4. Первый замечательный предел.

- первый замечательный предел

Д ок-во:

OA=R=1

Очевидно, что существует неравенство :

,

BK ≤ x ≤LA; sin x ≤ x ≤ tg x; разделим на sinx

; gthtdthyenm? *(-1)+1

Так как – четная, то предел справа равен пределу слева и по теореме=пределу функции в этой точке и тогда .

5.Второй замечательный предел.

- второй замечательный предел

Док-во: 1.Пусть . Каждое значение α заключено между двумя положительными целыми числами: n ≤ α ≤ n+1, где n=[α] – целая часть α, тогда .

,

По теореме о сжатой переменной

2.Пусть , при этом , тогда

6.​ Бесконечно-большие и бесконечно‑ малые функции. Сравнение бесконечно‑малых функций. Асимптотические формулы.

1.Функция у=f(x) называется бесконечно большой при , если

( )

2. Функция у=f(x) называется бесконечно большой при , если

( )

;

Функция у=f(x) называется бесконечно малой при , если .

Теорема о сумме бесконечно малых функций: Если α(x) и β(x) называют бесконечно малыми, то функция α(x)+β(x) так же бесконечно малая.

Теорема об эквивалентности: Если α(x), и β(x) называют бесконечно малыми при , при чем , то .

Теорема необходимого и достаточного условия эквивалентности: Для того что бы α(x) и β(x) были эквиваленты при , необходимо и достаточно, что бы их разность была бесконечно малой более высшего порядка, чем каждая из этих функций.

Сравнение бесконечно малых функций:

1.Если , то α(x) наз. бесконечно малой более высоко порядка при сравнение с β(x) при .	3. Если , то α(x) и β(x) наз. бесконечно малыми одного порядка.
2.Если , α(x) и β(x) наз. эквивалентными.	4. .Если , то α(x) наз. бесконечно малой более низкого порядка при сравнение с β(x) при x→xo

Асимптотические формулы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.​ Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е. .

Н епрерывность функции через приращение:

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке , если она определена в точке хо и ее окрестно­сти и бесконечно малому прираще­нию аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. .

Точками разрыва функции называются точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности.

Классификация точек разрыва:

1. Точки разрыва первого рода (скачок) – точка если фукнция имеет конечные но не равные односторонние пределы. ( )

Пример: неравные односторонние пределы (разрыв первого рода).

2. Точки разрыва второго рода (бесконечный разрыв) - очка если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или несуществует.

П ример:

8.​ Основные теоремы о непрерывных функциях.

Теорема 1: Если f(x) и g(x) непрерывны в точке , то - непрерывны в этой точке.

Т еорема 2 ( о сохранение знака): Если f(x) непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция имеет тот же знак, что и в точке

Т еорема 3 (первая теорема Больцано-Коши): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах значения разных знаков, то существует точка такая, что

Теорема 4 (вторая теорема Больцано-Коши): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)=A, f(b)=B и A ≤ C ≤B, то существует такая точка , что f(c)=C.

Т еорема 5 (первая теорема Вейерштрасса): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

f(a)=inf f(x); f(b)=sup f(x)

Т еормема 6 (вторая теорема Вейерштрасса): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на это отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М.