Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2798

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

24.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 279 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Таблица3.4	− ПреобразованияФурьесигналов,описываемыхобобщеннымифункциями
			Сигнал s(t)			Спектральнаяплотность
			Сигнал s(t)			Спектральнаяплотность				S(ω)
Аналитическое			Графическаямодель		Аналитическоеописание
описание			Графическаямодель		Аналитическоеописание				\|S(ω)\|-АЧХ, ϕ(ω)-ФЧХ
описание
			s(t)								1
			s(t)	δ(t)
s(t) = δ (t)				δ(t)			1
s(t) = δ (t)						S(ω) =	1			0	ω
			0	t						0	ω
			0	t						ϕ(ω)=0
s(t) = 1			s(t)	1							2πδ(ω)
											2πδ(ω)
					S(ω) = 2πδ (ω)
			0	t						0	ω
		t	s(t)	1			2				80
s(t ) = sign(t ) =		t					2				80
		\| t \|				S(ω) =				0	ω
		\| t \|	0	t		jω			π/2	0	ω
				-1						0	ω
			s(t)								1
			s(t)
s(t ) = 1					S(ω) = − j sign(ω) =
s(t ) = 1			0	t	= −	jω			π/2	0	ω
π t			0	t	= −	\| ω \|			π/2	0
						\| ω \|				0	ω
										0	ω
			s(t)	1				1
s(t) = σ (t)								1
s(t) = σ (t)					S(ω) = πδ (ω)+			jω	π/2	0	ω
			0		t			jω	π/2	0	ω
			0		t					0
										0	ω

s(t)

δ(ω+ωo)

δ(ω-ωo)

S(ω) =

δ (ω − ωo ) +

s(t ) = σ (t )cosωot

ωo ω

+ δ (ω + ωo ) +

ω02

− ω

π/2

s(t)

πδ(ω+ωo)

πδ(ω-ωo)

s(t ) = cosωot

S(ω) = πδ (ω − ωo ) +

+ πδ (ω + ωo )

ωo 0 ωo ω

1 [δ (t + to )+ δ (t − to )]

δ(t+to)s(t)

-π/2to

s(t)=

δ(t-to)

π/2to ω

S(ω) = cosω to

-to 0

0 -π

∞

s(t)

δ(t-T)

∞

s(t ) = ∑δ (t − kT )

∑δ (ω − nω1 )

S(ω) = ω1

k =−∞

n =−∞

2π

T =

ω1

ω1 =

ω1 ω

Пример3.4 − Расчетспектральплотностейсигналов,изображеых ныхнарисунке3.6.

s1(t ) 1

s3 (t ) e−α t

Рисунок3.6 − Графмоделическиентегрне нтруегрируемых сигналов

н-

s2 (t )

0	t

s4 (t ) e−α t sign(t )

ПрименяяпрямпреобразованиеФурьекинтегрируемомусигналу s3 (t ),получим

∞

−α

− jω t

(α − jω )t

∞

−(α + jω )t

∫e

dt =

∫e

dt + ∫e

S3 (ω )=

−∞

(α − jω )t

−(α + jω )t

∞

2α

−

jω

α + jω

α − jω α + jω

+ ω

α −

−∞

Переходякпределупри

s1(t )

α → 0,найде мспектральнуюплотностьнеи

н-

тегрируемогосигнала

2α

ω ≠ 0,

S1 (ω) = lim

Функциястакимисвойствамиотноситсякдельта

α→0 α 2 + ω 2

∞, ω = 0.

−образующимфун

к-

циямтаблица( 1Учитывая.1)усл. нормировкивие,получим

∞

2α

∞

dω = 2arctg

= 2

= 2π ,

∫ α 2 + ω2

−∞

			83
S1	(ω) = lim	2α		0,	ω ≠ 0,
				=
		2 + ω		=
	α→0 α	2 + ω	2	2π δ (ω), ω = 0.

Спектральнуюплотностьсигнала

s2 (t ) опредтакимжпуте.лим

ПрименяяпрямпреобразованиеФурьекинтегрируемомусигналу

s4 (t ),получим

∞

−α

− jω t

(α − jω )t

∞

−(α + jω )t

sign(t )e

∫− e

dt +

∫e

S4 (ω )= ∫e

−∞

− e

(α − jω )t

−(α + jω )t

∞

− 1

2ω

= − j

α − jω

jω

+ ω

−∞

− (α + jω )

α − jω α +

Переходякпределупри

α → 0,найдемспектральнуюплотностьнеи

н-

тегрируемогосигнала

s2 (t) = sign(t)

2ω

S2 (ω )= lim − j

= − j

α 2 + ω 2

α →0

jω

Пример3.5

− Расчетспектрплотностигармоническогольнлебй

а-

ния s5 (t ) иради оимпульса s6 (t ),изобнарисункеаженных3.7.

s5 (t )

s6 (t )

Рисунок3.7

− Моделирадиосигналов

(t )= cosω

(t )= e−α t

cosω

(t )= lim s

(t )= lim e−α

cosω

t .

α→0

s6 (t ),полу чим

ПрименяяпрямпреобразованиеФурьексигналу

S6 (ω)=

∞e−α

cosωot e− jω t dt =

∞e−α

(e jωot + e− jωot ) e− jω t dt =

∫

∞

−∞

∞

−∞

∫e−α

e− j(ω −ωo )t dt +

∫e−α

e− j(ω +ωo )t dt =

−∞

[α − j(ω −ωo )]

−[α + j(ω −ωo )]

∞

−

α + j(ω − ωo )

α − j(ω − ωo )

−∞

[α − j(ω +ωo )]

−[α + j(ω +ωo )]

∞

−

α + j(ω + ωo )

α − j(ω + ωo )

−∞

+ (ω − ωo )

Переходякпределупри

α → 0,получимспектральнуюплотностьга

моническогоколебания

s5 (t )= cosωot

+ α 2 + (ω + ωo )2 .

р-

S	(ω) = lim			α

				+ (ω − ω		)2
5	α→0	α	2		o

3Выводы.8

= πδ (ω − ω

)+ πδ (ω + ω

+ lim

+ (ω + ω

α→0

1. Преобразования Фустанрьевзоднозначноевливаютимносоо							т-
ветстмеждувспособамиумяиеописанияфизическогопроцесса.Один
нихотображаплоскостиисследуеявл нием“гновеноезначеноеи							–
время”,авторой	– вплоскостиамплитуда“		– частота”.
2. Переходотвременн		огопредставлениякчастотномуспектральной(
плосуществля) тнопомощьютипрямогопреобразованиятсяФурье.Если					дискретный,еслинеп
анализисигналперу,теоспектргомыйдический		сплошной.			дискретный,еслинеп		е-
риодич,тоегоспескийктр		сплошной.				s(t ),то
3. Есигналлиописываевеществеся				ннойфункцивремений		s(t ),то
спектральнаяплотность		S(ω ) являетсякомплефун,которойциесной
действительнаячасть	– четнаяфункциячастоты,мнимая					– нечетнаяфун	к-
циячастоты.
4. Сигнал s(t ) можетбытьнечетным, илиобщеговида.Сигнал
общеговидаравенсуммечетнойи четнойсоставляющих.Спектральная
плотность четного сигнала – вещественная,				четная функциячастоты.Спе			к-
трапльнаяотность	нечетного сигнала – мнимая,				нечетная функциячаст		оты.
5. ПреобразованияФуп именьекфизическиреалмыгнзуемым							а-
лам,энергиякото.Расшинечнарыхгранпрениепрменимостицобраз							о-
ванийФурьедостигаетсяпомощьюобобщенныхфункций.

4 ТЕОСПЕКТРАХРЕМЫ

4Сложение.1 сигналов
ПреобразованиеФурье		– линейнопер,поэтомувзвешенноеациясу
мированиесигналов
	sΣ (t) = ∑γ n sn (t)
		n
приводитквзвешенномусуммированиюспектральныхплотностей
SΣ (ω) = ∑γ n Sn (ω),
		n
где γ n − посткоэффициентянный.
Тесложениирема		– единсизвсехтомвенная,чтоыслепреобр
зованиесигналаповременисовпреобразовадаетспектральнойнием
плотностипочастоте:
			∑γ nSn (ω),
Ф+ ∑γ nsn (t) = ∑γ nΦ+ [sn (t)]=			∑γ nSn (ω),
		n	n
n		n	n

Ф− ∑γ n Sn (ω) = ∑γ n Φ− [Sn (ω)]= ∑γ n sn (t).
n	n	n

Сложениеспектральныхплотностейпроисхпозакконаммплекдит ногопредставления

SΣ (ω) = ∑γ n An (ω) − j∑γ n Bn (ω).

Суммарныйсигнал

АЧХ = SΣ (ω) =

sΣ (t)имеспектхаравидальныектеристики:

				2					2	,
	∑	γ	A (ω)		+	∑	γ	B (ω)		,
	∑		n n			∑		n n
	n					n

∑γ n Bn (ω)

ФЧХ = ϕn (ω) = −arctg	n	.
ФЧХ = ϕn (ω) = −arctg		.
∑γ n An (ω)

	n

м-

(4.1)

(4.2)

а-

(4.3)

(4.4)

с-

(4.5)

(4.6)

(4.7)

4Теоремасдвига.2

Смещенвременисигналаво незменяетегоэнергетическиххаракт

е-

ристик,поэтомуамплитудныйспектрнеменяетсярисунок( 4Изменения.1).

произойдуттольковфазспектре.вом

[s(t − t

)]=

∞

s(t

− t

− jω t

dt =

∞

s(t − t

− jω(t −t з )

− jω t з

∫

d (t − t

)

= S (ω)e

−∞

[

]

± jω tз

j[ϕ(ω)± jω tз ]

± tз )

= S(ω)e

S(ω) e

(4.8)

s(t

Есигналлиперемещаетсяпозакону

±ω tз ,т.е.

(t ± tЗ ),тофазовыйспектр

ϕ(ω )

полинейноеучаетприращение

ФЧХ = arg Φ+ [s(t ± tз )]= ϕ(ω) ± ω tз .

(4.9)

Неизменносмодуляговт,чториамплитудныйь

спектрнезав

и-

ситоположениясигналавовремени.

а)

S(ω)

Eτ

− τ

−ω

−

4π

−

2π 2π

4π

ϕ(ω)

б)

−ω

−π

ϕ(ω)

−ω

Рисунок4.1

− Времиспектральноенноепредсигналоввухтавления,

одинизкоторыхб()задержанотносительнодругогоа

4Следствие.3 теорем4.1, 4.2

Следствием первыхдвухтеоремявляетсявозможностьсформулировать

условиянеискажепередачисигпокансвязиалан.ойалу

Сигналвыходеканаласвязирисунок( 4считают.2)неискаженным,

(t ± tз ) ,сигналвы

если,начинаянекоторогомомвременинта

ходе

sвых (t) сточндопостмножителяьюоянногосовпадK сигналомет

входе:

				87
		sвых (t) = K s(t ± tз ).								(4.10)
Спектральныеплотсигналоввходеостивыходеканаласвязи
имеютвид:
		Φ+[s(t)]= S (ω) ,								(4.11)
		Φ+[sвых (t)]= Sвых (ω) = KS(ω)e− jω t з .								(4.12)
Отношениеспектральныхплотностейпозвсудитькомплекснойляет
передаточнойфункцииканаласвязи
передаточнойфункцииканаласвязи				Kкc (ω) .
			Sвых (ω)		− jω t	з
				= Ke		з	.			(4.13)
		Kкc (ω) =	S(ω)	= Ke			.			(4.13)
			S(ω)
s(t)		sвых (t)	Kкс (ω)						K(ω)
s(t)		sвых (t)	K
Kкс (ω)		o	ϕкс (ω)			ω		o	( )	ω
		o	ϕкс (ω)					o	ϕ ω	ω
		o				ω		o		ω
			а)						б)
Рисунок4.2	− КаналсвязиРисунок4.3			− а)АЧХиФЧХидеального						канала
					связи;
				б)АЧХиФЧХреальногоканала
					связи

Амплитудно-фазочастотныеи характеристикиАЧХ( ФЧХ)
идеальнканаласвязиизонагображрисун4.Р.3еальныйканалесвязи,
АЧХиФЧХкоторогоизображнарисунке4,.пропускает4ныпостоя				н-
ныйтокизаваливает“ ”низкоч		астотныеставляющиеспсигнктра.Во ла		б-
ластиверхнихчастотсказываетсяинерционэлемебазы,поэтнтностьмуй
непроходятвысокочсостспекастовляющиесигн.Идеальныйтраныекла				а-
налсвязивсегармсоничставляющиесп скиектра			задерживаетнаодин	а-
ковоевремя	.Реальканалсвязиизкочастотныеыйсоставляющиеторм“			о-
зит”,авысокочастотные		– “ускоряет”.
4Из.4 масштабаенениевремени
Однаизосновныхпрактичзадачпередачиинформациискихнара				ссто-
яниесвязанаповышскоростие.реданиемПр, ичеми			впробрцессе	абот-
кисигнал	s(at) либосжимаетсявовременипри(		a >1),либорастягивае	тся
(при a <1).

Φ+[s(t)]= S (ω) .

		88
		∞	1		ω
	Φ+[s(at)]= ∫s(at)e− jω t dt =		1	S	ω

			a
		−∞	a		a
Умножениеаргумента		t наположительноечисло
ниюаргумента	ω натакоежечисло.Такимобразом,сжатие””сигналаво
времениприводиткрастяжен” ”спектранаоборот(июсунок4.4).

(4.14)

a приводиткдел

е-

s1 (t)

e−α t

0.1

τ1 = ln(10)α

s2 (t) = s1 (2t)

e−2α t

	0.1	t
	τ2 = ln(10)	t
	τ2 = ln(10)	2α

	1
	α
		0.7
		α
0		ω
	ω1
	12α	0.7 2α
		0.7 2α
0		ω
	ω2	ω
	ω2

Рисунок4.4 − Времиспектральнноепредставсигналаприоеения изменениимасштабавремени

4Инверсия.5 сигналавовремени

Нарисунке4изображены.5 сигналыинвв емзеркалси( йни ныесигналы)безинввремениоерсии.

s1(t)

0 t

s1(−t)

t −τ

ь-

s2 (t)			s3 (t)			t

0		t	0	τ /	2
	τ
s2 (−t)		t	s3 (−t)			t

0			−τ / 2 0	τ / 2

Рисунок4.5 − s1(t ), s2 (t ), s3 (t ) – сигналыбезинввремениоерсии,

s1(−t), s2 (−t), s3 (−t) – зеркальныесигналы

ПрименяяпрямоепреобразованиеФурьексигналуин сией

мени,получим:

∞

− j

−

Φ +[s(−at)]= ∫s(−at)e− jω t dt = {− at = x}=

∫s(x)e

a dx =

− a

−∞

−

	+[s(−at)]=	1	S		ω
Φ				−		.
Φ		a		−		.
		a			a
Инверсиясигналавовремениприводитктому,чтоспектральнаяпло
ностьстановитсякомплексно	-сопряженнойфункцие.

Φ+[s(t)]= S (ω) = A(ω) − jB(ω).

Φ+[s(−t)]= S*(ω) = A(ω) + jB(ω) .

Применяярассмте,определимтреремуаналитическиенуювыраж нияд ляраспчектральплотностнечетнойтачети составляющихых

сигналаобщеговида	s(t).Результапредставленыанализа блице4.1.
Таблица4.1	− Аналитическоепредстасигналаобщегов дание
нечетнойи составляющи	хвовременнойичастотнойобластях

е-

(4.15)

т-

(4.16)

(4.17)

е-

s(t ) = sчет (t ) + sнеч (t )

S(ω) = A(ω) − jB(ω)

(t) =

[s(t)+ s(− t)]

Ф+[s

(t)]

[S(ω) + S*(ω)]= A(ω)

чет

( )]

[

]

( )

sнеч (t) =

[s(t) − s(− t)]

sнеч t

S(ω) − S

(ω)

= − jB ω

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 279 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023126.95 Кб02750.pdf
#
05.02.2023249.87 Кб02753.pdf
#
05.02.2023466.68 Кб0279.pdf
#
13.02.20212.11 Mб12790.pdf
#
13.02.20211.28 Mб172797.pdf
#
13.02.202124.88 Mб22798.pdf
#
05.02.2023441.35 Кб2280.pdf
#
05.02.2023145.68 Кб02825.pdf
#
05.02.2023436.03 Кб02837.pdf
#
05.02.2023214.23 Кб02838.pdf
#
05.02.2023294.91 Кб02839.pdf