2798

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

S(ω) + πS(0)δ (ω) .

∫ s(τ )dτ =

∫ s(τ )dτ =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

24.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

	90
4Дифференцировани.6	есигналаповремени
Дифференцированиесигналапркисчезновеводитпостояниюной	о-
ставляющейесли(онабыла),увеличениюскоростиизмгновенныхения
значесигвовремениийаларасширениюполосычастот.
Преобразованиесигналовихспектровприд фф	еренцированиипо
времпренадстарисунке4ив.таблице6лено4.2.

S1(ω)	τ
s1 (t) 1	2
s1 (t) 1
− 4π	4π
τ	τ

S2 (ω)

(t)

(ω)

δ (t +

)

δ (t −

)

(t)

− τ 2

τ 2

− 8π τ − 4π τ

0 4π τ

8π τ

− δ (t)

Рисунок4.6

− Времиспектральноепредставлениянноетрехфункционально

связанныхсигналовприд фференцированииповремени

Доказатте дифференцированремыльство

иисигналавыполним,

применяянтегрированиепочастям.

∞

Φ[s' (t)] = ∫s' (t)e− jω t dt = s(t)e− jω t

− (− jω) ∫s(t)e− jω t dt = jωS(ω) ,

−∞

привыпоуслненииовия

− lim s(t) = 0.

|t|→∞

Обобщаянаслучаймногократногодифференц,получимрования

Φ+[s' (t)] = jωS(ω) ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(4.18)

(n)

(t)] = ( jω)

S(ω).

Таблица4.2

− Преобразованиесигналовихспектровприд ффере

н-

цирповременивании

Преобразованиесигналов

Преобразованиеспектральныхплотн

о-

стей

Математическое

Функциональная

Функциональнаясвязь

Спектральная

описасигналовие

связьмежду

междуспектрами

плотность

впределах

≤ τ / 2

сигналами

сигналов

ωτ 2

sin

s1(t) =1 − 2

/τ

s1(t)

S1(ω)

ωτ

sin

2 ωτ

s2 (t) = −t / | t |

S2 (ω)

( jω)S1(ω)

jτ

(t) =

s 1(t)

ωτ

s3 (t) =

δ t +

−

s3 (t) =

s'2 (t) =

S3 (ω) =

( jω)S2 (ω) =

2 ωτ

− 2sin

− δ (t) +

δ t

−

(t)

( jω ) S (ω)

Итак,

n − кратноедиффересигналаповремениприводитцированиек

( jω)n .

умножениюспектральнойплотностинакомплексныйаргумент

4Интегри.7 сигналаворемениовае

Интегрировасигналавовремеприводитксглаживаниюбыстрыхе флуктусигнала,соответственноций,ксужениюполосычастот.

t				∞ t
Φ+ ∫ s(τ )dτ			= ∫ ∫ s(τ )dτ e− jω t dt =
−∞				−∞−∞
t		1			∞	1	∞	1	S(ω) + πS(0)δ (ω).
t							∞
= ∫ s(τ )dτ				e− jω t	+		∫ s(t)e− jω t dt =
= ∫ s(τ )dτ	− jω			e− jω t	+		∫ s(t)e− jω t dt =
−∞	− jω					jω −∞		jω

					−∞

Здесь lim

(e+ jω t

− e− jω t )= π lim

sinω t

= 2πδ (ω).

|t|→∞ + iω

|t|→∞ π ω t

Интегворпемениоркделениюводанспектральнойиплотн

стинакомпараметрлексный

( jω ).Спектральнаяплотностьбудетсодержать

дельта − функциювтомслучае,если

lim

∫ s(τ )dτ =S (ω = 0) ≠ 0.

|t|→∞ − ∞

Повторноеи

нтегрисигналприводитделениюспектральнойк а

плотностинакомпараметрлексный

( jω)2 .Допослагаемоенительноепр(

изводнаяот

δ – функции)перейдетвмнимуючас. ь

+ [

]

δ (x)

Φ+ ∫δ (x)dx =

+ πδ (ω),

jω

− ∞

Φ+

∫

∫δ (x)dxdτ =

+ jπδ ʹ(ω).

( jω)

− ∞− ∞

Втаблице4стр.394(

-95)вкомпактнойформеедсновныеталены

свойствапреобразованияФурьете( ремы

спектрах).

(4.19)

о-

(4.20)

4Взаимоза.8 аргументовяемость Фурье

СравнениемеждусобойдвпрхобразованийФу,п ьеямого ного, позвосдезаключениеяетатьодуальностивременчастоты.Если

S(ω) являпретсяобразованиемФурьесигнала будетрезультатомпрямогопреобразования

•

S (t),аименно:
Φ+[s(t)] = S(ω)		(4.21)
		(4.21)
Φ+[S(t)] = 2π s(−ω)

ω и t преобразованиях

т-

s(t) ,тофункция 2π s(−ω) Фурьекомплексногосигнала

Φ	−
Φ		[S(ω)] = s(t)			(4.22)
			1

Φ−		[s(ω)] =		S(−t)
Φ−		[s(ω)] =	2π	S(−t)
			2π

4Перемещение.9 спектрасигн ла

Использовапринципадуальпозволяетпровеиеостирас,сужденияти

S(ω) соответ-

аналогичныетеоремесдвига.Е пли

ектральплотностий

ствуетсигнал

s(t) ,тосмещспектральнойплннтности

S(ω −ωo ) соответ-

ствуетсигнал

s(t)e jωot .

−[

]

∞

j(ω −ωo )t

jωot

jωot .

S(ω −ωo )

2π

∫

S(ω −ωo )e

= s(t)e

(4.23)

−∞

−

[

]

∞

j(ω +ωo )t

− jωot

− jωot .

S(ω + ωo )

2π

∫

S(ω + ωo )e

= s(t)e

(4.24)

−∞

Суммируяправыелевыечастивыражений(4(4.23)получим.24),

Φ−[S(ω − ωo )]+ Φ−[S(ω + ωo )]= s(t )[e jωot + e− jωot ]= 2s(t )cos(ωot ).

Такимобразом,у ножениесигнала

s(t)набыстроосциллирующую

функцию cosω0t привокразспектральнойдвоениюитплотности

S(ω) на

двесимметричныеотносительно

ω =0составляющие

Φ+[s(t)cosωot] =

S(ω −ωo ) +

S(ω + ωo ).

(4.25)

4Дифференцир.10 спектральнойплотн ваниести

Дифференцирспектральнплотностипочастприводитваниектей

умножениюсигнала

s(t)напараметр

(− j) t .

Φ− [S ʹ(ω)]=

∞

∫S ʹ(ω)e jω t dω =

S(ω)e jω t

− jt

∫S(ω)e jω t dω

2π

−∞

2π

−∞

2π

−∞

(4.26)

s(t)

Первоеслагаемоевыраже(4рав.26)нулю,т.к.иио

lim S(ω) = 0.

Выполняя n – кратноедифференц,получ: имрование

|ω|→∞

Φ− [S ʹ(ω)]= (− j) t s(t),

Φ− [S ʹʹ(ω)]= (− j)2 t 2 s(t),

(4.27)

Φ− [S (n) (ω)]= (− j)n t n s(t).

n-кратное дифферспектральнплотностианнциводйиет

умножениюсигнала

s(t)напараметр

(− j)n (t)n .

Таблица4.3 −ОсновныесвойствапреобразованийФурьете( спектрахремы)

Преобразованиесигнала

s(t )

Преобразованиеспектральнойплотности

S (ω )

Прямпреобразование

+∞

− jωt

Получениеспектральной

∫ s(t )e

S (ω )

плотности S (ω ) позаданному

Фурье

−∞

сигналу s(t )

Получениесигнала

s(t )по

1 +∞

jωt

Обратноепрео

бразование

заданнойспектральной

s(t )

dω

Фурье

2π ∫S (ω )e

плотности S (ω )

−∞

Свойствосимметрии

s(t )

S (ω )

Взаимообратимость

преобразований

S (t )

2πs(−ω)

преобразованийФурье

Сложениесигналов

a1s1 (t ) + a2 s2 (t )

a1S 1 (ω) + a2S 2 (ω)

Сложениеспектральных

плотностей

Изменениеасштаба

s(at )

Изменениеасштабачастоты

времени

Инверсияаргумента

s(−t )

S (−ω ) = S * (ω )

Инверсияаргумента

S (ω) e− jωt0

Умножениеспектральной

Сдвигсигналавовремени

s(t − t0 )

плотностинакомплексную

функциючастоты

e− jωt0

Умножениесигнала

jω0 t

Смещениеспектральной

комплефункснуюцию

s(t ) e

времени e jω0t

S (ω − ω0 )

плотностипочастоте

Перемещениеспектральной

Умножениесигнала

s(t ) cos(ω0t )

S (ω −ω0 ) +

S (ω +ω0 )

плотностивобласти

гармоническуюфункцию

положительных

отрицательныхчастот

n-кратное

d n

( jω )n S (ω )

Умножениеспектральной

дифференцирование

s(t )

плотностинапараметр

( jω )n

сигналаповремени

Умножениесигнала

n-кратное

t n s(t )

( j )n

S (ω )

дифференцирование

параметр t n

dω n

спектральнойплотностипо

частоте

Делениеспектральной

jω ,

Интегрированиесигналаво

1 S (ω) +πS (0 )δ (ω )

плотностинапараметр

∫ s(t )dt

∞

времени

jω

если S (0) = ∫s(t )dt = 0

−∞

Сверткадвухсигналовво

∞

S1(ω )S 2 (ω )

Перемножениедвух

s1(t ) s2 (t ) = ∫ s1

(τ )s2 (t −τ )dτ

спектральных

времени

−∞

плотностей

Произведениедвух

∞

Сверткаспектральных

сигналов

s1(t )s2 (t )

S1(ω) S 2 (ω) =

∫S1(Ω)S 2 (ω − Ω)dΩ

плотностейпочастоте

2π

−∞

				96
4Свертыв.11 двухсигналовние
Свертысигналовиемсверткой( )д ухназываетсяинтегральноепр									е-
образованиевида
	∞			∞
s3 (t) = s1(t) s2 (t) = ∫s1(τ)s2 (t −τ)dτ = ∫s1(t −τ)s1(τ)dτ									(4.28)
	−∞			−∞
Формальноинтегральнпреобразов(4.28)начниекомается									.
	s2 (−τ)		2				s1(τ)
			2
а)			1
а)			1
	−τ − 2	−1	0	1	2	3	τ
			6
	s2 (t −τ )		3	s1(τ)s2(t −τ)
б)	s2 (t −τ )		3
б)	2 > t > 0		2
	2 > t > 0
							s1(τ)
			1				s1(τ)
			1
	−τ − 2 − 2 + t		0	t	2	3	τ
			6
в)				s1(τ)s2(t −τ)
в)							s2 (t −τ )
			3				t = 2
			2				s1(τ)
			1
	−τ − 2	−1	0	1	t	3	τ
			3	s1(τ)s2(t −τ)				s2 (t −τ )
г)			3					t	> 2
г)			2
			2					s1(τ)
			1					s1(τ)
			1
	−τ − 2	−1	0	− 2 + t	2	t	τ
			0
Рисунок4.7	− Геометрическинтепроцессапретсворачдвухя ивания
	сигналов:)	t = 0; б)		0 < t < 2;в)	t = 2;г)		t > 2
Нарисунке4показано.7нестадийколькопроцессасв рачиваниядвух
сигналдлячетырмоментовремени:х				t = 0; 0 < t < 2; t = 2; t > 2.

Взаимноерасположениесигналов

s1(τ ) и s2 (t −τ ) меняется.Интервал

взаимодейсначаларасте,затемостаепостояннымвия.Врезультатеся

s1(τ ) и s2 (t −τ ) возникаетновая

интегпроизведенированиядвухфункцийя

функция s3 (t ). Возначенияможфу ыекции

s3 (t ) числеравзаштрнноы

и-

хованнплощади,из бйнариаженнойсунке4.7.

ПрименяяпрямпреобразоваФурьексверткедвухсигмниеалов

е-

няяпорядокинтегрирования

местами,получпроспектральныхизведением

плотностей.

Φ +[s (t) s

∞ ∞

(t −τ)dτ e− jω t dt =

(t)] =

∫

s (τ)s

∫ 1

∞

−∞ −∞

∞

(4.29)

= ∫s1(τ ) ∫s2 (t −τ )e− jω t dtdτ = S2 (ω) ∫s1(τ )e− jω τ dτ .

−∞

S2 (ω)e− jωτ

S1 (ω)

Φ+[s1(t) s2 (t)] = S1(ω)S2 (ω) .

(4.30)

s2 (t)

(ω)

3τ

2/α

s (t) = 2e−α t

S2 (ω)

s3 (t)

S3(ω)

− 2π 0

2π

Рисунок4.8

− Графическоепредвухтавлениеигналов

s1(t), s2 (t)

ир езультатаихсвертки

s3 (t) вовременнойичастотнойобластях

Нарисунке4показаны.8сворачиваемыесигналырезульсверткиат

вовременнойичастотнойобластях.Врезультатесвеп ткиямоугольного

импульсодноэкспонеаторонней

нциальнфункциейвовременнойобл

а-

стипроизошлосглажимпульса, счеваниеразрывы.Вчлистотнойобласти

перемноженспектральныхплотностейприуменьшенвелоэффектию

в-

нойшириныспектрапрямоугоимпу. льсаного

4Произведение.12 двухсигналов

Нетруднопоказать,чтопреобразФурьеот одвухизведениявание

сигналсвертра спео кплотностейтральных

∞

∞ 1

∞

Φ+[s1 (t)s2 (t)] = ∫ s1 (t)s2 (t)e− jω t dt = ∫

∫ S1 (Ω)e− jΩt dΩ s2

(t)e− jω t dt =

2π

∞

−∞

s1 (t )

∞

∫ S1 (Ω) ∫ s2 (t)e− j(ω−Ω)t dt dΩ =

∫ S1 (Ω)S2 (ω − Ω)dΩ,

2π

−∞

S2 (ω−Ω)
Φ+[s1(t)s2 (t)] = S1(ω) S2 (ω) .		(4.31)
4Взаимная.13корреляционнаяфункциясигналов
ВзаимнойкорреляционнойфункциейВКФ()д		вухсигналовназывается
интегральноепреобразованиевида:
	∞
B12 (τ) = ∫s1(t)s2 (t −τ )dτ ,
	−∞
	∞
B21(τ) = ∫s2 (t)s1(t −τ)dτ .
ВКФхарактерэнергвзаидвухмодействиязуетюсигналов,одиниз	−∞
ВКФхарактерэнергвзаидвухмодействиязуетюсигналов,одиниз
которыхсдвигаетсяпозакону(	t − τ).
ПрименяяпрямпреобразованиеФурьекВКФ,		получим:

Φ +[B (τ )]=

∞ ∞

(t −τ )dte− jωτ dτ =

∞

(t −τ )e− jωτ dτ dt =

∫

s (t)s

(t)

∫

∫ 1

−∞−∞

−∞

− jω t

S2 (ω)e

∞

− jω t

(ω) ∫s1(t)e

= S2

dt = S1

(ω)S2 (ω),

−∞

[B12 (τ )]=W12 (ω)

= S1(ω)S2 (ω)

(4.32)

+[B (τ )]=W (ω) = S

(ω)S (ω)

4Автокорреляционная.14 функциясигнала

АвтокорреляционнфункциейАКФ()называетсяинтегральноепре й

б-

разованиевида:

∞

B(τ) = ∫s(t)s(t −τ )dτ .

(4.33)

АКФхарактерэнергвзаимодезуетю

−∞

йствиясигналаегок , пии

сдвинутойвовремени.

ПрименяяпреобразФурьекАКФ, олучваниме

∞ ∞

∞

Φ +[B(τ )]= ∫

∫s(t)s(t −τ )dte− jωτ dτ = ∫s(t) ∫s(t −τ )e− jωτ dτ dt =

−∞ −∞

−∞

S * (ω)e− jωt

(4.34)

∞

− jω t

(ω) ∫s(t)e

= S

dt = S

(ω)S(ω) =

S(ω)

−∞

СпектральравнаяплотностьАКФ, квмодулядратуспектральной

плотсигнала, остиазываетсяэнергетичспекде ромерскмимнир

W (ω).

ован−

ногосигналаобозначается

Φ+[B(τ )]=W (ω) = S(ω)S*(ω) .

(4.35)

Такимобраз,автокорреляционнаямфункция

B(τ ) иэнергетический

спектрW

(ω) связанымеждусобойпреобразованиямиФурье.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2710 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023126.95 Кб02750.pdf
#
05.02.2023249.87 Кб02753.pdf
#
05.02.2023466.68 Кб0279.pdf
#
13.02.20212.11 Mб12790.pdf
#
13.02.20211.28 Mб172797.pdf
#
13.02.202124.88 Mб22798.pdf
#
05.02.2023441.35 Кб2280.pdf
#
05.02.2023145.68 Кб02825.pdf
#
05.02.2023436.03 Кб02837.pdf
#
05.02.2023214.23 Кб02838.pdf
#
05.02.2023294.91 Кб02839.pdf