28. Комплексные числа и действия над ними.
Комплексные числа – это упорядоченная
пара чисел
z = (x;y)
x – действительная часть;
у – мнимая часть
z=(x;0)-
действительное число; z=(0;у)- чисто мнимое
число; z=(0;1)-
мнимая единица-i;
равные
числа
=
;
Действие
над комплексными числами Суммой(разностью)
2-х комплексных чисел называется число,
определяемое следующим образом: z=
Комплексное
число может быть представлено в виде:
z=x+iy(алгебраическая
форма)=(
z=
+i
=
(
)
29. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Тригонометрическая
форма комплексного числа – это
представление комплексного числа в
видt
где p=|z|>=0,
Argz
= a(угол)
φ=Arg
Z=2
0
z=1,
x=1; y=0; p=
cos
=1;
tg
z=1(cos 0+ i sin 0)= cos 0+ i sin 0 = 1+i
;
tg
z=1+i=
)
30. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня. Формулы Эйлера.
k=0,1,2,..,n-1
Формулы Эйлера:
Формула
Эйлера утверждает, что для
любого действительного и комплексного
числа x выполнено
следующее равенство: eix
= cosx
+ sinx,
где е — одна
из важнейших математических констант,
определяющаяся следующей формулой: 
,
i — мнимая
единица.
Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием рядов Тейлора. Разложим функцию eix в ряд Тейлора в окрестности точки a = 0 по степеням x. Получим:
Но
Поэтому eix = cosx + sinx ч. т. д.
|
|
|
|
sin2x+cos2x=1 tg2x+1= ctg2x+1= tgx= tgx*ctgx=1 |
tgx=
sinx=
cosx= |
|
cos(-α)=cos α sin(-α)=-sin α tg(-α)=-tg α ctg(-α)=-ctg α |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin2x=2 sinx cosx sin3x=2sinx-4sin3x sin4x=2sin2x–cos2x cos2x=cos2x-sin2x cos2x=2cos2x-1 cos2x=1-2sin2x cos3x=4cos3x-3cosx tg2x= tg3x= |
cos(π/2-x)=sin x cos(π±x)=-cos x cos(π/2+x)=-sin x cos(3π/2-x)=-sin x cos(3π/2+x)=sin x |
sin(π/2±x)=cos x sin(π-x)=sin x sin(π+x)=-sin x sin(3π/2±x)=-cos x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
tg(π/2+x)=-ctg x tg(π/2-x)=ctg x ctg(π/2+x)=-tg x ctg(π/2-x)=tg x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
)0))) |
sin(x+y)=sinx·cosy+cosx·siny sin(x-y)=sinx·cosy-cosx·siny cos(x+y)=cosx·cosy–sinx·siny cos(x-y)=cosx·cosy+sinx·siny tg(x+y)= |
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
120 |
135 |
150 |
180 |
210 |
225 |
240 |
270 |
300 |
315 |
330 |
360 |
|
||||||||||||
sin |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
0 |
|
||||||||||||
cos |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
tg |
0 |
|
1 |
|
- |
- |
-1 |
|
0 |
|
1 |
|
- |
|
-1 |
|
0 |
|
||||||||||||
ctg |
- |
|
1 |
|
0 |
|
-1 |
- |
- |
|
1 |
|
0 |
|
-1 |
|
- |
|
||||||||||||
arc |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
||||||||||||
х2 - у2 = (х - у) (х+у) (х + у)2 = х2 + 2ху + у2 (х - у)2 = х2 – 2ху + у2 (х + у)3 = х3 + 3х2у + 3ху2 + у3 (х - у)3 = х3 – 3х2у + 3ху2 - у3 х3 + у3 = (х + у) (х2 - ху + у2) х3 - у3 = (х - у) (х2 + ху + у2) |
alogab = b loga 1 = 0 loga a = 1 |
logax= logax= |
|
|||||||||||||||||||||||||||
loga(x · y) = logax + logay loga xy = logax - logay loga xp = p logax logak x = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
(f(x)+g(x))’=f ’(x)+g’(x) (k•(f(x))’ = k•f ’(x) (f(x)•g(x))’=f ’(x)·g(x)+f(x)·g’(x) (f(x)/g(x))’= (f(g(x))’=f ‘(g(x))•g’(x) lim
f(x)g(x)= lim ex = ∞, x→+∞; 0, x→-∞ |
при
arccsin x ̴x tg x ̴x arctg x ̴x 1-cos x ̴ x2/2 |
ax ̴1+x lna ex-1 ̴x ln (1+x) ̴x loga(1+x) ̴x/lna (1+x)m-1 ̴mx |
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim(1+x)1/x=e |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
tg(x-y)=
loga x,
при k ≠
0
sin
x ̴x