11. Cкалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
Скалярное
произведение векторов а, b
назыв. число равное произведению длин
этих векторов на cos
угла между ними. a•b
= |a|•|b|
cos(a;b)
Свойства
скалярного произведения:
a•b
= b•a
;
a•b
= 0 ↔ a
b
; - справедливо обратное
λab
= aλb
;
a(b+c)
= ab+ac
дистрибутивность
Выражение скалярного
произведения через координаты: пусть
а=axi+ayj+azk
и
b=bxi+byj+bzk. a•b=axbx+ayby+azbz
(I,
j,
k
– орты)
Cледствия: 1.cos(a;b)= (axbx+ayby+azbz )\|a|*|b|(векторы)
2.
перпендикулярен
,
(axbx+ayby+azbz
)=0
3. =λ
i*j=i*k=k*j=0
Скалярное
произведение векторов равно сумме
произведений их одноименных координат
.
12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
Т
ри
некомпланарных вектора а,
b
и с,
взятые в указанном порядке, образуют
если с конца третьего вектора с
кратчайший поворот от первого вектора
а
ко второму вектору b
виден совершающимся против часовой
стрелки, и левую, если по часовой.
Векторным произведением вектора а
на вектор b
наз. вектор с,
который:
- который перпендикулярен
векторам а
и
b,
т.е с
а
и с
b;
- имеет длину, численно равную площади
параллелограмма, построенного на
векторах а и b
как на сторонах, т.е |c|=|a|•|b|
sin(а;b);
- векторы
a,
b,
c
образуют правую тройку.
|
Свойства: 1. a * b = -(b x a); 2. a * b=0, при а||b;коллинеарны 3. a * (b+с)=a* b + a* с – обладает свойствами ассоциативности и дистрибутивности 4.|a*b|=S параллелограмма, построенного на этих векторах |
Выражение через координаты векторов. Пусть заданы своими координатами а=axi+ayj+azk и b=bxi+byj+bzk. |
|
13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
С
мешенным
произведением векторов а,
b,
c
называют скалярное
произведение
вектора а на векторное
произведение b
и c
a•(b*c)=a•b•c
Смешанное
произведение трех векторов равно объему
параллелепипеда, построенного на этих
векторах, взятому со знаком «+», если
эти векторы образуют правую тройку, и
со знаком «-», если они образуют левую
тройку.
a•b•c= |
a•(b*c)= |a|•|b•с| cos(a;b•с)= =|a|•|b|•|с| sin(b;c) cos(a;b•с)=Sh |
Свойства: 1. (axb)•c=(сxа)•b;
2.
a•b•c
= -a•c•b
= -b•a•c
= -c•b•a;
3.
a•b•c=0,
то a,
b,
c
– компланарны.
Выражение
смешанных произ-ий через коорд.
а=(ax;ay;az),
b=(bx;by;bz),
с=(сx;сy;сz)
Двойное векторное произведение: это векторное произведение вектора а на векторное произведение векторов в и с a*(b*c)= b•(a*c)-c•(a*b) (бац и цаб)
14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в заданном отношении.
Т
ребуется
найти множество радиус векторов прямой,
проходящей через точки А и В, если дан
полюс О, радиус а (rA)
и радиус b
(rB)
AB=rB-rA;
rm-?;
точка М будет принадлежать прямой АВ,
когда МϵАВ; АВ и АМ – коллинеальны; rm=
rA+АМ;
rm=
rA+t
а;
rA
– нач. вект. прямой; а – направл. вект.
прямой;
Геометрический смысл параметра
t
состоит в следующем:
Т
ребуется
разделить отрезок АВ соед. точки А(х1;y1)
и В(х2;y2)
в заданном отношении λ>0,
т.е. найти координаты точки М(х;y)
отрезка АВ такой, что АМ/МВ=
λ
АМ=(х-х1;
у-у1)
ВМ=(х2-х;
у2-у) 
(х-х1)i+
(у-у1)j=
λ(х2-х)i+
λ(у2-у)j
Учитывая,
что равные векторы имеют равные
координаты:
формула деления отрезка дан.отнош.
при λ=1 АМ=МВ; λ=0 А и В совп.; λ≠1 в против. случае АМ/МВ=-1, т.е. АМ+МВ=0 → АВ=0