
- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Математический анализ.
- •1. Матрицы и действия над ними
- •2. Определители 2 ого и 3го порядка
- •3. Миноры и алгебраические дополнения.
- •4. Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы
- •1. Метод присоединенной матрицы
- •2. Метод элементарных преобразований
- •5. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Крамера.
- •6. Mетод Гаусса-Жордана.
- •7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •8. Линейная балансовая модель
- •9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектора. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов.
- •11. Cкалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в заданном отношении.
- •15. Координатные уравнения прямой в пространстве.
- •16. Координатные уравнения прямой на плоскости.
- •17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •18. Координатные уравнения плоскости.
- •19. Общие уравнения прямой в пространстве.
- •2 0. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •21. Линии второго порядка( эллипс, гипербола, парабола)
- •22. Поверхности второго порядка
- •1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.
- •2. Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)
- •4. Первый замечательный предел.
- •5.Второй замечательный предел.
- •6. Бесконечно-большие и бесконечно‑ малые функции. Сравнение бесконечно‑малых функций. Асимптотические формулы.
- •7. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •8. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9. Понятия сложной и обратной функций.
- •10. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной.
- •11. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •12. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
- •13. Понятие дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного.
- •14. Производные постоянной, тригонометрических и логарифмической функций.
- •15. Производные обратной и сложной функций.
- •16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.
- •17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.
- •18. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
- •20. Теоремы Ферма и Ролля.
- •21. Теоремы Лагранжа и Коши.
- •22. Теорема Лопиталя.
- •23. Теорема Тейлора.
- •24. Признак монотонности. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
- •25. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.
- •26. Необходимое условие наличия точки перегиба, достаточное условие наличия точки перегиба.
- •27. Асимптоты графика функции.
- •28. Комплексные числа и действия над ними.
- •29. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •30. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня. Формулы Эйлера.
- •Формулы
7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
это число =порядку минора, отличного от 0, если все миноры более высокого порядка равно 0 (наибольшее число матричных линейно независимых строк), порядок максимального минора ВСЕГДА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ
Свойства рангов: 1. при транспонировании не изменяется 2. если вычеркнуть нулевой ряд, то ранг не изменится 3. не меняется при элементарных преобразованиях 4. ранг канонической матрицы=числу единиц на гл.диагонали
пример:
Ранг матрицы — это наибольшее число ее линейно независимых строк.
План действий: необх. привести к ступен. виду, далее найти det, если ∆≠0, то ранг найден, если ∆=0, то нужно найти наим. алгеб. допол.
пример:
0*3+4=4≠0
rangA=2
Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы k-ого порядка, составленной из элементов матрицы А, которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется. k≤min(m,n)
Число
миноров порядка k может
быть вычислено как
,
где
- число сочетаний из p по k и
из n по k соответственно.
Для нахождения ранга существую методы: 1. элементарных преобразований – складывать строки, прибавлять к строке строку; умножать на число , переставлять строки и столбцы местами ЕСЛИ 2 СТРОКИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ, ТО М=0, ЕСЛИ ВСЕ МИНОРЫ = 0, ТО РАНГ=1
ЕСЛИ ЕСТЬ НЕНУЛЕВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, ТО РАНГ НЕ МЕНЕЕ 1
Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных алгебр. уравнений (СЛАУ) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
пример:
Таким образом, r(A)≠r(Ā), следовательно, система несовместна
Однородные системы уравнений Система алгебраических уравнение называется, если она имеет вид: Ax->=0 (произведение матрицы на столбец) При решении однородных система уравнений, согласно теореме Кроникера-Капели, если ранг равен n(количество неизвестных) (r=n), то нулевое решение системы является единственным; если r>n, то система неопределенная (имеет бесконечно много решений)
Если det системы уравнений отличен от 0, то решение тривиальное (нулевое); если det=0, то система имеет бесконечно много решений
8. Линейная балансовая модель
Цель балансового анализа ответить на вопрос, рассматриваемый в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удоблять все потребности в продвижении этой отрасли. Идея метода впервые появилась в ХХ годах в трудах сов. ученых и получил дальнейшее развитие в трудах Леонтьева. хi- общий (валовой) объем продукции i-й отрасли;
хij- объем продукции i-й отрасли, потребл. j-й отраслью в производстве
yi- объем конечного продукта i-й отрасли для непроизвод-ого потребления
В основе модели лежат 2 гипотезы(гипотезы линейности):
Если вектору плана соответствуют затраты, то вектору k
соответствует k
, k принадлежит R
(k)
->(k)
2.Если вектору плана соответствуют затраты z, то:везде векторы)
х1->z1 x2->z2 x1+x2->z1+z2