15. Координатные уравнения прямой в пространстве.
(
0,
е1,
е2,
е3)
– система координат точки А1(х1;у1;z1)
А2(х2;у2;z2)
Коорд.
урав. прямой проходящей через А1А2:
ОМ=ОА1+tА1А2;
ОМ(х;у;z),
ОА1(х1;у1;z1),
А1А2(х2-х1;у2-у1;z2-z1)
→ А1А2(ax;ay;az)
Спроецируем
данное уравнение на оси координат: х=
х1+tax,
у= у1+taу,
z=
z1+taz
; параметрическое
уравнение прямой в пространстве:
каноническое ур-ие;
ур-ие прямой в пространстве
t=
16. Координатные уравнения прямой на плоскости.
(0, е1, е2) – система координат точки А1(х1;у1) А2(х2;у2).
1.
Коорд.
параметр. уравнение прямой.
Используя векторное
параметр.
уравнение прямой можно получить два
скалярных, а именно: |
4. Общее уравнение прямой. Ax+By+C=0 ay(x-x1)=ax(y-y1) → ayx-axy+axy1-ayx1=0 (A=ay; B=-ax; C= axy1-ayx1) n(A;B) – нормальный вектор прямой |
2. Канонические уравнения.
|
3.
Уравнение прямой проходящей
через 2 точки.
А(х1;у1),
В(х2;у2)
|
5.
Ур-ие прямой с угловым коэффиц.
y=kx+b
Ax+By+C=0→ |
6. Нормированное (нормальное) уравнение прямой. x cos +y sin -p=0; r(x;y) n(cos ;sin ); r•n=p → (x;y)( cos ;sin )=OP → x cos +y sin =OP |
7.
Уравнение прямой в отрезках на осях.
|
8.
Уравнение прямой проходящей через
точку заданной угловым коэфф.
y-y1=k(x-x1)
M1(x1;y1)
k=tg
при
|| +k1=k2
при
k1= |
a(ax;ay)
– направляющий вектор прямой
(l;m)
– направляющий косинусы прямой
k=tg
b
– точка перес. прямой и Оу до (0;0)
Ax+By+C=0
→
→
17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
В
заимное
расположение прямых на плоскости:
условие
|| : y=k1x+b1
; y=k2x+b2
; k1=k2
; a1=(l1;m1),
a2=(
l2;m2)
–
формула
угла между прямыми
Если
L1
||
L2,
то
|
Если
L1 |
|
|
=0
и tg
=0;
k1=k2→
условием паралел. двух прямых явл.
равенство коэф. k1=k2
L2,
то
=
; сtg
=
= 0; получ. 1+ k1k2
=0→ k1k2=-1
→ условием перпенд. прямых явл.
равенство k1k2=-1
или k1=
18. Координатные уравнения плоскости.
Пусть в пространстве задана плоскость и точка соответствующая координатам М1(х1; у1; z1) А(х-х1)+В(у-у1)+С(z-z1)=0 A2+B2+C2 0(одновременно не обращаются) Расммотрим 2 точки, принадлежащие плоскости М2(x2;у2;z2) и М3(х3;у3; z3) и векторы соответственно М1М, М1М2, М1М3 М(х; у; z) – произвольная точка на плоскости М тогда и только тогда принадлежт плоскости, когда эти векторы – коллинеарны
М
1М•М1М2•М1М3=
A(х-х1)+B(у-у1)+C(z-z1)=0
уравнение
плоскости, проходящей через 3
точки
Ax+By+Cz+D=0
– общее уравнение плоскости
(А;
В;С) – нормальный вектор плоскости
(вектор нормали)
Нормальное
уравнение плоскости.
ОК
(Q);
OK=p;
M(x;y;z);
α,β,γ – углы, обр. единым вектором е
с
осями Ох, Оу, Oz.
Тогда е=(cos
α;cos β; cos
γ), r
= OM=(x;y;z)
При
любом положении точки М на плоск. Q
проекция радиус-
вектора r
на направление вектора e
всегда равно p:
преr=p
r•e-p=0
-
нормальное уравнение плоскости в
векторном виде
x•cosα
+ y•cosβ + z•cosγ
– p
= 0
нормальное уравнение плоскости в
координатном виде