Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2798

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

24.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2715 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

140

Пример6.3

Взаключени ерассмотримцепь,изобнаисункеаже6.3 .ную

u1(t )	u2 (t ) = y(t )
1	2
x(t)	y(t )

Рисунок6.3

ЗапишемуравнениеКирхгофадлядвухобозначенныхузлов.

1) Длятоков,вытекающихизпервузла, оголучим

1	t	[u (τ ) − x(τ )]dτ +	1			1	[u (t) − y(t)]= 0.
	∫			u	(τ ) +

L		1	R	1		R	1

−∞

2) Длятоков,вытекающихизвторогоузла,найдем

R1 [y(t) − u1(t)]+ L1 ∫ y(τ )dτ = 0,

−∞

u1(t ) = y(t) + RL ∫ y(τ )dτ .

−∞

3) Составуравнениеэлектрическогояемравновесия

t t

y(t) +

∫ y(τ )dτ +

∫ ∫ y(τ )dτ =

∫ x(τ )dτ ,

−∞

−∞ −∞

−∞

d 2

y(t )

+ 3

y(t ) +

y(t ) =

x(t ).

dt 2

Полученодифференциальноеуравнениевторогопорядка.

141

6Методыалгебраизации.2 дифференциальногоуравнения электрическогоравновесия

6.Метод2.комплексных1 амплитудМКА()

Сутьметодазаключавтом,чтовмпроизвольныхестотся
вещественныхсигн		алов x(t) и y(t) навходеивыходеЛЭЦрассматриваются
комплексныегармоническиесигналы					x(t) и y(t) вида
					jωt
		x(t )= X m e
		y(t )= Y	e jωt			,
		y(t )= Y	e jωt
		m
		- комплексныеамплитудыгармоническихсигналов
где X m	и Ym	- комплексныеамплитудыгармоническихсигналов
произвольнойчастоты		ω .
					jϕ x
		X m = X m e
				jϕ y		.
				jϕ y
		Ym = Ym e
Подставляядифференциауравнение(6комп.4)моделиьноеексные
(6получим.5),алгебурааическое			внение

(6.5)

(6.6)

jω t

[αo + α1 ( jω)+ α2 ( jω)

+ …+ αn ( jω) ] X m

(6.7)

= [β

+ β

( jω)+ β

( jω)2 + …+ β

( jω)m ] Y

e jω t ,

где

jωt

α1

(t ) = α1

(X m e

)= α1 ( jω) X m

;

d n

jωt

αn

(t ) = αn

(X m e

)= αn ( jω)

X m

dt n

Такимобразом,

n-кратноедифференцированиекомплексного

гармоничесигналакогоповремениприводиткумно

жениюкомплексной

амплитуды

намножитель

.Комплекснаяфункция

jωt

входит

X m

( jω )

качестве омножвправуюилевуютелячалгебстиураивниченияского неоказыв аетвлияниянарешение.

Выразимот ношениекомплексныхамплитудчерезпараметрыцепи.

142

+ α ( jω) + α

( jω)2 + …+ α

( jω)n

+ β

( jω) + β

= K (ω).

X m

( jω)

+ …+ β

( jω)

Получившаясякомплефункциясная

K(ω)называсистетсямной

функциейЛЭЦ.Системнаяфункцияцепи

K(ω)связываеткомплексные

амплитудыгармосигналоввходеическихвыходелинц йнойпи

Ym = K (ω)

X m.

K(ω)зависитнетолькочастоты,ноипарамеэлектровической

цепи,входящихпосткоэффициентыянные

x(t) и

αn , βm .

Есигналыли

y(t) представляютсобойодноразмерные

комплексныемоделигармоничеснапряжений,тофунчастотыкихция

K(ω)называетсякомплекспередаточнойфу. кцией Винженерныхрасчетахкомпередаточнуюлексфу кцию

K(ω)находятме еориодамице,непейрибегксостаявлению дифференциальныхуравнений.

Пример6.4

Применяяметодкомплекамплитуд,раскомплекснуюсчитаных передаточнуюфун кциюЛЭЦ,изобнарисункеаженной6.2

1)ОбходявнешнийконтурЛЭЦ,получималгебуравнениеаическое

вида

Ym = X m − Im R − j 1C Im.

2)ОбвходкоЛЭЦня,устантуройсвязькомплекснымивим амплитудами

Um = X m − ImR ,

Im = R1 (X m −Um ), 3)Учтеминвертирхарактермасштабногоусилющийтеля

Ym = −K Um или Um = − K1 Ym.

4)Составималгебуравнениеэлектрическогоаическоеравновесия, связывающеемеждусобойкомплексамплитудысигнавходеаловые выходеЛЭЦ.

(6.8)

(6.9)

143

Ym = −

Ym −

X m +

jωCR

Ym 1

−

jωCRK

= −

jωCR

X m

X1m

K (ω) =

= −

(K +1) jωRC −1

X m

Представимкомпередатлексфувнуюкциюоказательнойчную форме,связывающеймеждусобмодульиаргумент,называемыетеории цепейамплитудно -частотнойАЧХ)ифазочастотной( ФЧХ) ( характеристикамиЛЭЦ.

			iϕ(ω)	,
	K(ω) = K(ω) e			,
где		K		− АЧХ,
где	K(ω) =			− АЧХ,
	1 + (K + 1)2 (ωRC)2
	ϕ(ω) = arctg(K + 1)ωRC − ФЧХ.
Нарисункеизображены6.4амплитудно				-частотныехаракт ристики
линейнойцепирисунок( содерж6.2),			ащеймасштабныйусилитель
различнымикоэффус циентамиления
K (ω )
K 1	K=1
		K=2
0.707		K=10
0.55		K=10
0.55
0.45
0.32
0.18
0.09
0	0.5 RC	1RC		ω
	0.5 RC	1RC		2 RC
Рисунок6.4	– Амплитудно-частотнаяхарактеристикаЛЭЦ,
	изобнарисункеаженной6.2

144

6.Частотный2.2метод

Частотметодбазинпредставленииыйуетсявходноговыходного сигналовихспектральнымиплотностями.

ВосновеметодалежприпрямоготменпреобразованияниеФурьек правойилевойчастидиффеуравненияенциального(6.4).

(αo + α1 ( jω) + α2 ( jω)2 + …+ αn ( jω)n + …) X (ω) = = (βo + β1 ( jω) + β2 ( jω)2 + …+ βm ( jω)m + …) Y (ω),

где

сигнала;

Φ[x(t)]= X (ω)- спектральнаяплотностьвходного

Φ[y(t)]= Y (ω)- спектральнаяплотностьвыходсиг. алаого

Врезультатеприменоспполучемнияктрахсоотношенияы

Φ α1

(t ) = α1

( jω) X (ω),

d n

Φ αn

dt n

(t ) = αn ( jω)

X (ω).

Алгебраическоеуравнение(6свя.10)

зываетмеждусобойспектральные

плотностивходноговыход. налогов

αo + α1 ( jω) + α2 ( jω)2 + …+ αn ( jω)n

Y (ω) = X (ω)

βo + β1 ( jω) + β2 ( jω) + …+ βm ( jω)

Спектральнаяплотсигналавыходеостьлинц йнойпи

произведениюсп

ектральплотсигналавходестий

комплекснуюп

ередаточнуюфункцицепи

K(ω).

Y (ω)= K(ω) X (ω).

Частотныйметодможнорассматриватькакпредельныйпереходот рядов ФукпреобразованиямьеФурье.

(6.10)

(6.11)

Y (ω)равна

X (ω)на

(6.12)

145

6.Опера2.3методрный
Операметосновдрннапредставленииываетсяйвходного
выходногосигналовихизображениямипоЛапласу.
СутьметодасостоитвприменпрямогоенииобразовЛапласк ания
правойилевойчастидиф				ференциальногоуравнения(6.4)
(α	o	+ α p + α		2	p2 + …+ α			n	pn		+ …) X (p) =
	o		1	2				n
= (β		o	+ β p + β			2	p2 + …+ β			m	pm + …) Y (p),
		o	1			2				m

где L[x(t )]= X (p) − изобрпоЛавходногопласужениесигнала; L[y(t )]= Y (p) − изобрпоЛавыходпласужениесиг; налаого

α1

y(t )

= α1 pY (p);

d n

( )

(

L αn

αn p

dt n

y t

Алгебраическоеуравнение(6связывает.13)междусобизображенияй

поЛапласудвухсигналоввходевыходеЛЭЦ.ИзображениепоЛапласу	Y ( p)
сигналанавыходеЛЭЦ	Y ( p)	равнопроизведеображениясигна алаию
входе X ( p)напередаточнуюфункццепи		K ( p) воператорнойформе
записи

Y (p) = X (p) K (p),

где K ( p)- передатфункцияЛЭЦвоператорнойчнаяформезаписи.

+ α p + α

p2 + …+ α

pn + …

K (p) =

+ β p + β

p2 + …+ β

pm + …

Пример6.5

ПрименяяпрямпреобразовЛаплас,определимпередаточнуюние

функциюЛЭЦ,изобнарисункеаженной6.3

d 2

R d

( ) +

( )

( ) ,

y t

L dt

y t

x t

dt 2

L dt

(6.13)

(6.14)

(6.15)

146

Y (p) p2

+ 3

p +

p X (p),

Y (p) = K (p) X (p),

K (p) =

2 + 3

p +

6Анал.3взаимодействиялинзц сигналамипийной,

описываемымиобобщенныфункциями

Представимсебелинейнуюсинулевымитемуначальными

условиями.Кртположим, гоме,чтосигналывходевыходесист

емы

одноразмерны.

Рассмотрвкачевходныхтвеигналовидеальныемобобщенные

модели:дельта

-функциюδ (t) иединискачныйок

σ (t)(рисунок6.5).

6.Импульсная3.1характеристикацепи

Откллинейнойсикснулевымитемы

начальнымиусловиями

воздействие δ -функцииназываетсяимпульснойхарактеристикой

g(t).На

рисункеформально6.5изображеныдвелинейныесистемы,безразмерная

K ( p).

передаточнаяфункцкаждойизравнаихя

(t )

g (t )

σ (t )

h(t)

K (p)

а)

б)

Рисунок6.5 – Предстимпульснпереходнойа)(в ениеб() характеристик

Импульснаяхарактеристика		– такая жеидеализация,как
порождающаяее	δ − функция.Размерностьимпульснойхарактеристики
совпадсразмерностьюет		δ −функции,т.е.образмерноститнавремени.
Сфизитозренияческойимпульснаякихара		ктеристикаприближенно
отображреакциюсистнвходнойимпульстмысигналеди ичнойый
площадиприусловии,чтоэффективнаядлительность		δ − образующей

	147
функциимногоменьшеэффективнойдлительностиимпульсной
характеристикисистемы.
ИзображениепоЛапласуимпульснойхарактеристикисовпадает
передаточнойфункцией	K ( p),таккакизображение						δ − функцииравно1.
Такобразомим, пульснаяхарактеристика							g(t)	ипередаточная
функцияцепи	K ( p) связанымеждусобойпрямымиобратным
преобразованиямиЛапласа:
	∞			− pt
	K (p) = L[g(t )]= ∫ g(t )e			− pt		dt

	0							6.16
		1	c+ j∞				.	6.16
			c+ j∞

	g(t ) = L−[K (p)]=			∫	K (p)e pt dp
	g(t ) = L−[K (p)]=	2πj			K (p)e pt dp
		2πj
			c− j∞
			c− j∞

6.Переходная3.2характеристика. цепи

Откллинейнойсикснулевымитемыначальнымиусловиями воздействединичногоск ачканазываетсяпереходнойхарактеристикой

Единискачокный – функциябезразмерная,поэтомупереходная характеристикатакжебезразмерна.

ИзображпоЛапласувхоединногосканиеравночногока

Переходная

арактеристика

h(t) ,ееизображение

передаточнаяфункцияцепи

K ( p) связанымеждусобойследующимобразом:

K (p)

∞

− pt

H (p) =

= ∫h(t )e

− K (p)

1 c+ j∞ K (p)

h(t ) = L

∫

2πj

c− j∞

ИзображенпоЛапласуиориспытатег яналысигнальныхов соответствующихимвременныххарактеристпредставленытабл6.2ицек.

h(t) .

1 p .

H ( p) и

6.17

ипереходнуюхарактеристику

		148
Таблица6.2	– Испытатсигнаврехарактеристикилменныеьные
ЛЭЦизоб( оригиаже) нияалы
Название		ИзображениепоЛапласу					Оригинал

δ − функция			L[δ (t)]= 1				δ (t ) = L−[1]

Единискачокный			L[σ (t)]=		1	p	−
Единискачокный			L[σ (t)]=			p	σ (t) = L 1 p


Импульсная		L+[g(t )]= K (p)					g(t ) = L−[K (p)]
характеристика		L+[g(t )]= K (p)					g(t ) = L−[K (p)]
характеристика

Переходная		+	[h(t)]=	K(p)			− K(p)
характеристика		L	[h(t)]=			p	h(t) = L	p
характеристика

Переходнимпульснаяи хар существуютктеристикитолькопри

t ≥ 0 ,таккакоткликинем гутпережатьвоздействия.Переходная импульснаяхарактеристсвязанымеждусобойтакже, иавходныеки воздействия, аименно:

	t
σ (t ) = ∫δ (τ )dτ
	−∞		(6.18);

δ (t ) =	d	σ (t )


	dt

Взаключение,пользуясьсвойствамипр обрЛаплас,з зовпишеманий предельныесоотнош,связывающием собойждунияпередаточную функцию K ( p)

h(t ) = ∫ g(τ )dτ

−∞ .

g(t ) =	d	h(t )

	dt

h(t) .

		t	t
lim K (p) = lim		∫hʹ(τ ) e− pτ dτ = ∫hʹ(τ ) lim e− pτ dτ = lim h(t),
p→0	p→0	0	0		p→0	t →∞
	lim		p H (p) = lim K (p) = lim h(t )
	p→0		p→0		t →∞
	lim		p H (p) = lim			.
	lim		p H (p) = lim	K (p) = lim h(t )
	p→∞		p→∞		t →0

(6.19)

(6.20)

			149
6.Передаточнаяфункция3.3 цепи
Сравниваямеждусобойвыражения
Сравниваямеждусобойвыражения					K ( p)и K(ω)(соответственно
формулы(	6.и15)(6необход.8)),заме,чтоэнепростоитьмозамена
переменных jω = p,апереходсмнимойоси(					jω )навсюплоскость
комплексныхчастот		p = c + jω.
Передаточнаяфункция		K ( p)представляетсо			ботношейполиниеомов
целыхположитстепенейльных		p ,где m ≥ n.
		K (p) =	A(p)	.
		K (p) =		.
			B(p)
Коуравнения		A( p) = 0называютнулямипередаточнойфункции

обозначают po1, po2 передаточнойфункцииобозначают

навсейплоскости корзнаменателяи

Преобразовавчислитель полюсноепредставлениепередаточнойфункции

, po3…Коу.равнения

B( p) = 0 называютполюсами

p1, p2 , p3 …Функция. K ( p)аналитична p ,заи сключениемконечногочислаточек,являющихся

B( p),тоестьполюсами.
A( p) изнаменатель B( p),полнучаемль	-

K (p) = M o (p − po1)(p − po2 )…(p − poL ),

(p − p1)(p − p2 )…(p − pN )

где L − числонулей; N − числополюсов.

6Практ.4 прикшестойческложениеглаве

6.Расчет4.передаточных1 функлинцепейиййных

Рассмотримпростейшцепи,изобнариаженныесунке6.6

б)

в)

Рисунок6.6

− Простейшиецепи:а)

−интегрирующая;б)

−дифференцирующая;

в) −последовательныйколебательныйконтур

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2715 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023126.95 Кб02750.pdf
#
05.02.2023249.87 Кб02753.pdf
#
05.02.2023466.68 Кб0279.pdf
#
13.02.20212.11 Mб12790.pdf
#
13.02.20211.28 Mб172797.pdf
#
13.02.202124.88 Mб22798.pdf
#
05.02.2023441.35 Кб2280.pdf
#
05.02.2023145.68 Кб02825.pdf
#
05.02.2023436.03 Кб02837.pdf
#
05.02.2023214.23 Кб02838.pdf
#
05.02.2023294.91 Кб02839.pdf