М А = (в>в/®д) М д = (Пд/ПА) М д = 2,8Мд.

Задача 168. Найти зависимость между силами Р и Q в подъемном механизме, детали которого скрыты в коробке К (рис. 357), если известно, что при каждом повороте рукоятки А В (АВ=1) винт D выдвигается на величину Л.

Р е ш е и и е. Составляя условие равновесия (99), получаем

Р1&РАВ—Q6*0= 0.

Предполагается, что при равномерном вращении рукоятки винт вывинчи­ вается также равномерно, тогда

Подставляя это значение бфдя в предыдущее равенство, находим

Q=2nlPlh.

Заметим, что методами геометрической статики эту несложную задачу вообще нельзя было бы решить, так как детали механизма не известны.

Решенная задача показывает, каковы (принципиально) возможности при­ мененного метода. Но при конкретном инженерном расчете подобного механизма

необходимо будет, конечно, учесть трение между его деталями, для чего понадо­ бится знать, каков механизм,

364

Задача 169. Балка, состоящая из двух брусьев, соединенных шарниром С, несет нагрузку Я (рис. 358, а). Размеры балки и расположение опор показаны на чертеже. Определить силу давления на опору В, вызываемую заданной на­ грузкой.

Р е ш е н и е . Отбрасываем опору В и заменяем ее реакцией N g, численно равной искомой силе давления (рис. 358, б). Сообщив системе возможное пере­ мещение (у нее теперь появилась одна степень свободы), составляем условие (99)

NB 6sB— P 6sB= 0 .

Связь между 6sg и 6s£ находим из пропорций:

! ? - £ •

Следовательно,

Л Ь -Р а/А уЯ .

При применении метода геометрической статики решение оказалось бы более длинным (пришлось бы рассмотреть равновесие частей балки и ввести дополни­ тельно реакции других связей, а затем исключить эти реакции из полученной системы уравнений равновесия).

Задача 170. Горизонтальный брус 1 весом Я>, закрепленный в точке А шарниром (рис. 359), соединен шарниром В с брусом 2 весом Я,; концом С брус опирается на горизонтальный пол, образуя с ним угол а. Определить, при каком значении силы трения бруса о пол система будет в равновесии.

Р е ш е н и е . Изображаем действующие на систему силы f>lt Pt и силу тре­ ния F, включая ее в число активных сил; при этом силу Я , разлагаем на две составляющие, равные Я,/2 каждая и приложенные в точках В я С (обращаем

365

внимание на этот прием, существенно облегчающий вычисление возможной работы).

Составляв условие равновесия (99) в учитывая формулы (101), волучвм, обозначив АВ=1,

—( / y / 2+ P a//2)6q>+Ffisc=0 -

Но, по аналогии с теоремой о проекциях скоростей двух точек тела, fences а=» = & в sin а, где 6sg=lbif. Тогда osc = l tg а -6<р и окончательна

F = 0,5 (PH -Я») ctg а.

Заметим, что методами геометрической статики в этой задаче составить только одно уравнение, из которого сразу найдется F, нельзя.

Задача 171. В планетарном механизме с дифференциальной передачей (см. § 70) на ось А независимо друг от друга насажены шестерня 1 радиусом rj и кривошип АВ, несущий на себе ось В шестерни 2 радиусом г. (рис. 360). На кривошип действует вращающий момент М, а на шестерни 1 в 2 — моменты со­ противлений Mi и Mt. HaAiH значения Л1, и Mt при равновесии механизма.

Р е ш е н и е . Механизм имеет две степени свободы, так хак в нем возможны два независимых перемещения: а) поворот кривошипа АВ при неподвижной шестерне У и б) поворот шестерни / при неподвижном кривошипе АВ. Сообщим сначала системе возможное перемещение, при котором шестерня 1 остается не* подвижной (рис. 360, а). Для этого перемещения уравнение (99) дает

Мбфдв—Afs6q>j=0 .

Но когда шестерня 1 неподвижна, точка касания шестерен будет мгновенным центром скоростей для шестерни 2 .Следовательно, i's= ‘‘V «- В тож е время Vg=

=Отсюда о у а= w^a(rl+ / p1) или ггЫр,—(/i-f гJflqUB и мы получаем

M»='VW/(rl+ r1).

Теперь сообщим системе другое, независимое от первого возможное пере­ мещение, при котором кривошип АВ неподвижен (рис. 360, б). Для этого пере­ мещения по условию (99) будет М1б<р1— —M,&pj=0. Но при неподвижном кри­

вошипе

условием равновесия (100). Беря начало в неподвижной точке А и проводя оси х н у , получим

Q ix 6 * i + Q j* 6* «+ Р * у 8уа= 0 , (а)

так как остальные проекции сил обращаются в нули.

Для нахождения бдс,, 6xt, бу, определим значения координат Х(, xt, у, точев приложения сил, выразив их через углы а и р . Получим, обозначая длины стерж­ ней через а и Ь:

хх—а cos а, хг—а cosa+ 2 b cosp, yj=fcslnp+asina .

Дифференцируя эти выражения, найдем:

Q ix^Q . «**=-<?. Р»„=-Р)

366

Подставляя это значение Оа в равенство (б) наИдем

2 Q.sin Р—Р ( cos р — ctg a sin р )= 0 ,

откуда

Р= 2 Q/(ctg Р — ctg a).

При угле Р, близком к а, сил* давления Р получается очень большой.

1 141. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики. С другой стороны, принцип Даламбера позволяет использовать метода! статики для решения задач динамики. Сле­ довательно, применяя эти два принципа одновременно, мы можем получить общий метод решения задач динамики.

Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложены идеальные связи. Если ко всем точкам системы кроме действующих на них активных сил F( и реакций связей Nh прибавить соответст­ вующие силы инерций F f= — mkak, то согласно принципу Даламбе­ ра полученная система сил будет находиться в равновесии. Тогда, применяя к этим силам принцип возможных перемещений, получим

2 Щ + 2 6Л2 + 2 6Л1 = 0.

Но последняя сумма по условию (98) равна нулю и окончательно будет:

системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех.сил инер­ ции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

Уравнение (102), выражающее этот принцип, называют о б щ и м у р а в н е н и е м д и н а м и к и . В аналитической форме уравне­

Уравнения (102) или (103) позволяют составить дифференциаль­ ные уравнения движения механической системы.

Если при этом система представляет собой совокупность какихнибудь твердых тел, то для составления уравнений нужно к дейст­ вующим на каждое тело активным силам прибавить приложенную

влюбом центре силу, равную главному вектору сил инерции, и пару

смоментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра (или одну из этих величин, см. § 134), а затем приме­ нить принцип возможных перемещений,

367

Задача 173. В центробежном регуляторе, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью о> (рис. 362),. вес каждого из шаров/£>, и D t равен р; а вес муфты CjC, равен Q. Пренебрегая весом стержней, определить угол а, если ODl= O D ,= />OB1=O B 2= B 1C1= B aC ,= 6. _ _ /

Р е ш е н и е . Присоединяем к активным силам p i,p t n Q* центробежные силы

инерции F" и 7 « (сила инерции муфты, очевидно, будет равна нулю) и составляем общее уравнение динамики, в виде (103). Тогда, вычисляя проекции всех сил на

6х1= 6 х * = —/s in а -6а, 6уа~ —61/1= / co sa -6a, бя »= —26sin a -6a .

Подставляя все найденные значения в уравнение (а), получаем

1—2pi sin о + 2 (p/g)/*«)* sin a сое a—2Qb sin a]6a=0.

Так как c o s a < l, то шары будут отклоняться, когда w*Xp/+Q6)g/p/*. С увеличением ш угол а растет, стремясь к 90° при о>-*-оо.

Рис. 363

Задача 174. В подъемнике, изображенном на рис. 363, к шестерне /.имею ­ щей вес Pi и радиус инерции относительно ее оси pi, приложен вращающий момент М . Определить ускорение поднимаемого груза 3 весом Q, пренебрегая весом веревки и трением в осях. Барабан, на который наматывается веревка, Жестко скреплен с другой шестерней; их общий вес равен Р „ а радиус инерции

относительно оси вращения р,. Радиусы шестерен равны соответственно и г., а радиус барабана г.

Р е ш е н и е . Изображаем действующую на систему активную силу Q и вра­ щающий моментам (силы и Рг работы не совершают); присоединяем к ним силу инерции груза F\ и пары с моментами М " и М ", к которым приводятся силы инер-

368

ции вращающихся тел (см. § 134). Эти величины по модулю равны:

Направления всех величин показаны на чертеже. Сообщая системе возмож­ ное перемещение и составляя уравнение ( 102), получим

— (Q + FS) 6sa+ (Л1 - M l) 6ф1- Л1!?6<ра = 0.

Выражая все перемещения через 6<ра, найдем, что

Окончательно уравнение движения примет вид

Входящие сюда величины е* и еа выразим через искомое ускорение (%. Учи­ тывая, что 6}, е2 связаны между собой так же, как и (Oj, wai получим:.

8a—fl|/r, ®1-"^а®2^1 ^ 3/^1.

В результате найдем окончательно

(гъ/гд M — r*Q

r*Q + plPt + (p lr l/ r l)P 1 IS

Задачу можно было бы решить и с помощью теоремы об изменении кинетиче­ ской энергии (см. §124).

Глава XXIX

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ

$ 142. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ И ОБОБЩЕННЫЕ СКОРОСТИ

Число координат (параметров), определяющих положение меха­ нической системы, зависит от количества точек (или тел), входящих в систему, и от числа и характера наложенных связей. Будем в дальнейшем рассматривать только системы с геометрическими связями (точнее только голономные системы). Как установлено в § 138, у такой системы число независимых координат, определяю­ щих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы. В качестве этих координат можно выбирать параметры, имеющие любую размерность и любой геометрический (или физический) смысл, в частности отрезки прямых или дуг, углы, площади и т. п.

Независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу степеней свободы системы и которые одно­ значно определяют ее положение, называют обобщенными координа­ тами системы. Будем обозначать обобщенные координаты буквой q. Тогда положение системы, имеющей s степеней свободы, будет опре­

Поскольку обобщенные координаты между собой независимы, то

также между собой независимы. При этом каждая из величий (105)

определяет соответствующее, независимое от других возможное перемещение системы.

Как при всяком переходе от одной системы координат к Другой, декартовы координаты xk, yk, zk любой точки рассматриваемой ме­ ханической системы можно выразить через обобщенные координаты зависимостями вида: xk= x k(qu qt, . . ., qs) и т. д. Следовательно,

и для радиуса-вектора rk этой точки, поскольку rh—xkl+ y kj+ z kk, тоже будет*

Пример 1. Плоский математический маятник (рис. 364) имеет одну степень сво­ боды (s= 1); следовательно, его положение определяется одной обобщенной коор­ динатой q. В качестве этой координаты здесь можно выбрать или угол (р, или дли­ ну S дуги АМ , или (так как движение происходит в одной плоскости) площадь о сектора ОАМ, указав во b c jx случаях положительное и отрицательное направле­ ния отсчета каждой из этих координат. Выбор в качестве обобщенной координаты абсциссы х точки М будет неудачным, так как эта координата не определяет поло­ жение точки М однозначно (при данном значении х маятник может быть отклонен­ ным от вертикали вправо или влево).

Если в качестве обобщенной координаты выбрать угол <р, то возможное пере­ мещение маятника получим, сообщив углу приращение 6q>. Декартовы коорди­ наты х н у точки М можно выразить через q> в виде x = l cos ф, y = l sin <р, где /=

= ОМ. Тогда, в соответствии с равенством (106), и7=7(<р).

Рис. 365

Пример 2. Двойной плоский маятник (рис. 365) имеет две степени свободы и в качестве обобщенных координат можно выбрать углы <р и ^(?1= ф , qt—'p). Эти углы

между собой независимы, так как можно изменять угол ф, сохраняя неизменным ф, и наоборот. Величины &р и определяют независимые Между собой возможные перемещения системы.* Выражения декартовых координат точек А н В через обоб-

_ * Считаем для сокращения записей наложенные связи стационарными (иначе

г* зависели бы еще от аргумента <). Вид окончательных уравнений (см. § 145) от

этого допущения не зависит и они будут справедливы и для нестационарных свя­ зей.

370