Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2798

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

24.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 275 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

			40
	( )	A1 cos(ω1t + ϕ1 )						{An }	A1	A
	( )		(	+	ϕ2			)		A
	s t	A2 cos ω2t			ϕ2					2
		A cos(ω t + ϕ				3	)			A3
		3	3			3
								0	ω1	2ω1 3ω1	ω
								{ϕn }		ϕ3
									ϕ1	ϕ2
									ϕ1
								0	ω1	2ω1 3ω1	ω
Рисунок2.9	− СложениегармоникРисунок2.10								− Спектральное
									представление

Амплитуднымспектром( амплитуд)назысоваетсяокупность амплитуд {An } гармконическихлебан,изображввотрдейеннаязков

прямыхвдольчасто тновситочкй,кратнх ыхчастотепервойгармоники. Фазовымспектром( фаз)назысоваетсяокупностьначальных

фаз {ϕn } гармконическихлебан,изображввотрдейпрямыхеннаязков вдольчасто тновситочккратныхй, частотепервойгармоники.

2Эне.5 ргетическиехарактеристикигармолебанийнических

Еслигармконическоелебание напряжение,томгновемощностьная нииОм1,определитсяпоформуле:

pn (t)

Энергияn -гармоническогоколебаниянапериоде

sn (t ) представляетсобойтокили
pn (t ),выделяющаясянасопротивл		е-
= s2	(t).
n	T = 2π ω
	T = 2π ω	равна:
	1

		t1 +T			t1 +T
Э =		∫	s2	(t )dt =	∫	A2 cos2	(nω t + ϕ			n	)dt =
	n	∫	n		∫	n	1			n
		t1			t1
	t1 +T	A2						A2
=	∫	n	[1 + cos 2(nω1t + ϕn )]dt =					n	T.		(2.15)
=	∫	2	[1 + cos 2(nω1t + ϕn )]dt =					2	T.		(2.15)
	t1
Ввыраженииинтеграл(2от.гармоническойфункции15)
cos(2nω1t + 2ϕn ),согласно(2равен.5),						нулю,т.к.винтервалеинтегрирования

T = 2π		укладываетсяцелоечислопериодовинтегрируемойфункции
	ω1
T	= 2π	.Откуда
2n		(2nω1)
			A2 t1 +T
			n	∫	cos 2[nω1t + ϕn ]dt = 0.						(2.16)
		2		∫	cos 2[nω1t + ϕn ]dt = 0.						(2.16)
				t1
	Средняямощность			n−гогармоничсигналаопркеакделяетсяого
							Э		A2
					Pn	=	n	=	n	.	(2.17)
					Pn	=	T	=	2	.	(2.17)
							T		2
	Произведедвухгармок лебанийческих									sn (t )	и sm (t ) можно
трактокакмгновеннуюатьзаимнуюмощность										pnm (t )
				pnm (t )= sn (t ) sm (t ).							(2.18)
	Наиболеезамечательнымсвойствомг									армоническихсигналовявляется
тотфакт,чтоэнергвзаимодействия									Эnm двухлюбых(		n ≠ m )гармоник
равнанулю,еслиинтервалнтегриравенпепервойиодуованиягармоники.										и nω1 и mω1 нетпрудно е-
Произведениеухысшихгармоникчастотам										и nω1 и mω1 нетпрудно е-
образоватьсуммудвухгармконическихлебанийчастотами											(n ± m)ω1,
интегркоторыхнаированиентерваледлиной										T приведеткнулю,поэтому
		t1 +T			t1 +T
	Эnm = ∫ sn (t )sm (t )dt =					∫ An Am cos(nω1t + ϕn )cos(mω1t + ϕm )dt =
		t1				t1

	1		t1 +T
=	1	A A	∫	cos[(n + m)ω t + ϕ	n	+ ϕ	m	]dt +
=		A A		cos[(n + m)ω t + ϕ		+ ϕ		]dt +
	2	n m		1
	2		t1
			t1
	1		t1 +T
+	1	A A	∫	cos[(n − m)ω t + ϕ	n	− ϕ	m	]dt = 0.
+		A A		cos[(n − m)ω t + ϕ		− ϕ		]dt = 0.
	2	n m		1
	2		t1
			t1
Энергиясуммыгармконическихлебаний							ЭΣ равнасуммеэнергийо
дельныхслагаемых,таккакэнергвзаимодействия								Эnm равнанулю:

t1 +T

ЭΣ = ∫[sn (t )+ sm (t )]2 dt =

(2.19)

т-

t1 +T	t1 +T		t1 +T				A2
= ∫sn2 (t )dt + ∫sm2 (t )dt + 2 ∫sn (t )sm (t )dt =								n
= ∫sn2 (t )dt + ∫sm2 (t )dt + 2 ∫sn (t )sm (t )dt =								2
t1	t1		t1					2
t1	t1		t1

Эn		Эm		Эnm
	t1 +T N		2	N	A2
ЭN = ∫		∑sn (t ) dt = ∑			n	T .
ЭN = ∫		∑sn (t ) dt = ∑			2	T .
	t1			n=1	2
	t1	n=1		n=1

Вкурсевысшматсистемыйматифункций,обладающиеподобным свойством,называютсяортогональными.Гармк лебаническиекрат ияых частотортогональныинтевремепериоду, валеавпервойомгармон ки.

2Разл.6 ожениепроизвольпериодическогосигнала погарм оникам

Сложенгармоникприводитобразованепериодфункциис юческой нулевымсреднимзначением.Учтемв (2пост.14)составляющуюянную (н енулевоесреднеезначвведением) специальног

например ao 2 .Получимизвесматематикивыражениеное

		(t )=	ao		∞	cos(nω t + ϕ		).
s	Σ		ao	+	A		n
s				+	A
		2			∑ n	1
		2			n=1
					n=1
Перейдемккомплексформезапи.Ненсиреднеойулевоезначение
ao 2 обозначимкоэффициентом					Co .Сучетобо,примененныхзначенийв
(2преобраз.10),(2квиду.21) ем

+ m T ,

(2.20)

и-

окоэффициента,

(2.21)

			∞	jnω1t
				jnω1t	.	(2.22)
			sΣ (t) = ∑Cne		.	(2.22)
			n=−∞
Уместенвопрос,всякуюлипериодическуюфункцию						s(t ) можноа	п-
проксимирсуммойгарм никвать			sΣ (t )?Икакрассч			итатьпаргаметрырм	о-
ник:амплитуду	An ,частоту nω1,начальнуюфазу					ϕn ивеличинупостоянной
составляющей Co =		ao	?
составляющей Co =			?
	2						я-
Мгновензначенипогрешностиаппроксимоесигналопределации							я-
етсяразностьюмгновензначеисслнпыхийедуемогориодическогосигнала
s(t ) исуммыгарм	оник sΣ (t ):

∫e jkω1t e jnω1t dt = 0

				∞		jnω1t
						jnω1t		.
ε(t )= s(t )− sΣ (t )= s(t )− ∑Cne								.
				n=−∞
Определэнергпо решностиюм				ε(t ) запериод T
t1 +T		t1 +T		∞	jnω1t		2
Эε = ∫ε	2	(t )dt = ∫		∞	jnω1t		dt .
Эε = ∫ε		(t )dt = ∫	s(t )− ∑Cne				dt .
t1		t1		n=−∞

Найдемусловия,прикоторыхэнерпогаппроксимациирешностиияб детстремитьсякнулю.Потре,чтокоэффициентыбуем изусловминимумаэнерпояг.иирешнДляэтогпродифференцируести правуюилевчастиравненияю(2попеременным.24)

приравняемихкнулю.Запс уравненийстшем,каждоеизкоторых глядитследующимобразом:

	t1 +T			∞			2
∂					jnω1t			= 0 .
		∫	s(t )−	∑Cne		dt		= 0 .
∂Ck		∫		n=−∞
		t1		n=−∞

Выполнимдифференцированиекомплексномукоэфф

t1 +T

∞

jnω1t

jkω1t

dt = 0.

∫

2 s(t )−

∑

n=−∞

Осуществляяпочленинтегрирование, айдемое

t1 +T

jkω1t

∞

t1 +T

∫ s(t )e

dt − ∑

n=−∞

t1 +T

∞

t1 +T

∫ s(t )e jkω1t dt = ∑ Cn ∫e j(n+k )ω1t dt .

n=−∞

(2.23)

(2.24)

у-

Cn быливыбраны

Co ,C1,C−1,...,Ck и

ы-

(2.25)

ициенту Ck

(2.26)

или

(2.27)

Интегрируякомплефун,получимкснуюцию

t1+T

∫

0, n ≠ −k,	(2.28)
ei(n+k )ω1t dt =	(2.28)
T , n = −k.

Подставляя(	2.в28)(2определим.27),
Подставляя(	2.в28)(2определим.27),				Cn
	t1 +T
	∫s(t )e− jnω1t dt = Cn T						или
	t1
		1 t1 +T			− jnω1t
	Cn =	T	∫	s(t )e		dt.	(2.29)
			t1

Представимкомплексныйкоэффициент мнимойчасравнимтейс(2.11):

	1 t1 +T
Cn =	T	∫s(t )cos nω1tdt −
		t1

		1	a	n
		2		n


				Cn суммойдействительной
		t	+T
j	1 1		∫	s(t )sin nω tdt ,
j	T			s(t )sin nω tdt ,
	T				1
			t1		(2.30)

				1	b
				2	n

	1
	1						an = 2 ReCn
Cn =	2	(an − jbn ) ,								,
	2						bn = −2 ImCn
				1			1
								2	2
								2	2
			Cn	=	2	An =	2	an + bn ,
			Cn	=	2	An =	2	an + bn ,
									bn
		ϕn = arg Cn = −arctg							an .

Подвитоги,м сказатьдяжно,чтолюбойпериодичсигналможетский бытьаппроксибесконечнойсуммойгармоническихирован стояннойсоставляющей.Энергияпогрешностиаппроксимациистремится нулю,есликоличествога рмоникстремитсябесконечности.

Вматематическойспецл тературеальнразлпериодичжйние скогосигналапотригонометрическимлибокомплекснымф нометрическомулибокомплексномубазису)называютрядомФурье.Один ковошипрокоименяютсятриформызаписирядаФурье.Чащедругихв формулахдлярасчетакоэффприсимметричныеменяютциентовпределы

интегрирования ± T2 . Основныерасчетныесоотношенияпредставлены лице2.1.

(2.31)

олебанийп о-

е- ункцтр( игям о- а-

б-

Таблица2.1

– РядыФурьеирасчетныесоотношедлятригонияометр

и-

ческогоикомплексногобазисов

№

ФормызаписирядаФурье

Фодлярасчетамулыкоэффицие

н-

тов

∞

jnω1t

T 2

− jnω1t

( )=

s(t )e

s t

∑

∫

n=−∞

−T 2

1 T 2

s(t )dt

∞

= Co

∫

s(t )=

cos nω t +

−T 2

∑

T 2

n=1

an =

∫s(t )cos(nω1t )dt

∞

T −T 2

+ ∑bn sin nω1t

T 2

n=1

b =

∫

s(t )sin(nω t )dt

−T 2

∞

s(t )=

A cos(nω t + ϕ

)

An =

+ bn

= 2

∑ n

n=1

∞

ϕn = −arctg

= arg C

s(t )= Co + ∑2

cos(nω1t + ϕn )

(an − jbn )

n=1

2Анализ.7внутреннейструктурыпериодическогосигнала

Сравниваяпритаблицееденные2формы.1записирядаФурье

,в и-

дим,чтокаждаяизнимеетхсвоипреимущества,например:

∞

s(t )=

∑

cos nω t +

b sin nω t .

∑ n

n=1

sчет (t )

sнеч (t )

sчет (t ) − четнаявовремени

sнеч (t ) − нечетнаявовремени

составляющаясигнала

s(t )

составляющая

игнала s(t )

Любойсигналобщеговидаможетбытьпредставленсуммойчетнойи

s(t )= s(− t ) вразложениибудет

нечетнойсоставляющих.Четныйсигнал

иметьтолкосинусоставляющиеоидальные.Нечетсиг ый

s(t )= −s(− t ) вразложбудетимтолсинусоиданиитькосоставльныея

ю-

щие.Постояннаяоставлвходиттолькосоставющаячетнойкомпоненты

сигнала.

Есливедетсякомпьютерныйанал,тонаиболвыгоднымзпредставл

я-

етсякомплексныйрядФурьениверсальнойрасчетной

формулой(2для.29)

определениякомплексногокоэффициента

Cn .

блем:

Переходктригонрядуобщметрическомувиданвызываетгопр

о-

( )

= Co

∞

(

+ ∑2

(2.32)

s t

cos nω1t

+ argCn

Расчеткоэффициентовраз

n=1

ложениясущественноупрощается,если

е-

риодсигнческмеетразличныевидысиммй,претриидставленные

таблице2.2.

Пусматьематическоеописанпериодическогосигналаудовлетв ряет

равенству

s(t )= −s(t − T

(2.33)

Таксигналобладаетйзер

кальнойсимметрией,тоестьповторяетсяч

е-

резполовперспринуодативопзнаком. ложным

Есливматематическомопис

аниисигналавыполняеравенстсяво

s(t )= s(t − T

(2.34)

тотакойсигналповтолносрянечерезинтервалтсяью

T ,ачерез T 2 .

виду

Сучетом(2расчетная.33)фор(2м.29)ожетулабытьпреобразованак

1 t1 +T

− jnω1t

Cn =

∫ s(t )

dt −

∫ s(t

−

) e

dt =

T t

2 s(t ) e− jnω1t dt −

t1 ∫+T

s(t − T

) e− jnω1 (t −T 2) e

− jnω1 T 2 d (t − T

∫

T t

t1 +T 2

∫

s(t ) e− jnω1t dt −

∫ s(t ) e− jnω1t dt e− jnω1 T 2 .

− jnω1 T

2 1

− jnω1t

Cn =

1 − e

∫ s(t ) e

dt ,

1 − e− jnπ

n = 2,4,6...

n = 1,3,5...

∫

s(t) e− jnω1t dt, n = 1,3,5...

n = 2,4,6...

Втаблицах2.2приведенымодели2.3 пери		одическихсигналовсоо
ветствующиеимрасчетныеформулыкоэффициентовразложениядляразли					= T
ныхвидовсимметротносдвухточи: иельнок	t	= 0	и t	2	= T	.
	1			2	4

2Энергетич.8 характпериодическогорскиестикигнала сложнойф ормы

Если s(t ) представсобойнапряжениелток,яетквадратсигнала

s2 (t ) численравемгновеннойщности

ps (t ),рассеиваемойнасопр

тивлениинагрузкиОм1.

Энергпериодическогосигналая,ра

сходуемаязапе,равнаиод

t1 +T

Э =

∫s2 (t )dt .

Средняямощнсигналаравнотношенстьэнергиикп ю

ериоду

P =

∫s2 (t )dt .

Среднююмощнопериодичесигналать,предрядомкоготавленного

Фурье,можноценитьпоспектрукаксуммумощностейотдел

ьныхгармон

ческихсоставляющих

2 ao 2

ao 2

∞

1 ∞

∑(an + bn ).

P = ∑

∑ An

n=−∞

n=1

т- ч-

о-

и-

(2.36)

Таблица2.2

− Моделипериодическгнаразлвовдачнымимметриих

t = T

Симметрия

Симметрияотносительно

относительно

t = 0

s(t ) ≠ s t −

s(t ) = −s t −

s(t ) = s t −

s(t)

s(t )- сигнал

общеговида

s(t)

s(t )-четный

сигнал

s(t)

s(t )-нечетный

сигнал

T t

Таблица2.3

− КоэффицирядаФурьдляпериодическсигнантыразлвовисдачнымимметриих

t = T

Симметрия

Симметрияотносительно

относительно

t = 0

−

s(t ) ≠ s t −

s(t ) = −s t

s(t ) = s t −

T 2

s(t )- сигнал

Cn =

− jnω t

∫ s(t )e− jnω1t dt ,при

общеговида

∫s(t )e

1 dt

−T

n = ±1,±3,±5,±7,±9...

n = 0,±2,±4,±6,±8...

при

0,при

n = 0,±1,±2,±3........

n = 0,±2,±4,±6,±8...

n = ±1,±3,±5,±7,±9...

bn = 0;

2 T 2

bn = 0;

= 0

bn = 0;

4 T 4

∫ s(t )dt

s(t )-четный

T 4

сигнал

T 2

T 4

∫ s(t )cos( nω1t )dt

an = T

n = 1,2,3,4........

n = 1,3,5,7........

n = 2,4,6,8,10........

a = 0 ; a0

= 0

a = 0 ; a0

= 0

a = 0 ; a0

= 0

s(t )-нечетный

T 2

T 4

сигнал

bn =

∫

s(t )sin(nω1t )dt

bn =

∫

s(t )sin(nω1t )dt

bn = 8

∫

s(t )sin(nω1t )dt

n = 1,2,3,4........

n = 1,3,5,7........

n = 2,4,6,8,10........

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 275 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023126.95 Кб02750.pdf
#
05.02.2023249.87 Кб02753.pdf
#
05.02.2023466.68 Кб0279.pdf
#
13.02.20212.11 Mб12790.pdf
#
13.02.20211.28 Mб172797.pdf
#
13.02.202124.88 Mб22798.pdf
#
05.02.2023441.35 Кб2280.pdf
#
05.02.2023145.68 Кб02825.pdf
#
05.02.2023436.03 Кб02837.pdf
#
05.02.2023214.23 Кб02838.pdf
#
05.02.2023294.91 Кб02839.pdf