
- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Математический анализ.
- •1. Матрицы и действия над ними
- •2. Определители 2 ого и 3го порядка
- •3. Миноры и алгебраические дополнения.
- •4. Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы
- •1. Метод присоединенной матрицы
- •2. Метод элементарных преобразований
- •5. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Крамера.
- •6. Mетод Гаусса-Жордана.
- •7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •8. Линейная балансовая модель
- •9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектора. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов.
- •11. Cкалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в заданном отношении.
- •15. Координатные уравнения прямой в пространстве.
- •16. Координатные уравнения прямой на плоскости.
- •17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •18. Координатные уравнения плоскости.
- •19. Общие уравнения прямой в пространстве.
- •2 0. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •21. Линии второго порядка( эллипс, гипербола, парабола)
- •22. Поверхности второго порядка
- •1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.
- •2. Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)
- •4. Первый замечательный предел.
- •5.Второй замечательный предел.
- •6. Бесконечно-большие и бесконечно‑ малые функции. Сравнение бесконечно‑малых функций. Асимптотические формулы.
- •7. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •8. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9. Понятия сложной и обратной функций.
- •10. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной.
- •11. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •12. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
- •13. Понятие дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного.
- •14. Производные постоянной, тригонометрических и логарифмической функций.
- •15. Производные обратной и сложной функций.
- •16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.
- •17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.
- •18. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
- •20. Теоремы Ферма и Ролля.
- •21. Теоремы Лагранжа и Коши.
- •22. Теорема Лопиталя.
- •23. Теорема Тейлора.
- •24. Признак монотонности. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
- •25. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.
- •26. Необходимое условие наличия точки перегиба, достаточное условие наличия точки перегиба.
- •27. Асимптоты графика функции.
- •28. Комплексные числа и действия над ними.
- •29. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •30. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня. Формулы Эйлера.
- •Формулы
3. Миноры и алгебраические дополнения.
- определитель
(n-1) порядка, полученный
путем вычеркивания i-той
строки и j-того столбца.
Алгебраическое
дополнение элемента аij
А – минор этого элемента, умноженный
на (-1)j+i
, если сумма строк и столбцов четная,
то со знаком +, а если нечетная, то –
4. Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы
1. Метод присоединенной матрицы
- квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если ее определитель не равен 0, вырожденная – определитель равен 0. Если матрица квадратная и неособенная, то существует единственная А-1 (обратная) такая, что А-1 *А=Е(единичная матрица)
|
|
AV – наз. присоед., если она составлена из алгебр. дополнений элементов этой матрицы
пример
: A= |
|
Формула
обратной матрицы
Свойства невырожденной матрицы: 1. |A-1|=1\|A| 3. (Аm )-1 =(А-1 )m 5. (А-1 )’=)А(A’)-1 2. (А-1 )-1 =А 4. (АВ)-1 =В-1 *А-1
2. Метод элементарных преобразований
-
это сложение с элементами другой строки
или умножение строки на число
(А|E)
-> (E|A-1
)
5. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Крамера.
Система уравнений – это конечное множество уравнений. СЛАУ наз. система вида
|
a11x1+a12x2+a13x3+…+a1n хn=b1 a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn=b2 ……………………………… am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn=bm |
cовместная − имеет хотя бы одно решение не совместная − не имеет решений определенная – сист-а имеет единич. решение неопределенная − имеет более одного решения |
Решением системы уравнений является вектор, образующий данное уравнение в тождество (равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных) (верное при любых х)
Теория Крамера Если дана система с n уравнениями и n неизвестными, причем определ. матрицы (системы) отличен от нуля, то система наз. невырожденной и у этой системы можно найти единственное решение по формуле:
Покомпонентный способ
- определитель, в котором вместо iтого
столбца стоит столбец свободных членов
Матричный способ
Ax=B |*A-1 A-1Ax = A-1B x=A-1B (A-1A = E = 1)
6. Mетод Гаусса-Жордана.
метод последовательного полного исключения переменных – заключается в том, что при помощи элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные Преобразования, которые можно выполнять: 1. умножать какое-либо уравнение на число
2. складывать какое-либо уравнение с любым другим, умноженным на число
3. переставлять уравнения если хотя бы один элемент из b отличен от 0, то система несовместна Если все элементы b равны 0, то система совместна Если число неизвестных>числа уравнений, то система имеет бесконечно много решений при ее совместности
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
b |
∑ |
|
1 2 0 |
-1 3 -4 |
-1 -2 1 |
1 3 -4 |
-1 2 -1 |
-1 8 -8 |
-I(2) |
1 0 0 |
-1 5 -4 |
-1 0 1 |
1 1 -4 |
-1 4 -1 |
-1 10 -8 |
+III |
1 0 0 |
-1 1 -4 |
-1 1 1 |
1 -3 -4 |
-1 3 -1 |
-1 2 8 |
+II (4)+III |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 1 5 |
-2 -3 -16 |
2 3 11 |
1 2 0 |
-III(:5) (1/5) |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
-2 0,2 -3.2 |
2 0.8 2.2 |
1 2 0 |
|
x1, x2, x3 – базисные x4 -свободная переменная