Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2798

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

24.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

			170
Выполнимматематическоеописанотклпомощьюфункциика
Хевисайда.	(t ) = 2 E		[α t − (1− e−α t )] σ (t).
s	(t ) = 2 E		[α t − (1− e−α t )] σ (t).
вых1		α τ
		α τ
Поинтпрервальноедставлезапишемсуммаротклика,примого			е-
няявзвешеннсуммированиесд ременииг.

sвых1(t) sвых (t) = sвых1(t)

sвых1(t)

, 0 ≤ t ≤ τ2

− 2 sвых1(t −τ 2)

, τ 2 ≤ t ≤ τ

− 2 sвых1(t −τ2) + sвых1(t −τ) , t ≥ τ

Переходя каналитвыраженипровческеиобразованиядя,пям	о-
лучим:

2 E [α t − (1 − e−α t )], 0 ≤ t ≤

α τ

2 E 1−α (t −τ ) + (1 − 2e

2 )e−α t

≤ t ≤τ

sвых (t ) = α τ

8 E

2 ατ

−α

−α (t −τ )

, t ≥ τ

2 e

α τ

Анализрисунка7показывает.4,чтоеслипостоянврецепимнениая				о-
гоменьшедлит льно		стиимпульса,тонапряжениеемкповсторяет
напряженавходецепь(нискажаетие)Если. постоянврецепимнениая				о-
гобольшедлитимпульсальностито,цепьсглаживаетбыстрыеизменения
входногосигналат.(е.интегр		ирует) .
Важнопомнить,чтосигнал			навыходелинцсодержитйнойпивыну	ж-
деннуюисв	ободнуюкомпоненты.
Вынуждекомпоравсуммевычетполюсовннаяентаотносительно			S ( p).
изображениявходногосигнала
Свободнаякомпоравсуммевычетполюсовентаотносительно				е-
редаточнойфункциицепи		K ( p).
Прирасчетеотклицепиокслеончаниядействиявходного				мпуль-
сногосигналаполезноучесть,чтовынужденнаякомпоравнулю, ента
свободнаякомопределяонентаполюсамиперефункциитсядаточной				епи.

171

s(t)

τ >> α1 (ατ =5)

		t
	τ

ατ = 1

		t
τ
τ <<	1	(ατ =0.5)
	α

Рисунок7.4

– Вариантыотклпразличксовотношенияхмеждуых

длительностьюимпульсаостояннойвременицепи

Пример7.3

при t ≥τ

Вусловияхпримера7определить.2 н пряжениенаемкости

1) Изображениевходногоимпульсногосигналапреобразуемквиду

	2E	1	pτ		− 2 + e−	pτ
S ( p) =			e	2		2	e

	τ	p2

				pτ	2	pτ
	Eτ	sh			e−
				4
						2 .
=
	2		pτ


			4

2) Изображенсигналавыходцепие

−

pτ

− e−

pτ

−

pτ

S вых ( p) равно

172

pτ 2

pτ

Eτ

−

S вых ( p) =

pτ

p + α .

3) Откликцепиосле

кончаниядействиявходногосигналаравен

ы-

четувточке

p1 = −α .

(t ) = L−[S

вых

( p)]= Re s

p =−α

вых

ατ 2

pτ

lim

−

Eτ

α ( p + α )

e pt = E

ατ

pτ

p = −α 2

( p + α )

2 ατ

s (t ) =

sh2

ατ

e−ατ

e−α(t −τ ) , t ≥ τ .

вых

ατ

Анаполученноговыраженияизпоказывает,чтослекончаниявхо

ногосигн

алаоткликцеписодержиттолькосвободнуюставляющую,кот

раяпредставляетразрядемкостичерезсопротивление.

ατ

2 e−αt ,

д- о-

7Опера.3 метоопределенияустановившейсярный реаклинцепииинавключениейнойпериодического сигнала

Односторвходноннее	воздействие s(t )							описываетсябесконечной
суммойнеперсигналоводических	sT (t ),сдвинутыхдруготносительнодр								у-
ганаинтерввремени,крпериодуалтный.	∞
	∞	(			).
s(t ) =	∑ sT	(			).				(7.6)
s(t ) =	∑ sT		t − nT						(7.6)
ПрименимпрямпреобразованиеЛап	n = 0					ласаквходнойпоследовател			ь-
ПрименимпрямпреобразованиеЛап						ласаквходнойпоследовател			ь-
нои,сворачиваятигеометрическуюпрогресс,получ	∑∞ L[s
S( p) = L[s(t)]=	∑∞ L[s			(t)] e− npT				=
	T
n = 0
= ST ( p) 1 + e− pT + e− 2 pT + ... + e− npT + ... ,
				1
S ( p) = ST ( p)				1			.		(7.7)
S ( p) = ST ( p)		1 − e− pT					.		(7.7)
		1 − e− pT

173

Изображевыходсигравнопроалаогоиеизведениюображения

входногосигнала

S( p) ипередаточной функциицепи

K ( p).

ST ( p)

Sвых ( p) =

K( p).

1−e− pT

Полнаяреакццепвключениеперияпоследовательностидической

предсобойтавляетуммувын (станжденной)к мпонвившентыйся

свободнойсоставляющей.

ST ( p)

(t) = L−

K ( p) = s

уст

(t)

+ s

(t).

вых

− e

− pT

св

Вынуждекомпонентаная

s уст (t) равнасуммевычетотносительнов

полюсов,содержащихсяизображениивходноговоздействия

S ( p)

−pT

1− e

sсв (t ) равнасуммевычетотносительнов

Свободнаясоставляющая

полюсовпер

едаточнойфункциицепи

K ( p).

Чисполизображенияюсоввходноговоздсконечнойствиявелико,

таккакуравнению

1−e− pT = 0 соответствубесконечноемнож ство

ней: pn = jn 2π T (где n - целыечисла).

Бесконечнаясуммавычетов	– нечтоиноекаккомплексныйрядФурье,
которыйсвидетельствухарактерепериодическомустанкомпвившейся
нентывыходсиг. налаого	sсв (t )
Важчтопо,ниматьсвободнаясоставляющая	sсв (t )
собойзатухающуюфункцивремени,таккакреальнаялинцимеетпьйная	sуст (t ) представляетсобойпериод
потери.Установившаясякомпонента	sуст (t ) представляетсобойпериод
ческуюфункциювремени,ееформанеменяетсяотпериодакпериоду,..

(7.8)

(7.9)

р-

о-

представляет

и-

	∞
	sуст (t ) = ∑	s	уст	(t − nT ),	(7.10)
где s	n=0 T		уст
где s	уст (t ) - опиустановившегосяаниерешнап .р оде
T
На рисунке7изображ.5 моделивходп риныойпдическойследовател					ь-
ности s(t ),полнойреакццепии		sвых (t ),атакжедвухсоставполняющих			ого
отклика:свободной	sсв (t ) ивынуждеили(уста)новившейсяной				sуст (t ).
Полнаяреакццеплюбомпериодея,начинаяспервого,содержит
устанкомпоненвисвободнуюшуюсясоставляющую.
	sвых1 (t ) = sT уст (t ) + sсв (t ).				(7.11)

174

s(t)

а)

sуст(t)

Emin

б)

Eср

sсв(t)

-Emin

sвых(t)

в)

Eср

Рисунок7.5

− Графическоепредставлениевходного)(выходного()

сигналов,такжес ободнвынужденнойи ()составляющихотклика

Поэтомуопистананиекомпонентывившейсяналюбомпериоде

можнополувычитаниячитьтем

свободнсоставизп реалнойяющей

к-

цииценапрохождениепервогоженеперсигналаодического

s(t ):

sT (t ) из

входнойпери

одичепоскойледовательности

sT уст (t ) = sвых1 (t ) − sсв (t );

(7.12)

sвых1 (t ) = L

−[

K ( p)

];

(7.13)

ST ( p)

(t) =

= Z −

ST ( p)

K ( p) ,

∑ Re s

(7.14)

св

m = 1

− e

− pT

где M - количествополюсовпередаточнойфункции

K ( p).

Пример7.4

Расчетустановившейсяреакциипривключенииперипослдческой

RC - цепирисунок( 7.6),

е-

довательностипрямоугоимпульсовнавходьных

передаточнаяфункциякоторойравна

K ( p) =α ( p +α ) .

175

s(t)

sвых(t)

Рисунок7.6

1)Выполняемматематическоеописаниевходногосигнала

∞

(t − nT )

sT (t ) = E σ(t ) −σ(t −τ )

s(t ) = ∑ sT

,где

n = 0

[

sT (t )

2) Определяемизображениепе

рвогоодиночногоимпульса

( p) = L [s (t )]=

E e− pt dt =

(1 − e− pτ ).

∫

3) Определяемизображениепервогоодинимпульсаначноговыходе

цепи

Sвых ( p) =

(1 − e− pτ )

p +α

4) Опредполнуюеакццепляемию

sвых1 (t ) напрохождениеперв

о-

одиночного

импульса

−

Eα

= E 1 − e−αt , 0 ≤ t ≤τ

p( p

+α )

вых1

(t ) =

−

Eα(1 − e− pτ )

ατ

-αt

= E 1

− e

, τ ≤ t ≤ T

p( p +α )

5) Определяемизображенперипослдическойдовательности

м-

пульсов

∞

S ( p) = L

∑sT (t − nT ) = ST ( p) 1 + e− pT + e− 2 pT +... ,

n = 0

(1 − e− pτ )

S ( p) = S ( p)

(1 − e− pT ) p (1 − e− pT )

6)	Определяемизображенперипослдическойнадовательности	ы-
ходеЛЭЦ

176

S вых

( p) =

(1 − e− pτ )

p + α

(1 − e− pT )

7) ОпределяемсвободнуюсоставляющуюоткликанавыходеЛЭЦ

s (t ) = L−

(1 − e− pτ )

= Re s

− pT

p +α

св

(1 − e

)

1 = −α

sсв (t ) = −E

(1 − eατ )

e−αt , t ≥ 0 .

(1 − eαT )

Полагая τ =T

(t ) = −0.438Ee −αt , t ≥ 0

2 , αT =

, ατ =

,получим

sсв

8) Определяемустановившуюсяреакцию

уст (t ) напериоде

sT уст (t ) = sвых1 (t ) − sсв (t ),

E (1 − e−αt ) + 0.438Ee −αt

= E (1 − 0.562e−αt )

, 0 ≤ t ≤T

уст (t ) =

−α(t −T

)

E (1 − eατ + 0.438 )e−αt =

0.562E e

, T

≤ t ≤T

9)Определяемминимальн

ое,макисреднееимальноезначениеустан

о-

вившегосярежима:

E min = 0.438E , E max = 0.562E , Eср = 0.5E .

7Времеанализа.4 методыинтДюамелягралы( )

7.Операторныйподход4.1
СигналвыходеЛЭЦможетбытьнайденвре							зультатеприм нения
обратногопреобразЛак ласоизваведеображениясиг алаию
S ( p) ипередаточнойфункциицепи							K ( p),чтос отсвеотствуетригтке	и-
наловвовремени.				c + j∞
			1
sвых (t ) =					∫ S ( p)K ( p)e pt dp = s(t ) g(t ).			(7.15)

			2πj c − j∞				p ,получим:
Разделив иумнподынтегральноеживвыр жение
sвых (t ) =	1	c + j∞			S ( p)	K ( p)	p e pt dp =
			∫					(7.16)
						p
	2πj c − j∞

177

	1		c + j∞	S( p)H ( p) p e	pt	dp ,
	=		∫
	=		∫
		2πj c − j∞
где H ( p)- изображениепереходнойхарактеристики.
Множитель p можетбыотнесенль			ибок	S ( p) ,либок	H ( p) .След о-
вательно,присворачиваниидифференцлюбойиз гиналовруется						s(t )
или h(t ).
sвых (t )	ʹ			ʹ		(7.17)
sвых (t )	= s (t ) h(t ) = s(t ) h (t ).					(7.17)
Учитыодностороваяремехарнныхость				актеристикЛЭЦ,запишем
интегсверткивиде:алы

sвых (t )

sвых (t)

где s(0 )

sвых (t)

где h(0 )

t		t
= ∫ s(τ )g(t −τ )dτ =∫ s(t −τ )g(τ )dτ ;			(7.18)
0	t	0
	t	t
= s(0)h(t) + ∫ sʹ(τ)h(t −τ)dτ =s(0)h(t) + ∫ sʹ(t −τ)h(τ)dτ ,			(7.19)
= lim	0	0
= lim	s(t );
t →+0	t	t
	t	t
= s(t)h(0) + ∫ s(τ)hʹ(t −τ)dτ =s(t)h(0) + ∫ s(t −τ)hʹ(τ)dτ ,			(7.20)
	0	0
= lim	h(t ).
t →+0

Ввыражениях(7.(719)функции.20)		s(t ) и h(t )	аналитичнывовсех
точкахпри	0 < t < ∞,кроме t = 0 .Ненулевыеачаусловияприводятьныек
появлениюдополнитслагауравнении(7мыхльныхи(7.19).20).
7.Временной4.2подход
Динамичпрескимдставлениемназываетсяописаниепроизвольного
сигналапомощьюобобщенныхфункцийглава( п1,.1)Р .зличаютдвера				з-
новидностидинамическогопредставления.
Вперслучаевомходнойсигналпредставляетсясовокупностьюинт(				е-
гральнойсуммой)прямо		угольныхимпульсовдлительностью	dτ ,возника ю-
щихвпоследовательныемоментывремени		τ ,причемамплитудыпульсов
пропорциональнымгновензначениямвходногосигналаым			s(τ ) вэтим	о-
ментывремени	.	t
		t
		s(t ) = ∫s(τ )δ (t −τ )dτ .		(7.21)

178

Вовторомслучаевходнойсигналпредставляетсяинтегральнойсуммой
ступефункцийедини(чатыхска),возникающихныхковчерезравныем		о-
ментывремени	dτ .Высотакаждойступеравнаприращениюькисигнал	ана
интервале dτ ,котоопрскороседеляеоеизменевходноготсьюигналая. ия
	t
	s(t ) = s(0)σ (t ) + ∫sʹ(τ )σ (t −τ )dτ .	(7.22)
	0
Подобноеинтегральноеописасигназываловиединамическимют
представлени,.к.онозволяетподчразвивающийсяркнутьм		овремени
характерсигнала.
Влинцинтегральнаяйнойписуммадельта		- функцийпреобразуетсяв
интегральнуюсуммуимпульсныххаракцепитекоэффицжер стик		и-
ентамипропорциональности.
	t

sвых

Интегральсуммаступефунаячатых етсявинтегральнуюсуммупереходныххаракцепистжемазмистик рамиступеней.

(t ) = ∫s(τ )γ (t −τ )dτ .	(7.23)
0	у-
нкцийвлинпрейнпиобразй	у-
	е-

sвых (t ) = s(0)h(t ) + ∫sʹ(τ )h(t −τ )dτ .

Произведязаменупеременных,формулы(7и(7.23)можно.24)преобр

зоквидуать:

(7.24)

а-

	sвых (t ) = ∫s(t −τ )γ (τ )dτ ;	(7.25)
	0
	t
	sвых (t ) = s(0)h(t ) + ∫sʹ(t −τ )h(τ )dτ .	(7.26)
	0	а-
ПрименениеформулДюамелядлярасчетаоткликацепиневызывает		а-
труднвтомслучае, нийсливходнойсигннемеаляеталитописанияческого
наинтерваленекоторогоначальнмомвременидобесконечннтаго		ости.
Рекомслеподующийндуетсяраядоксигнчетанавыходелинела		й-
нойцепиметодомвременногоинтегрирования.
Вначале,пользуясьизвесме,рассчитываютнымиодамипередаточную
функцпереходнуюцепи, иимпульснуюхарактеристики.Привыборефо		р-
мулывременного	интегрироисходят,какправило,извозможностианияд	о-
стижерезультатанаибияпрпуолеес,притеэтомыманализируютсво		й-
ствасигналавременныххарактеристиклинц. йнойпи

	179
Затемвыбираютрасчетнформулу,уяснивсмыслвходящихюнее			ы-
ражений.Выявл	яютмех“ ра”даннойботынизмформулы,увязываявидвр		е-
менногопредставлездействиянужвременнойхарактеристикой
цепи.И,наконец,вычисотк.епиляютик
Есливходнойсигналмеаналитяетописаниенантервалеческое
представления,товозникает	еобходимостьвналожениирешений.Налож		е-
ниерешенийможетбытьвыполненодвумяспособами.
Во-первых,можноразложитьвходнойсигналэлеменсостарные			в-
ляющие,каждаяизкоторыхнемеаналитяетописаниенантервалеческое
отмоментавключениядобес	конечности.Затемнайтиоткаждуюлик
состави,налрешенияяющуюожив,составипоинтервальноеописание			ы-
ходногосигнала.
Во-вторых,можно,составивп интервальноеописаниевходногосигн			а-
ла,находвыходсисначалатьгналпервомойинтервале,затем			навтором
интерв,накладываянегорешеле,получепервомиеа,зантноеа			е-
тьеминтерв,накладываянегорешеле,полученныепервомияивт			о-
ром,итакдалее.
Подобнуюметодикуналоженрассмотримпримере.Составимя			а-
тематическуюмодельре	акциицепи,переходнаяхарактеристикакоторой		в-
на h(t ).
Внешнзадаетсявозд функциеййствие,графичепредставлениекое
которойизображенонарисунке7.7.
При t < 0	откликцепиравеннулю,.к.реакциянеможп рт		ежать
воздействие.
Наинтервале 0 < t < t1 функция s1 (t ) непрерывна,поэтомуреакция			е-
пинаходитсянепосредствформуле(7учетом.24)неначалулевыхно			ь-
ныхусловий:
t		t
sвых (t ) = ∫[s1(0 )δ (τ ) + sʹ(τ )]h(t −τ )dτ = s1(0 )h(τ ) + ∫sʹ(τ )h(t −τ )dτ ,
0		0
где 0 ≤ t ≤ t1.

s(τ)	s1(τ)			sʹ(τ)
	s1(τ)			s(0)δ(τ) sʹ2(τ)		s(t2)δ(τ-t2)
				s(0)δ(τ) sʹ2(τ)		s(t2)δ(τ-t2)
0	t1	t2	τ	0		τ
	s2(τ)			sʹ1(τ)	s(t1)δ(τ-t1)
				sʹ1(τ)

Рисунок7.7	−Произвольныйсигнал	s(t )иегопроизводная	s (t )
			ʹ
спар аметрами:	s(0 ) = s1 (0 ),	s(t1 ) = s2 (t1 ) − s1 (t1 ), s(t2 ) = −s2 (t2 )

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023126.95 Кб02750.pdf
#
05.02.2023249.87 Кб02753.pdf
#
05.02.2023466.68 Кб0279.pdf
#
13.02.20212.11 Mб12790.pdf
#
13.02.20211.28 Mб172797.pdf
#
13.02.202124.88 Mб22798.pdf
#
05.02.2023441.35 Кб2280.pdf
#
05.02.2023145.68 Кб02825.pdf
#
05.02.2023436.03 Кб02837.pdf
#
05.02.2023214.23 Кб02838.pdf
#
05.02.2023294.91 Кб02839.pdf