18. Таблица производных простейших элементарных функций.
f(kx+b) |
f’(kx+b) |
ctg(kx+b) |
|
(kx+b)p |
kp(kx+b)p-1 |
arcsin(kx+b) |
|
ekx+b |
kekx+b |
arccos(kx+b) |
|
akx+b |
kakx+blna |
arctg(kx+b) |
|
ln(kx+b) |
|
arcctg(kx+b) |
|
loga(kx+b) |
|
sh x |
ch x |
sin(kx+b) |
k cos(kx+b |
ch x |
sh x |
cos(kx+b) |
-k sin(kx+b) |
th x |
|
tg(kx+b) |
|
cth x |
|
19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
Рассмотрим
функции, заданные параметрическими
уравнениями:
x=ϕ(t),
y=Ψ (t);
t
Параметрически заданную функцию можно рассматривать как сложную:
х=ϕ(t)
; t=
(x)
; (
(x)≠0)
y=Ψ (t) =Ψ( (x))
y'=Ψ' (t) (
(x))'=
формула
производной параметрически заданной
функции:
y'=
20. Теоремы Ферма и Ролля.
Т
еорема
Ферма. Пусть
f(x)
задана на открытом промежутке и достигает
в
своего max(min),
тогда если f(x)
имеет f´(x),
то она равна 0.
Доказательство:
Допустим
точка maх;
f´(
)=
∆f=(f(
+∆x)-f(
))≤0
+ ∆x
1
)∆x
0
∆f
˂0 следовательно
˂
0
=f´(x)
≤ 0 2)∆x˂0
∆f
0
следовательно
0
=f´(x)
0
Из этих условий следует, что f´(x)=0
Теорема
Ролля.
Если
функция f(x)
непрерывна на отрезке
,
дифференцируема во всех точках интервала
(a;b)
и на концах x=a
и x=b
принимает равные значения (f(a)=f(b)),
то существует внутри интервала (a;b)
по крайней мере одна точка x=c
, a˂c˂b,
в которой производная f´(х)
обращается в ноль, т.е. f´(с)=0
Доказательство
:
Рассмотрим
два случая: 1)Если
непрерывна на
,
то по второй теореме Вейерштрасса.
М-наиб. m-наим.
M=m
следовательно f(x)-const.
F´(x)=0,
x
(a;b)
2)Если m˂M
то хотя бы одно из значений функции
достигает внутри промежутка. Значит
это локальный экстремум. Следовательно
по теореме Ферма f´(c)=0Теорема
Ролля имеет наглядный физический смысл.
Предположим, что тело движется вдоль
прямой и через некоторый промежуток
времени возвращается в исходную точку.
Тогда в данном промежутке времени
существует момент, в котором мгновенная
скорость тела была равна нулю.
21. Теоремы Лагранжа и Коши.
Теорема
Лагранжа:
Если функция f(x)
удовлетворяет условиям:
1. Функция
непрерывна на
2. Функция дифференцируема на
3. Производная функции не равна 0, х
принадлежит (а; в) -> то существует
(a;b)
такая что f(b)-f(a)=f´(
)*(b-a)
Доказательство:
Рассмотрим
вспомогательную функцию
Эта функция непрерывна и дифференцируема в промежутке [a;b], а на его концах принимает одинаковые значения: F(a)=F(b)=0
Тогда F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка (a;b), в которой производная функции F(x) равна нулю:
геометрический смысл: геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции f(x) найдется точка С(с, f(с)), в которой касательная к графику f(x) параллельна секущей АВ. Следствия:1. Если f'(х) = 0 на некотором промежутке (a, b), то функция f(x) постоянна на этом промежутке.2.Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Теорема
Коши:
Если
1) f(x)
и g(x)
непрерывны на
2) f(x)
и
g(x)
дифференцируемы на (a;b)
3) g´(x)
0
на
.
то существует точка С
такая что
=
.
Следствие: теорема Лагранжа является
частным случаем теоремы Коши при g(x)=x.