Динамика точки и системы / Тарг, Краткий курс теоретической механики

С помощью этой формулы можно найти предельную угловую скорость, при пре­ вышении которой маховику из данного материала грозит разрыв.

Задача 159. Однородный стержень АВ весом Р, закрепленный в точке А шарниром, отклоняют до горизонтального положения и отпускают без начальной скорости (рис. 348). Определить реакцию шарнира А как функцию угла ф.

Р е ш е н и е . Рассматривая стержень в произввльном положении, проводим оси Аху (перпендикулярйо стержню и вдоль стержня) и изображаем действующие

на стержень силу тяжести Р и реакции Х а . Уа - Пользуясь принципом Даламбера, присоединяем к этим силам силы инерции стержня, приведя их к центру А (см. § 134, п. 2). Тогда силы инерции будут представлены двумя составляющими

Rx и Rn главного вектора R" и парой с моментом Мд. При этом по формулам (89') и (91) модули этих составляющих и момента пары имеют значения:

где I — длина стержня; <о и е — его угловая скорость и угловое ускорение. Составляя для этой плоской системы сил уравнения равновесия ZF/,x=0,

Для определения величины ш, входящей в выражение /?", можно или проин­ тегрировать уравнение (в), или воспользоваться теоремой об изменении кинети­ ческой энергии. Избирая второй путь и учтя, что Т0= 0, получим: JАиР1%— ■=(Р//2) sin <р или (PPI3g)ai= PI sin <р, откуда

<|>*=(3g/t) sin ф.

При найденных значениях е и <о* равенства (а) дают:

R" = (ЗР/4) cos <р, ЛЯ = (ЗР/2)81пф.

Подставив эти величины в первые два из уравнений (б), найдем искомые реакции:

Х а =>0,25Р cos ф, К,» = 2,5Р sin ф.

В начальный момент времени (ф=0) X ,4=0,25Р , Y а —0. В мойеит, когда стержень проходит через вертикаль (ф=90°), Х д = 0 , Y A=2,5P,

Задача 160. Однородный стержень АВ длиной / и весом Р прикреплен шар­ ниром А к вертикальному валу, вращающемуся с угловой скоростью const

(рис. 349). Найти натяжение Т горизонтальной нити, удерживающей стержень под углом а к валу.

351

Р е ш е н и е. Пользуясь принципом Даламбера, присоединяем к действую­

щим на стержень внешним силам Я, Т, Х а , Y A силы инерции. Для каждого эле­ мента стержня с массой Дm центробежная сила инерции равна ДтаАс, где х — расстояние элемента от оси вращения Оу. Равнодействующая этих-распреде­ ленных по линейному закону параллельных сил (см. § 21) проходит через центр тяжести треугольника АВЕ, т. е. на'расстоянии h=(2//3) cos а от оси Ах. Так как эта равнодействующая равна главному вектору сил инерции *, то по фор­ муле (89)

Tl cos а —R 'h —Р (//2) sin а = 0 .

Подставляя сюда значения R* и й, найдем окончательно

sin a + 0 ,5 t g а ) .

Д р у г о е р е ш е н и е . Задачу можно решить, не пользуясь результатами §21, а вычисляя сумму моментов сил инерций относительно центра А непосред­ ственно путем интегрирования. Проведем вдоль стержня АВ ось А \. Для каж­ дого элемента d£ стержня с координатой | сила инерции будет oAtdm. Ее момент относительно центра Л равен —учРх&т. Тогда уравнение моментов'даст

н при предыдущем решении.

§ 136*. ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ОСЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА. УРАВНОВЕШИВАНИЕ ВРАЩАЮЩИХСЯ ТЕЛ

Рассмотрим твердое тело, вращающееся равномерно с угловой скоростью © вокруг оси, закрепленной в подшипниках А я В (рис. 350). Свяжем с телом вращающиеся вместе с ним оси Ахуг; преимущество таких осей в том, что по отношению к ним координаты центра масс и моменты инерции тела будут величинами постоянными.

Пусть на тело действуют заданные силы F[, F\, . , ., F*n. Обозначим проекции главного вектора всех этих сил на оси Ахуг через R‘x, RI, Rx (Rx=%Fix и т. д.), а их главные моменты относительно тех

• Из статики изв<?стно, что доя любой системы сил равнодействующая (если она существует) равна главному вектору этих сил._Следовательно, равнодейст­

вующая сил инерции, когда она существует, равна Ra, но при непоступательном

движении эта равнодействующая вообще не проходит через центр масс тела, что и имеет место в данном случае.

352

же осей — через Мех, М‘у, М г‘ [Mx= 2 m x(F‘k) и т. д.]; при этом, так как co=const, то Л1*=ч=0.

Для определения динамических реакций Х л , YA, ZA, Х в , Y B подшипников, т. е. реакций, возникающих при вращении тела, при­ соединим ко всем действующим на тело заданным силш и реакциям

Теперь, составляя согласно принципу Даламбера уравнения (88) в проекциях на оси Ахуг (или соответствующие им уравнения равно­ весия из § 30) и полагая АВ=Ь, получим

Х А ~h + R'x+ R" —0;

YA + YB+ Ry + Ку = 0;

-2д+ Я*+ R" — 0;

—Y J + Mi + M'^O-, Хд6 + Л1Л-Л1- = 0.

Главный вектор сил инерции R ”——тас, где т — масса тела [см. формулу (89)]. При <o=const центр масс С имеет только нормаль ное ускорение acn=u>*hc, где Лс -^ расстоя­

ние точки С от оси вращения. Следователь­ но, направление вектора R ■ совпадает с на­ правлением ОС. Вычисляя проекции R" на координатные оси и учитывая, что hccos а = х с, *csin а =ус, где хс н У с — ко­ ординаты центра масс, найдем:

/?£= /шо*Ас cos а = т(о*хс;

Ry = sin а = ггш>*ус; R%= 0.

Составляя такие выражения для всех точек тела, складывая их и вынося общин множитель за скобки, придем к равенствам:

ции *. Подставляя все найденные значения в равенства (92), полу* ЧИМ

х л + х в = — Rx— mxcи»; YA + Гв *= — flj—тусш \

ЛУ>= - M J — /„со*;

Уравнения (94) и определяют динамические реакции, действую­ щие на ось равномерно вращающегося твердого тела, если осью вращения является ось г.

Назовем статическими реакциями те значения реакций, которые дают уравнения (94), если в них положить (о=0. Как видно из урав­ нений (94), .динамические реакции могут вообще быть значительно больше статических, причем это зависит не только От значения со, но и от величин х с, Ус, 1*г> J Vt, характеризующих распределение масс тела по отношению к оси вращения Ог.

Однако из уравнений (94) видно, что наличие вращения не будет влиять на значения реакций подшипников А и В, если

Равенства (95) и (96) выражают условия того, что динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела, равны статичес­ ким реакциям или> как говорят, условия динамической уравновешен' ности вращающегося тела при его вращении вокруг оси г.

Условия (95) означают, что центр масс тела должен лежать на оси вращения, а условия (96) — что ось вращения должна быть главной осью инерции тела для начала координат А. При одновре­ менном же выполнении условий (95) и (96) ось Аг будет главной центральной осью инерции тела (см. § 104). Таким образом, динами­ ческие реакции, действующие на ось вращающегося тела, будут равны статическим, если ось вращения является одной аз главных централь­ ных осей инерции тела. Этот вывод остается справедливым и в слу­ чае, когда тело, вращается неравномерно.

Рассмотренная задача Позволяет одновременно уяснить механи­ ческий смысл величин J xz и J yz, а именно: центробежные моменты инерции J xt и J уг характеризуют степень динамической неуравно­ вешенности тела при его вращении вокруг оси г.

Динамическое уравновешивание вращающихся тел представляет собой важную техническую задачу, которая, как мы видим, сводит­ ся к определению главных центральных осей инерции тела. В § 104

* См. § 104, формулы (10). В равенствах (93) величины l x t, Jyt входят в вы­ ражения моментов центробежных сил инерций; этим можно объяснить появление термина «центробежный момент инерции».

354

дулю R*= tno^n= (Plg)baP. Так как силы Р и Я* лежат в плоскости Оуг, то реак­ ции подшипников лежат в этой же плоскости, т. е. имеют составляющие Y А, 1А

в точке А и VB в точке В. Тогда, составляя на основании принципа Даламбера для всех действующих сил и сил инерции уравнения равновесия в проекциях на оси у и г и уравнение моментов относительно центра А, получим:

R » - Y A - Y B= Q, ZA- P = О,

Y B-2h— Pb— R«h = 0.

рены два одинаковых стержня, расположенных в одной плоскости на расстоянии л друг от друга (рис. 352); длина каждого из стержней 21, а масса т. Пренебрегая действием сил тяжести, найти динамические давления на вал, если он вращается

дого из стержней равны по модулю

Fi=Fi=ml<£>t

и образуют пару, которая уравновешивается парой сил Х А, Хв . Моменты этих пар по модулю равны друг другу. Следовательно, X Ab=F”h, откуда

X А ^ Х в = Fih/b —

Пара все время расположена в плоскости Аху, вращающейся вместе с валома Задача 1вЗ. Коленчатый вал одноцилиндрового двигателя несет на себе дводинаковых маховика А и В радиусом г=0,5'м . Рассматривая щеки и шейку ко лена вала как груз массой т = 2 1 кг, на

xc = mh/M, Jxl = mhb.

Последний результат следует из того, что центробежный момент инерции системы равен сумме центробежных моментов инерции ее частей, а для маховиков и при­

мыкающих к ним частей вала центробежные моменты Jx l равны нулю (ось Ог — ось симметрии).

Тогда,' как видно из уравнений (97), для присоединяемых грузов, координаты

Так как грузы располагаются на ободах маховиков, то гд = 0 , гд—1 и хА—хв = —г (при знаке плюс уравнения не имеют решений, следовательно, грузы должны быть снизу). Решая уравнения, найдем:

тА = (l— b) hmftrl) = 4,8 кг, ptB —bhmftrt) = 3,6 кг.

Присоединение этих грузов делает систему уравновешенной, а ось Ог — главной центральной осью инерции (но не осью симметрии) тела.

356

Глава XXVIII

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

§ 137. КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ

Введенное в § 3 понятие о связях охватывает не все их виды. По­ скольку рассматриваемые ниже методы решения задач механики применимы вообще к системам не с любыми связями, рассмотрим вопрос о связях и об их классификации несколько подробнее.

Связями называются любого вида ограничения, которые нала­ гаются на положения и скорости точек механической системы и вы­ полняются независимо от того, какие на систему действуют задан­ ные силы. Рассмотрим, как классифицируются эти связи.

Связи, не изменяющиеся со временем, называются стационар­ ными, а изменяющиеся со с временем — нестационарными.

Связи, налагающие ограничения на положения (координаты) точек системы, называются геометрическими, а налагающие ограни­ чения еще и на скорости (первые производные от координат по вре­ мени) точек системы — кинематическими или дифференциальны­ ми*.

Если, дифференциальную связь можно представить как геомет­ рическую, т. е. устанавливаемую этой связью зависимость между скоростями свести к зависимости между координатами, то такая связь называется интегрируемой, а в противном случае — неинтегрируемой.

Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи на­ зывают связями голономными, а неинтегрируемые дифференциаль­ ные связи — неголономными.

По виду связей механические системы тоже разделяют на голономные (с голономными связями) и неголономные (содержащие неголономные связи).

Наконец, различают связи удерживающие (налагаемые ими огра­ ничения сохраняются при любом положении системы) и неудержи­ вающие, которые этим свойством не обладают (от таких связей, как говорят, система может «освобождаться»). Рассмотрим примеры.

1.Все связи, рассмотренные в § 3, являются геометрическими (голономными)

ипритом стационарными. Движущийся лифт, изображенный на рис. 271, а, будет для лежащего в нем груза, когда положение груза рассматривается по от­ ношению к осям Оху, нестационарной геометрической связью (пол кабины, реали­

зующий связь, изменяет со временем свое положение в пространстве).

2. Положение катящегося без скольжения цилиндра (см. рис. 328) определяется координатой хс его центра С и углом поворота 9 . При качении выпол­ няется условие uc“*^ti> или ic —Лф. Этодифференциальная связь, нополученное уравне-

* По существу геометрические связи являются одновременно и кинематиче­ скими, так как продифференцировав уравнения, которым при геометрических связях должны удовлетворять координаты системы, найдем, что скорости при этом тоже связаны определенными зависимостями (см. ниже в примерах п. 2).

357

ние интегрируется и дает xc= R ff, т. е. сводится к зависимости между координа­ тами. Следовательно, наложенная связь годономная.

Заметим, что эту связь можно сразу считать геометрической, подчиняющей координаты зависимости xc=R<f. Но тогда отсюда найдем, что одновременно

и Х£=Яя>, т. е. что связь является и кинематической, 3. В отличие от цилиндра для шара, катящегося без скольжения пошерохова-

той плоскости, условие того, что скорость точки шара, касающейся плоскости, равна нулю, не может быть сведено (когда центр шара движется не прямолинейно) к каким-нибудь зависимостям между координатами, определяющими положение шара. Эго пример неголономной связи. Другой пример дают связи, налагаемые на управляемое движение. Например, если на движение точки (ракеты) нала­ гается условие (связь), что ее скорость в любой момент времени должна быть на­ правлена в другую движущуюся точку (самолет), то это условие к хакой-нибудь зависимости между координатами тоже не сводится и связь является неголо* номной.

4. В 9 3 связи, показанные на рис. 10—12, являются удерживающими, а на рве. 8 и 9 — иеудержявающими (на рис. 8 , а шарик может покинуть поверх­

$ <38. ВОЗМОЖНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ СИСТЕМЫ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Эффект механических связей можно учитывать, не только вводе их реакции, как это до сих пор делалось, но и рассматривая те пере-, мещения, которые точки механической системы могут иметь при на­ ложенных на нее связях. Такой путь позволяет сразу получать урав­ нения равновесия или движения системы, не содержащие наперед неизвестных реакций связей, что существенно облегчает решение многих задач механики.

Перемещения, о которых сказано выше, называют возможными

(или виртуальными) перемещениями. Они должны удовлетворять двум условиям: 1) быть элементарными, так как при конечном пере* мещении система может прийти ‘в положение, где эффект наложен­ ных связей будет другим; 2) быть такими, чтобы все наложенные в данный момент времени на систему связи сохранялись, иначе может измениться вид рассматриваемой механической системы.

Например, в кривошипно-полэунном механизме, изображенном ниже на рис. 356 (см. § 140), перемещение из показанного положения в положение, при котором <р=0 , нельзя рассматривать как возможное, так как при <р= 0 эффект наложенных связей будет другим, что, в частности, изменит условие равновесия

механизма под действием силы Р и пары с моментом М. Точйо так же нельзя считать возможным даже элементарное перемещение точки В шатуна вдоль ли­ нии АВ; оно было бы возможным, если в точке В вместо ползуна была бы качаю* щаяся муфта (рис. 161 в $ 57, муфта Q , т. е.' когда механизм был бы другим.

Таким образом, возможным-перемещением механической системы будем называть любую совокупность элементарных перемещений то­ чек этой системы из занимаемого в данный момент времени положе­ ния, которые допускаются всеми наложенными на систему связями.

При этом под допускаемыми в случае неудерживакнцих связей будем понимать те возможные перемещения, при которых связи сохраня­ ются (точки системы от связей не «освобождаются»).

35»

_ В дальнейшем следует различать действительное перемещение

dr движущейся точки, которое она совершает за элементарный про­ межуток времени d/, и возможное перемещение, которого точка не совершает, а только могла бы совершить, не нарушая наложенных на нее в данный момент времени связей.

Чтобы учесть это различие, будем возможное перемещение точки Обозначать символом бг * и изображать соответствующим элемен­ тарным вектором. При этом 6s будет обозначать модуль бг (6 s= |бг|), а бх, Ьу, Ьг — проекции Ьг на координатные оси; эти проекции рав­ ны элементарным приращениям координат точки при ее возможном перемещении и формально вычисляются так же, как дифферен­ циалы.

Отметим, что при стационарных связях действительное переме­

щение dr любой точки системы, которое тоже должно допускаться наложенными связями, совпадает с одним из возможных перемеще­

ний бг. При нестационарных связях dr ни с одним из возможных перемещений не совпадает.

Поясним это на приведенном в § 137 примере нестационарной связи (груз в лифте, см. рис. 271, а). Здесь для груза бг направлено вдоль А В , a dг слагается из перемещения вдоль АВ и перемещения вместе с лифтом, равного vAt_(v — ско­ рость лифта) и направленного перпендикулярно АВ; следовательно, dr образует

сАВ какой-то угол и ни с одним из бг совпасть не может.

Вобщем случае механическая система может иметь множество различных возможных перемещений. Однако для любой из систем, которые нами будут рассматриваться, можно указать некоторое число таких независимых между собой перемещений, что всякое

другое возможное перемещение может быть через них выражено. Например, для точки, находящейся на какой-нибудь плоскости

(поверхности), любое возможное перемещение бг вдоль этой плоско* сти можно выразить через два взаимно перпендикулярных перемеще­

ния 6rx и бга в виде бг=абг1+6бг1, где a n b — любые положитель­ ные или отрицательные числа.

Число независимых между собой возможных перемещений механи­ ческой системы называются числом степеней свободы этой системы.

Следовательно, точка, находящаяся на плоскости, имеет две сте­ пени свободы; одновременно ее положение на плоскости определя­ ется двумя независимыми координатами (координатами, каждая из которых может изменяться независимо от другой), например коор­ динатами х и у. Свободная материальная точка имеет три степени свободы (независимыми будут три возможных перемещения вдоль трех взаимно перпендикулярных осей); одновременно положение тйчки определяется тремя независимыми координатами х, у, г и •>. д.

Этот результат оказывается общим, т. е. у механической систе­ мы с геометрическими связями число независимых координат, опре­

* В математике символом «d» обозначается, как известно, дифференциал, а символом «6» обозначают так называемую вариацию функции.

359

деляющих положение системы, совпадает с числом ее степеней сво­ боды. Поэтому у такой системы число степеней свободы можно опре­ делять как по числу независимых возможных перемещений, так и по числу независимых координат. Так, у кривошипно-ползунного механизма (см. ниже рис. 356) одна степень свободы (у него одно не­ зависимое возможное перемещение, например поворот кривошипа ОА, и одна независимая координата, например уголф). У свобод­ ного твердого тела шесть степеней свободы (независимых перемеще­ ний — три поступательных вдоль координатных осей и три поворо­ та вокруг этих осей, а независимых координат — три координат^ полюса и три угла Эйлера).

§ 139. ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Перейдем к рассмотрению еще одного принципа механики, кото­ рый устанавливает общее условие равновесия механической систе­ мы. Под равновесием (см. § 1) мы понимаем то состояние системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил находятся в покое по отношению к инерциальной системе отсчета (рассматри­ ваем так называемое «абсолютное» равновесие). Одновременно бу­ дем считать все наложенные на систему связи стационарными и специально это в дальнейшем каждый раз оговаривать не будем.

Введем понятие о возможной работе, как об элементарной работе, которую действующая на материальную точку сила могла бы совер­ шить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением

этой точки. Будем возможную работу активной силы F* обозначать символом 6Л* (6Ла= Р -бл), а возможную работу реакции N связи —

символом 6Ar(6Ar= N фг).

Дадим теперь общее определение понятия об идеальных связях, которым мы уже пользовались (см. § 123): идеальными называются связи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любом

Приведенное в § 123 и выраженное равенством (52) условие иде­ альности связей, когда они одновременно являются стайионарными, соответствует определению (98), так как при стационарных связях каждое действительное перемещение совпадает с одним из возможных. Поэтому примерами идеальных связей будут все при­ меры, приведенные в § 123.

Для определения необходимого условия равновесия докажем, что если механическая система с идеальными связями находится

360