9.​ Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектора. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.

Вектор – направленный отрезок Длина вектора – расстояние между нач и концом Вектор арифметический – упорядоченная последовательность из чисел Коллинеарные – если они лежат на параллельных прямых или на 1 прямой Компланарные – если они лежат параллельных плоскостях или лежат на одной плоскости Равные – коллинеарны, сонаправленны и равны по длине Свободные – с ними работает математика Связанные – физика и механика

Прямоугольная система координат в пространстве устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точкой и пространства и упорядочивается тройкой чисел. оси: Ох – абсцисса; Оy – ордината; Ох – апликат; Вектор – это направленный прямолинейный отрезок. Виды: коллинеарные ( ), равные (|A|=|B|, , одинак. направ.), компланарные (aϵφ, bϵφ или aϵφ, bϵβ, β||φ). латынь: ко – со; планер – плоскость; линеал – прямые проекция вектора на ось

П роекция вектора AB на ось l назыв. отрезок A₁B₁ взятый со знаком плюс, если вектор совпад. с направлением осью, и минус если нет. Проекции вектора на ось положительны (отриц), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, этот угол – прямой. Проекции векторов на одну и ту же ось равны между собой. Направляющими косинусами вектора а=(x;y;z) наз. косинусы углов α, β, γ, образуемых вектором а с осями координат. найдите cosα, где α-угол между вектором а(x,y,z) и единичным вектором (ортой) i=(1;0;0) по формуле:

ТЕОРЕМА: проекция вектора на некоторую ось = длине этого вектора*cos угла между вектором и осью A’B’=| |cos угла

Направляющие косинусы вектора: так как d² = a² +b² +c²

²= | |² =ax² +ay² +az² cosa=ax\sqrt(ax² +ay² +az² )

cosb=ay\sqrt(ax² +ay² +az² )

cosc=az\sqrt(ax² +ay² +az² )

10.​ Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов.

П од линейные операции над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

	правило треугол-ка	пр. параллелограмма	пр. сложения 3-х векторов

П од разностью векторов a и b понимается вектор с=а-b такая, что b+c=a (AC=a+b; BD=a-b) Произведение вектора а на скаляр (число) λ назыв. вектор λа, который имеет длину |λ| |a|, коллинеарен вектору а, имеет направ. а, если λ>0 и противоположен, если λ<0. Теоремы о проекциях векторов.

1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на cosφ (вект. и осью) → пр_ia=|а|cos cos(π-φ) = -cosφ 2. Проекция суммы векторов равна сумме их проекции. 3. Если вектор умножить на число, то проекция тоже умнож. на число. Линейная зависимость векторов. Выр-ие вида λ₁А₁+ λ₂А₂+…+ λ_nА_n=0 назыв. линейной комбинацией векторов А₁, А₂, …, А_n с коэф. λ₁, λ₂, …, λ_n. Система векторов А₁, А₂, …, А_n назыв. линейно зависимой, если сущ. ненулевой набор чисел λ₁, λ₂, …, λ_n при котором линейная комбинация векторов λ₁А₁+ λ₂А₂+…+ λ_nА_n=0 имеет ненулевое решение.

Задав по своему усмотрению значения свободной переменной х3=1, получаем частное ненулевое решение х=(-3;2;1) -3А1+2А2+1А3=0

Базис – совокупность n линейно-независимых векторов n-мерного пространства R