7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
это число =порядку минора, отличного от 0, если все миноры более высокого порядка равно 0 (наибольшее число матричных линейно независимых строк), порядок максимального минора ВСЕГДА ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ
Свойства рангов: 1. при транспонировании не изменяется 2. если вычеркнуть нулевой ряд, то ранг не изменится 3. не меняется при элементарных преобразованиях 4. ранг канонической матрицы=числу единиц на гл.диагонали
пример:
Ранг матрицы — это наибольшее число ее линейно независимых строк.
План действий: необх. привести к ступен. виду, далее найти det, если ∆≠0, то ранг найден, если ∆=0, то нужно найти наим. алгеб. допол.
пример:
0*3+4=4≠0
rangA=2
Минором k-ого порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы k-ого порядка, составленной из элементов матрицы А, которые находятся в заранее выбранных k строках и k столбцах, причем расположение элементов матрицы А сохраняется. k≤min(m,n)
Число
миноров порядка k может
быть вычислено как
,
где
- число сочетаний из p по k и
из n по k соответственно.
Для нахождения ранга существую методы: 1. элементарных преобразований – складывать строки, прибавлять к строке строку; умножать на число , переставлять строки и столбцы местами ЕСЛИ 2 СТРОКИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫ, ТО М=0, ЕСЛИ ВСЕ МИНОРЫ = 0, ТО РАНГ=1
ЕСЛИ ЕСТЬ НЕНУЛЕВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ, ТО РАНГ НЕ МЕНЕЕ 1
Теорема Кронекера-Капелли.
Система линейных алгебр. уравнений (СЛАУ) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.
пример:
Таким образом, r(A)≠r(Ā), следовательно, система несовместна
Однородные системы уравнений Система алгебраических уравнение называется, если она имеет вид: Ax->=0 (произведение матрицы на столбец) При решении однородных система уравнений, согласно теореме Кроникера-Капели, если ранг равен n(количество неизвестных) (r=n), то нулевое решение системы является единственным; если r>n, то система неопределенная (имеет бесконечно много решений)
Если det системы уравнений отличен от 0, то решение тривиальное (нулевое); если det=0, то система имеет бесконечно много решений
8. Линейная балансовая модель
Цель балансового анализа ответить на вопрос, рассматриваемый в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удоблять все потребности в продвижении этой отрасли. Идея метода впервые появилась в ХХ годах в трудах сов. ученых и получил дальнейшее развитие в трудах Леонтьева. хi- общий (валовой) объем продукции i-й отрасли;
хij- объем продукции i-й отрасли, потребл. j-й отраслью в производстве
yi- объем конечного продукта i-й отрасли для непроизвод-ого потребления
В основе модели лежат 2 гипотезы(гипотезы линейности):
Если вектору плана соответствуют затраты, то вектору k
соответствует k
,
k
принадлежит R
(k)
->(k)
2.Если вектору плана соответствуют затраты z, то:везде векторы)
х1->z1 x2->z2 x1+x2->z1+z2