19. Общие уравнения прямой в пространстве.
П
рямую
в пространстве можно задать как линию
пересечения двух непараллельных
плоскостей.
=
=
через 2 точки
Каноническое
уравнение прямой:
Векторное уравнение прямой: r=ro+tS L||S t- скалярный множитель (параметр) tS=MoM
2 0. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Условие
параллельности прямых:
q̅1
(l1,
m1,
p1),
q̅2
(l2,
m2,
p2)
перпендикулярности
прямых:
q̅1;
q̅2
l1
* l2
+ m1
* m2
+ p1
* p2
= 0
Условие параллельности
плоскостей:
n̅1
(A1;
B1;
C1);
n̅2
(A2;
B2;
C2)
|
Условие перпендикулярности плоскостей: n̅1; n̅2 A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 Условие параллельности прямой и плоскости: q̅ (l, m, p); n̅ (A; B; C) Al + Bm + Cp = 0 Условие перпендикулярности прямой и плоскости: q̅; n̅
|
Синус угла между прямой и плоскостью: |
|
L:
|
n̅ = (A; B; C) S̅ = (l; m; n) ɸ - угол между плоскостями Q и L |
=
=
Условие
;
Q: Ax + By + Cz + D = 0
sinɸ =
21. Линии второго порядка( эллипс, гипербола, парабола)
О
бщее
уравнение линии 2огоп порядка в некоторой
прямоугольной декартовой системе
координат имеет вид:
Ax2
+
Bxy
+ Cy2
+
Dx
+ Еу + F
= 0 A
B
C
D
E
F
принадлежат R
В
зависимости от значений коэффициентов
различают окружность, эллипс, гиперболу,
параболу
Окружность:
-
это множество точек равно удаленных от
центра; А=С.
M0 (x0; y0) M (x; y) (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2 x2 + y2 - 2x0x - 2y0y + x02 + y02 - R2 = 0 B = 0; A = C
Э
ллипс
– это множество точек плоскости, сумма
расстояний которых до 2ч данных точек,
называемых фокусами, есть величины
постоянные (const)
F1
(-C;
0) |F1M|
+ |F2M|
= 2a
F2
(C;
0) |F1M|
=
фокальные
M
(x;
y)
|F2M|
=
радиусы
= 2a
(после действий над ур-ниями, переносим
2 корень в правую часть, возводим в 2 и
проводим эту операцию дважды, получаем)
= 1 b2
= a2
- c2
→
= 1
О - центр элипса, А1А2 - большая ось, В1В2 - малая ось, |
ОА1 = ОА2(а) – большая полуось, ОВ1 = ОВ2(в) - малая полуось |
Форма
элипса зависит от отношения
(b
= a
элипс превр. в окр.)
E
=
- эксцентриситет элипса (E
- эпсилон) 0
< E
< 1
r1
= A
+ Ex
и r2
=
a
– Ex;
x
= ±
- директрисы элипса; r
- либо
,
либо
= E
Г
ипербола
– множество точек плоскости, модуль
разности расстояний которых до 2 разных
точек, называемых фокусами = const
M
(x;
y)
| |F1M|
- |F2M|
| = 2a
F1
(-C;
0) |F1M|
=
F2
(C;
0)
|F2M|
=
После
возвед. выражения в квадрат и сделав
пробразования, получим:
= 1
каноническое ур-ние, при b2
= c2
- a2
O
(0; 0) - центр гиперболы
A1
(a;
0) и A2
(-a;
0) - вершины гип.
|A1A2|
= 2a
- действит. ось
|OA1|
= |OA2|
= a
- действит. полуось
B1
(0; b)
и B2
(0; - b)
- мнимая ось
|OB1|
= |OB2|
- мнимая полуось
прямоуг. со сторонами
2a
и 2b
над
основным прямоуг. гиперболы
y
= ±
x
- это асимптоты
E
=
- эксцентриситет гиперболы (E
> 1)
x
= ±
- директрисы гиперболы
= 1 и
- сопряжённые
Парабола
при
A
* C
= 0
наз.
множество всех точек плоскости, которые
равно отдалены от точки назыв. фокусом
и прямой назыв. директрисой, которое не
проходит через фокус.
M
(x;
y)
по определ. |MP|
= |FM|
E
= 1
F
(
;
0)
=
P
(-
y2
= 2 px
каноническое ур-ние параболы
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py