
- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Математический анализ.
- •1. Матрицы и действия над ними
- •2. Определители 2 ого и 3го порядка
- •3. Миноры и алгебраические дополнения.
- •4. Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы
- •1. Метод присоединенной матрицы
- •2. Метод элементарных преобразований
- •5. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Крамера.
- •6. Mетод Гаусса-Жордана.
- •7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •8. Линейная балансовая модель
- •9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектора. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов.
- •11. Cкалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в заданном отношении.
- •15. Координатные уравнения прямой в пространстве.
- •16. Координатные уравнения прямой на плоскости.
- •17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •18. Координатные уравнения плоскости.
- •19. Общие уравнения прямой в пространстве.
- •2 0. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •21. Линии второго порядка( эллипс, гипербола, парабола)
- •22. Поверхности второго порядка
- •1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.
- •2. Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)
- •4. Первый замечательный предел.
- •5.Второй замечательный предел.
- •6. Бесконечно-большие и бесконечно‑ малые функции. Сравнение бесконечно‑малых функций. Асимптотические формулы.
- •7. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •8. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9. Понятия сложной и обратной функций.
- •10. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной.
- •11. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •12. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
- •13. Понятие дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного.
- •14. Производные постоянной, тригонометрических и логарифмической функций.
- •15. Производные обратной и сложной функций.
- •16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.
- •17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.
- •18. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
- •20. Теоремы Ферма и Ролля.
- •21. Теоремы Лагранжа и Коши.
- •22. Теорема Лопиталя.
- •23. Теорема Тейлора.
- •24. Признак монотонности. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
- •25. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.
- •26. Необходимое условие наличия точки перегиба, достаточное условие наличия точки перегиба.
- •27. Асимптоты графика функции.
- •28. Комплексные числа и действия над ними.
- •29. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •30. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня. Формулы Эйлера.
- •Формулы
22. Поверхности второго порядка
-
это поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат задается
уравнением:
Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0
Эллипсоид
– поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат имеет
вид:
+
= 1
Р
ассечём
поверхность || xOy
сечением z
= h
(h
> 0):
+
= 1
=
1 -
*
→
+
= 1
+
= 1 - эллипс
a1
b1
в
сечении получаются эллипсы, если:
1)
|h|
< |c|
- эллипс
2)
|h|
> |c|
- мнимые эллипсы (на поверх. не сущ.)
3)
|h|
= |c|
- две точки (0; 0; -С) и (0; 0; С)
! аналогично
для сечений x
= h;
y
= h
. В сечении получ. точки, эллипсы и мнимые
эллипсы:
Однополостный
гипербалоид
-наз.
поверхность в некоторой ДСК, имеющая
вид:
-
= 1 рассечём поверхность || xOy
сечением z
= h
> 0:
a1
= a
;
b1
= b
h
→∞ (h
стремится к бесконечности)
a1
→∞ ; b1
→
эллипсы при z
= h
при x
= h
> 0
-
= 1
+
= 1→
-
= 1
b1
c1
в сечении получается гиперб.
1)
Если |h|
< |a|
- гипербола
2) Если |h|
> |a|
- мнимые гиперболы
3) Если |h|
= 0 - две прямые y
=
я
! аналогично, для сечения y
= h
> 0, в сечении получаются
гиперболы
Двухполостный
гиперболоид
-наз.
поверхность, которая в некоторой ДСК
имеет вид:
-
= -1
при
z
= h
> 0, если
1) |h|
< |с| - мнимые эллипсы
2) |h|
> |с| - эллипсы
3) |h|
= |с| - две точки (0; 0; -С) и (0; 0; С)
при x
= h
и x
= h
(h>0)
гиперболы
Эллиптический
параболоид
-наз.
поверхность, которая в некоторой ДСК
имеет вид:
= z
при z
= h
> 0
= 1 - эллипс
1) Если |h|
> 0 - эллипс
2) Если |h|
< 0 - мнимый эллипс
3) Если |h|
= 0 - точка (0; 0; 0)
п y
= h
> 0 y2
= 2pz
- парабола
при x
= h
> 0 x2
= 2pz
- парабола
Гиперболический
параболоид
-наз.
поверхность, которая в некоторой ДСК
имеет вид:
= z
при
z
= h
> 0 получ. гиперболы
при x
= h
> 0 получ. параболы
при y
= h
> 0 получ. параболы
Конус
второго порядка
-наз.
поверхность, которая в некоторой ДСК
имеет вид:
-
= 0
при
z
= h
z
= h
> 0 - эллипсы
z
= h
= 0 - точка (0; 0; 0)
z
= h
< 0 - эллипсы
при x
= h
= 0
-
= 0 и
+
= 0 - 2 прямые при y
аналогич. как x
Математический анализ.
1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.
Множество – неопределенное понятие в математике, совокупность, набор, семейство некоторых объектов Операции над множествами:
1.Объединением
(или суммой) множеств А и В называется
множество, состоящее из элементов,
каждый из которых принадлежит хотя бы
одному из этих множеств.
2. Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В.
3.Разностью
множеств А и В называется множество С,
состоящее из всех элементов множества
А, которые не принадлежат множеству В.
4.
Множество
X
называется ограниченным
сверху(снизу),
если существует такое число С, что для
любого
выполняется
неравенство x ≤ C
(x
≥ C).
Множество, ограниченное и сверху, и снизу называется ограниченным. Ограниенное множество имеет бесконечно много верхних(нижних) граней.
Наименьшее из чисел, ограничивающих множество X сверху, называется точной верхней гранью данного множества. (sup X)
Наибольшее из чисел, ограничивающих множество X снизу, называется точной нижней гранью данного множества. (inf X)
Абсолютная
величина числа–величина, определяемая
след. обр.:
Свойства:
|
|
4. Док-во: +
|
5. Док-во:
6.
|
Функция
– если каждому элементу х сопоставлен
только 1 элемент из множества у, то в
этом случае задано отображение х от
множества у или определена функция на
множестве х со множеством значений во
множестве у.
Способы задания:
1.
табличный
2. графический
3.
аналитический
4. вербальный
(словесный)
Функция задана явно,
если она имеет вид y=f(x)
y=x2
неявно,
если она имеет вид F(x;y)=0
x2
+y2
=R2
Классификация
функций:
1. простейшие функции
С-const
- постоянная, ax+b
- линейная, xn-
степенная, ax
-
показательная
,(1
a>0)
y=
– логарифмическая, y=
;
y=
;
y=
;
y=ctg
x
– тригонометрическая y=
;
y=
y=
;
y=arcctg
x
– обратная тригонометрическая
2.
Элементарная функция – функция полученная
с помощью четырех арифметических
действий, а так же операций взятия
функции от функции. (
)
3.
Целые алгебраические функции:
4.
Дробно-рациональные функции:
5.
Иррациональные функции.
(
)
6.
Функция не являющееся дробно-рациональной
или рациональной называются трансцендентной.