2.​ Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)

- если для любого E>0, существует такой N(номер последовательности), что любое n>N, выполняется |x_n-a|<E

.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, при этом все арифметические действия производятся только со сходящимися последовательностями

Теорема1: сходящиеся последовательности имеют единственный предел)

Док-во: Пусть имеет предел b≠a,

выберем эпсилон окрестность а и дельта окрестность в, чтобы окрестности не имели общих точек, тогда по определению предела в эпсилон окрестности точки А содержится бесконечно много членов последовательности , а вне этой окрестности конечное число членов, тогда точка В не может быть пределом последовательности.

Теорема 2: сходящаяся последовательность ограничена.

Док-во: Из определения последовательности, можно записать ,

. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то

, тогда

Положим , , т.е. последов-ность ограничена.

3.​ Бесконечно-большие и бесконечно-малые последовательности. Теоремы о сумме (разности), произведении и частном двух сходящихся последовательностях. Предельный переход в неравенствах. Монотонные последовательности. Число ℮. Предел функции. Теоремы о пределах функции.

Последовательность наз. бесконечно большой, если справедливо .

Последовательность называется бесконечно малой, если справедливо .

Теорема 1: Если бесконечно большая, то является бесконечно малой и наоборот, если бесконечно малая, то бесконечно большая.

Док-во: Пусть бесконечно большая, т.е. и . , тогда , , , .

- бесконечно большая; - бесконечно малая.

Теорема 2: Если последовательность и бесконечно малые, то

, бесконечно малая ( ).

Док-во:

; , ;

- бесконечно малая.

Теорема 3: Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая. ( ) Док-во:

;

, ,

– бесконечно малая последовательность.

Теорема 4: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая. (

Док-во: – ограниченная; ,

– бесконечно малая;

; , – бесконечно малая послед-ость.

Следствие: Если имеет предел равный А, то это означает, что -бесконечно малая последовательность.

Справедливо и обратное: Если -бесконечно малая последовательность, то имеет предел равный А.

Теорема о сумме (разности): Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, предел которой равен сумме (разносте) пределов этих последовательностей. ( )

Док-во: - бесконечно малая ; - бесконечно малая

; , тогда и

.

Теорема о произведении: Произведение двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, предел которой равен произведению пределов этих последовательностей. 0 Док-во: и

– бесконечно малая, тогда .

Теорема о частном: частное двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, предел которой равен частному пределов этих последовательностей. Док-во: аналогично двум предыдущим!

Предельный переход к неравенствам:

Теорема 1: Если все члены последовательности удолетворяют неравенству , то предел последовательности a ≥b.

Теорема 2 (теорема о двух полицейских – о сжатой переменной): Если последовательности , и , и удовлетворяют .

Монотонные последовательности:

1. послед-ость возврстающая 2. послед-ость неубывающая

3. послед-ость убывающая 4. послед-ость невозврста-ая

!Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Число e: (неперовое число)

, ; ; …; ;…. .

Предел f(x) определена в некоторой окрестности точки, за исключением только если самой точки.

1.По Гейне: Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой последовательности сходящийся к , последовательность значений функции сходится к А. (

2.По Каши: Число А называется пределом функции .

Односторонним предел: Число А называется пределом функции f(x) справа при , если , такое что , то .( : Число А называется пределом функции f(x) слева при , если , такое что , то . ( )

Предел функции при :

Число А называется пределом функции (x) при , если .

Теоремы о пределах функции:

Теорема 1: Если f(x), g(х) при имеют предел А и В, то соответственно имеют пределы А±В, .

Теорема 2 (о сжатой переменной): Если функции f(x) и , и удовлетворяют .