Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2798

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

24.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 278 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

70
Сигнал s(t ) – действительмнимаяфункциявреме,следовательно, и
частьвыражений(3.(321)должна.22)бытьравн	анулю.Такимобразом,
A(ω) должнабытьчетнойфункциейчастоты,	B(ω) – нечетнойфункцией
частоты:
A(ω) = A(−ω),	(3.23)
B(ω) = −B(−ω).	(3.23)

Чтобыразделитьсигналобщеговиданечетнуюи соста ющие,можновоспользо ватьсялибосо тношениями(3либо.выраж17), ми:

∞

sчет (t )= π1 0∫ A(ω) cosωtdω ,

∞

sнеч (t )= π1 0∫B(ω) sinωtdω .

РезультатыобобщсвойствачетностипреобрнияФурьеазований вещественкомплексныеи сигпредставленыалытаблице3.1.

вляения-

(3.24)

(3.25)

		Таблица3.1	– СвойствачетностипреобразованийФурьедлявещ	е-
ственныхикомплексныхсигналов
	N	Описаниесигнала		Спектральнаяплотность

(t )

(

)

чет

A ω

sнеч (t )

− jB(ω )

jsчет (t )

jA(ω )

неч

(t )

(

)

B ω

sчет (t )+ sнеч (t )

A(ω )− jB(ω )

j[sчет (t )+ sнеч (t )]

B(ω )+ jA(ω )

(t )+ js

неч

(t )

( )

чет

A ω

+ B ω

(t )− js

неч

(t )

( )

(

)

чет

A ω

− B ω

A ω

+ B −ω

sнеч (t ) + jsчет (t )

j[A(ω)− B(ω)]

sнеч (t )− jsчет (t )

− j[A(ω )+ B(ω)]

Пример3.2

- Расчспектральплотностидиэкспоненцчногой

и-

альноимпульса,енечетнойго составляющих,изображенныхна

рисунке3.3.

s(t )

sчет (t )

sнеч (t )

а)

б)

в)

Рисунок3.3

− Экспоненциальныйимпульс

s(t ),егочетная

sчет (t )

инече тная sнеч (t ) составляющие

Математическоеописанэкспоненциальногомпульсаимеетвид

s(t )= Ee−α t , t ≥ 0.

Разделяясигналобщеговиданечетнуюи компоненты,пол

учим:

sчет (t )= 12 [s(t )+ s(− t )]= E2 e−α t , sнеч (t )= 12 [s(t )− s(− t )]= E2 e−α t sign(t ).

Суммировачетнойи ечетнойиесоставляющихприводитквосстано

в-

лениюсигналаобщеговида:

s(t )= sчет (t )+ sнеч (t ),

s(t )=

e−α

[1+ sign(t )]= Ee−α t , t ≥ 0.

Спектральнаяплотностьэкспоненциимпульсаравн льного

∞

e−(α + jω )t

∞

S(ω)= ∫Ee−α t e− jω t

− (α + jω)

α + jω

Спектральнаяплотностьсостоитизсуммы

действительноймнимой

частей

E(α − jω )

(ω )=

= E

− jE

α + jω

α 2 + ω 2

Мнимаячастьспектральнечетнойплотностисоответствуетсоста

в-

ляющейсигнала

sнеч (t ),адействитечастьспектральнойьнаятности

т-

носикчесоставляющейнойсясигнала.Результ

атырасчвветаденытов

б-

лицу3.2.

Таблица3.2	− Времиспектральнноепредстасигналаобщвоеедагонияставляющих
		Сигналы		Спектральныеплотности
Аналитическое		Графическое	Аналитическое		\|S(ω)\| − АЧХ, ϕ(ω) − ФЧХ
представление		представление	представление
		E			АЧХ	E/α
		E			АЧХ
s(t ) = Ee−α tσ (t)			Ф+[s(t)]=	E	ФЧХ
s(t ) = Ee−α tσ (t)			Ф+[s(t)]=	α + jω
				α + jω
		0	t		0	ω
		0	t			E/α
						E/α

(t) =

e−α

E/2

Ф+[sчет (t )]= E

чет

α 2 + ω 2

ϕ(ω)=0 0

E/2α

sнеч (t) =

e−α

sign(t)

E/2

Ф+[sнеч (t )]= − jE

π/2

-E/2

+ ω

-π/2 ω

	73
Анализиспектхарауя,замечаемльныектеристики:	ω = 0 числеравплощадинсино
а)спектральнаяплотностьвточке	ω = 0 числеравплощадинсино	гнала

∞	E		∞ E			−α	t

∫ Ee−α t dt =		,	∫		e
	α			2
0			−∞

б)спектрплотностьзальнтухувеличениемачастотыяетбезпул“ саций”,т.к.исследусигналыимконечнуюмютэн,енобескргию теоретическуюдлительность.

Втаблице3представлены.3 аналитическиеграфичмод ские личныхсигналоввовременнойчастотнойобластях.

3Энергетич.5 характнеперристикисксигнодических

Энергиюнеперс мгналаодичжнопркакеповремескогоделить ному,такипоспектральномупредставлениям:

	E		∞ E			−α	t	sign(t )dt = 0;
	E		∞ E			−α	t
dt =		,	∫		e
dt =	α	,	∫	2	e
			−∞					ь-
								ь-
								онечную
								раз-
								алов
								н-

∞

Э = ∫s2 (t )dt ,

−∞

∞

Э = ∫ s(t )

∫S(ω )e jω t dωdt =

∫ S(ω ) ∫s(t )e jω t dtdω =

2π

−∞

(ω )

∞

2π

∫S

(ω) S

(ω)dω ,

−∞

∞

(ω)

∞

(ω)

Э =

2π

∫

dω =

∫

dω.

−∞

(3.26)

(3.27)

Квадратмодуляспектральнойплотсигналаостиазываетсяэнергет					и-
ческимспектром	WS (ω ):
	WS (ω)= S(ω) S (ω)=		S(ω)	2 .	(3.28)
	WS (ω)= S(ω) S (ω)=		S(ω)	2 .	(3.28)
Реальсигимнныеалытолют		ьконечнуюэнер,ноиогиюран			и-
ченнуюдлительность,а,следовательно,		– бесконечныйспектр.Напрактике
требуетсянетолькоопределполнуюэнерсиг,нотьиналаценитьюпол					о-
сучастот,занимаемуюсигналом.Дляпринятияобъективногорешения					с-
пользуютэ	нергетическийкритерий:вводяткоэффициентиспользования				λ

энерси.Выбираютгналаиизначениекоэффициентаиспользования

λ = 0,9 0,99.

Подширинойспектрапонимаютэффективнуюполосучастот

ωЭ ,в

пределахкотсосредоточенайсновнаячастьэнерсиг(налаии

90%÷99%),

ирассчитываютееизуравнения

ωЭ

∞

(3.29)

Эλ =

∫

(ω )

dω = λ

∫

S (ω )

dω .

Времпредснноесигтакжеваласопределенониегдаконе

ч-

нойдлительностью

импульса.Например,сигнал,предстсобойавляющий

з-

рядкондчрезирезнсатораэк( поненциальныйимпульс), б скет

о-

нечнуюдлительность.Поэтомудлясигналвводяттакжеп энергетнятие

и-

ческойэффективной( )длительности

τ Э .Эн ергетичдлительностьюской

τ Э

назыинтервалремают,пределахкоторогонизаключеосновчастьная

энерси.Коэффицгналаии,обозначающийучитываемуюентчастьэнергии,

обозначимтакже

λ .Длярасчэнергетичта

ескойдлительностисигнала

с-

пользуютуравнение

t1 +τЭ

∞

Эλ =

∫

s2 (t )dt = λ ∫s2 (t )dt .

(3.30)

−∞

Пример3.3

− Расчетэнергетичпарамодиночногоэкспонетровских

н-

циальногоимпульса

Математическоеописанэкспоненцмпульсавовремениального

егоспектральнаяплотность

известныпримера3Графические.2.модели

имеютсявтаблице3Откуда.2.

s(t) = Ee−α t , t ≥ 0,

S(ω)=

,−∞ <ω < ∞.

α + jω

Учитываемаячастьэнергии

λ составляет 90%.Дляопределенияэне

р-

гетическойдлительности

τ Э воспользуемсяуравнением(3.30):

∞

τ Э

0,9 ∫ E 2e−2α t dt = ∫ E 2e−2α t dt ;

E 2

e−2α t

∞

E 2

e−2α t

τ Э

0,9

;

− 2α

0,9 =1 − e−2α τЭ ;

τЭ

ln10

=1,15

2α

Дляопределенэнергетическойполосычастотя

ωЭ

воспользуемся

уравнением(3.29):

0,9

∞

E 2

dω =

ωЭ

E 2

dω ;

∫

2 +ω 2

α 2

+ω 2

0,9

E 2

arctg ω

∞

E 2

arctg ω

ωЭ

;

ωЭ

0,45 =

arctg

α ;

6,3

= α tg(0,9 π

) ≈ 6,3α ;

α ≈α .

2π

Энергетическиепараметрыэкспоненциальногоимпокульсазаны рисунке3.4.

s(α t )	E			S(ω α ) E α
	E
	0,61 E				0,707 E α
			0,316 E		0,45 E α
			0,22 E		0,157 E α
0	0,5	1	1,5 α t	0	1 2 3 4 5 6	ω α
	τЭ = 1,15 α				ωЭ = 6,3 α
	Рисунок3.4		– Энергетическиепараметрыодиночного
			экспоненциальногои	мпульса

3Гран.6 применимостицыпреобразованийФурье иво зможностиихрасширения

	ПреобразованияФурьеописываютсвязьмеждуспекплотнральной					о-
стью	S(ω) инеперсигналомодическим			s	(t ),полу ченнымизпериодич	е-
скогопри	T →∞,поэтому			T
скогопри	T →∞,поэтому
		lim		s(t ) = 0 .		(3.31)
		t	→∞			(3.31)

Результатыаналрядаиинтегрируемыхповыхзасигналовприведены таблице3.3.

Таблица3.3

− ПреобразованиеФурьеабсолютноинтегрируемыхсигналов

Сигнал s(t)

Спектральнаяплотность

S(ω)

Аналитическое

Графическое

Аналитическое

|S(ω)| −АЧХ, ϕ(ω) −ФЧХ

представление

s(t)

АЧХ

1/α

−α t

π/2

0.7/α

s(t ) = e

(t)

S(ω)

α + jω

ФЧХ 0

ω -π/2

s(t)

1/αe

АЧХ

1/α2

0.5/α

s(t ) = te−α tσ (t)

S(ω) =

(α + jω)2

ФЧХ 0

1/α

-π

s(t)

2/α

2α

1/α

s(t) = e

−α t

S(ω) =

2 + ω 2

ϕ(ω)=0

s(t)

-2π/τ

2π/τ

1,| t |≤

sin

ωτ

s(t ) =

-τ/2 0

τ/2 t

S(ω) = τ

ωτ

0,| t |>

sinωmt

s(t)

,| ω |< ωm

ϕ(ω)=0

π/ωm

s(t ) =

-π/ωm

ωmt

S(ω) = ωm

0 π/ωm t

ωm 0

ωm ω

0,| ω |> ωm

| t |

,| t |≤

s(t)

ωτ 2

-4π/τ

τ/2

4π/τ

−

/ 2

sin

s(t ) =

S(ω) = τ

ωτ

0,| t |>

-τ/2 0 τ/2 t

ϕ(ω)=0

2τ/π

cos(ωot ),| t |≤

s(t)

ωτ

-3π/τ

3π/τ

s(t ) =

cos

0,| t |>

S(ω) = 2ωo

ωo2 − ω 2

τ =

-τ/2 0

τ/2 t

0 -π

ωo

−

t 2

s(t)

−

σ 2ω 2

2π

2π e

s(t ) = e 2σ

S(ω) = σ

ϕ(ω

)=0 0

s(t)

) +

1/2α

S(ω) =

α + j(ω − ω

π/2

s(t ) = (e−αt cosωot )σ (t)

-ω0

ω0

j(ω + ωo )

α +

-π/2

Первусл(3оследуетвие.31)трактоватькакконечностьпереходных

процессов

линейныхсистемах.

∞

∫

s(t )

dt ≤ M

(3.32)

−∞

Втсоотношениерое(3свидетельствует.32)конечностиэнергииси

г-

наиявляаиусловиемтсяфизическойгореализуемости.

УсловДир(3и(.я3хлезначитель1).32)снижаюткласссиг, алов

которымпри

менимыпреобразФурье.Одна,тотакжечноваепия

е-

риодическимсигналамбылипр рядыФуененыи(врезультатеьеполуч

е-

ныпреобразованФурье),кпериодсигналампримческимяняютобр

а-

зованияФурье.

Рассмотримизмененияспектхаральнойктерист

икиодиночногопр

я-

моугольногоимпульсарисун( 3вдвух.5)предельныхкслучаях:

во-первых,приувеличениидлительностиимпульсадобесконечности

(пер еходкпостояннойсоставляющей);

во-вто,пуменьшриыхдлитимпельнниидонуляприодньсасти

о-

∞

временном сохраненииплощадимпульса

( ∫s(t )dt =1).

Каппаратуобобщенныхфункций,вчастносдельтаи

−∞

– функциям,

прихообращатьсявдивухтсядеальныхмоделя:при

τ → 0 ипри

τ → ∞ .

Толькопри

τ → 0 дельта – функцвозникаобластивремя,епринной

τ → ∞ дельта−функцияобразуетсявчастотнойобласти.

Применяяфильтрующеесвойстводельта

–функцийпривыполнении

преобразованийФурье,получим:

∞

Ф+[δ (t )]= ∫δ (t )e− jω t dt =1, − ∞ <ω < ∞;

−∞

∞

Ф−[2π δ (ω)]=

∫2π δ (ω)e jω tdω =1, − ∞ < t < ∞.

2π

−∞

Спектхарактеристикадельтальная

–функцииравна1всехчастотах,

т.е.полосачастотравнабескон.Спехарактеристикачноспостльная

2π

( ),т.е.равнабесконечностипри

ω = 0

о-

яннойсоставляющейравна

δ ω

равнулюнавсехадругихчастотах.

					79
			δ (t )			1
		0		t	0		ω
			1			1	2π
			τи			1	2π
			τи				τ
							τ
	− τ	0	τ	t	0		ω
		2	2
			E			2Eτ	π
							π
		0		t	0	4Eτ	τ
	−τ	0	τ	t	0	4Eτ	ω
	−τ		τ				ω
			E				π
							2τ
− 2τ		0	2τ	t	0		ω
			E =1			2π δ (ω)
			E =1
		0		t	0		ω
Рисунок3.5	− Времиспектральноенноепредставленияпроц образсса						о-
ванияодиночногоимпувдельтса					−функциюпостсоставляющуюянную

3Спектральное.7 представлениенекоторыхнеинтегрируемых сигналов

Условинтегрируемостиабсолютнойсигналовможноненарушать,
еслипредварительнопреобразоватьнеинтеси.Нагрисункеналрируемый3.6	s1(t ), s2 (t ) иинтегрируемыесигналы						s3 (t ), s4 (t ):
показанынеинтегрируемые	s1(t ), s2 (t ) иинтегрируемыесигналы						s3 (t ), s4 (t ):
s (t )= lim s		(t )= lim e−α			t	,


1	α →0 3	α →0
s2 (t )= lim s4 (t )= lim e−α			t	signt .


	α→0	α→0
Результатыаналрядаинеинтеповыхзасигпналоврируемыхвед							е-
нывтаблице3.4.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 278 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023126.95 Кб02750.pdf
#
05.02.2023249.87 Кб02753.pdf
#
05.02.2023466.68 Кб0279.pdf
#
13.02.20212.11 Mб12790.pdf
#
13.02.20211.28 Mб172797.pdf
#
13.02.202124.88 Mб22798.pdf
#
05.02.2023441.35 Кб2280.pdf
#
05.02.2023145.68 Кб02825.pdf
#
05.02.2023436.03 Кб02837.pdf
#
05.02.2023214.23 Кб02838.pdf
#
05.02.2023294.91 Кб02839.pdf