3. Миноры и алгебраические дополнения.

- определитель (n-1) порядка, полученный путем вычеркивания i-той строки и j-того столбца. Алгебраическое дополнение элемента аij А – минор этого элемента, умноженный на (-1)^j+i , если сумма строк и столбцов четная, то со знаком +, а если нечетная, то –

4. Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы

1. Метод присоединенной матрицы

- квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если ее определитель не равен 0, вырожденная – определитель равен 0. Если матрица квадратная и неособенная, то существует единственная А^-1 (обратная) такая, что А^-1 *А=Е(единичная матрица)

A^V – наз. присоед., если она составлена из алгебр. дополнений элементов этой матрицы

пример : A=

– взаимная матрица, если явл. транспонированной присоединённой матрицы : =(АV)T

Формула обратной матрицы

Свойства невырожденной матрицы: 1. |A^-1|=1\|A| 3. (А^m )^-1 =(А^-1 )^m 5. (А^-1 )’=)А(A’)^-1 2. (А^-1 )^-1 =А 4. (АВ)^-1 =В^-1 *А^-1

2. Метод элементарных преобразований

- это сложение с элементами другой строки или умножение строки на число (А|E) -> (E|A^-1 )

5. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Крамера.

Система уравнений – это конечное множество уравнений. СЛАУ наз. система вида

a11x1+a12x2+a13x3+…+a1n хn=b1 a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2 ……………………………… am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn=bm

cовместная − имеет хотя бы одно решение не совместная − не имеет решений определенная – сист-а имеет единич. решение неопределенная − имеет более одного решения

Решением системы уравнений является вектор, образующий данное уравнение в тождество (равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных) (верное при любых х)

Теория Крамера Если дана система с n уравнениями и n неизвестными, причем определ. матрицы (системы) отличен от нуля, то система наз. невырожденной и у этой системы можно найти единственное решение по формуле:

Покомпонентный способ

- определитель, в котором вместо iтого столбца стоит столбец свободных членов

Матричный способ

Ax=B |*A^-1 A^-1Ax = A^-1B x=A^-1B (A^-1A = E = 1)

6. Mетод Гаусса-Жордана.

метод последовательного полного исключения переменных – заключается в том, что при помощи элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные Преобразования, которые можно выполнять: 1. умножать какое-либо уравнение на число

2. складывать какое-либо уравнение с любым другим, умноженным на число

3. переставлять уравнения если хотя бы один элемент из b отличен от 0, то система несовместна Если все элементы b равны 0, то система совместна Если число неизвестных>числа уравнений, то система имеет бесконечно много решений при ее совместности

Х1	Х2	Х3	Х4	b	∑
1 2 0	-1 3 -4	-1 -2 1	1 3 -4	-1 2 -1	-1 8 -8	-I(2)
1 0 0	-1 5 -4	-1 0 1	1 1 -4	-1 4 -1	-1 10 -8	+III
1 0 0	-1 1 -4	-1 1 1	1 -3 -4	-1 3 -1	-1 2 8	+II (4)+III
1 0 0	0 1 0	0 1 5	-2 -3 -16	2 3 11	1 2 0	-III(:5) (1/5)
1 0 0	0 1 0	0 0 1	-2 0,2 -3.2	2 0.8 2.2	1 2 0

Метод применяется для решения систем любого разряда в отличии от метода Кронекера-Капелли, является методом полного исключения этапа действия: сначала приводим к ступенчатому виду, далее идет последовательное определение неизвестных из этой ступен. системы.

x₁, x₂, x₃ – базисные x₄ -свободная переменная