Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2798

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

24.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 276 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

НапрактикеприанализесигналоврядФурьеограничиваютконечным

числомгармоник

N .Сигнал,представлеусеченрядом,назныйваютм

оценкой sN (t ).Средняямощность

усеченногорядаФурьеилиоц нки

sN (t ) равна

P =

2 =

A2 .

∑

∑ n

n=−N

n=1

Абсолютнаяпогрешность

ε(t ) описасигналаия

s(t ) усеченнымрядом

Фурье sN (t ) определяеразносмгновензначетьюсяигоценкиыхийала

jnω1t

ε(t )= s(t )− sN (t )= s(t )− ∑Cne

Средняямощностьпогрешноссреднеквадратическогоиликвадрат

n=−N

значениябсолютнойпогрешности

< ε 2 (t )> найдетсяпоаналогии(2.23)

t1 +T

jnω1t

(t )

∫

(t )dt =

∫

s(t )−

∑

dt .

n=−N

Возводяподынтегральноевыражениеквадратчленноелняя

интегрирование,получим

t1 +T

jnω1t

(t )

∫s

(t )dt

− 2

∑

Cn ∫s(t )e

dt +

n=−N

∑

n =−N

t1 +T

j(k +n)ω1t

∑ ∑

CnCk

∫e

dt,

T n=−N k =−N

∑

t1 +T

n =−N

jnω1t

t1 +T

j(k +n)ω1t

0 , n ≠ −k,

где

∫ s(t )e

dt = T

∫ e

T , n = −k.

Такимобраз,средняямомпогрешностищностьаппроксимации

разностимо

щностейсигнала

s(t ) иоценки

sN (t )

(t ) = P

= P − PN .

− 2 ∑

∑

n=−N

(2.37)

равна

(2.38)

Относитзначениепогрешностиаппроксимациильноепериодического сигналаусеченнымрядФурьеопркакделится

δ = P − PN .

Анализируяповедениепогрешнзависимостиотк личествасл гаемыхрядаФурье,можносказатьследующее:ростом асимптотическистремитсянулю.Кр,погрешнгомевсегдаположсть тельна,.к.мощность бесконрядавсбольшегдачногомощностиусеченного ряда.

2Практ.9 приквторческложениеглавей

2.Гармоническ9.1 анализпери следовательностиической униполярныхпрямоугольныхимпульсов

(2.39)

а- N погрешность

и-

Представимпериодическуюпоследовательно	стьпрямоугольныхи	м-
пульри( с2овсуммойунок.11)гармк ническихлеб.Определимамплний		и-
тудыифазыгармоник.

s(t )


−	T	− τ	0	τ	2	T	2	T	t
			2		2

Рисунок2.11 − Перипоследовдическимпульсовательностья

Задансигявляетсянчетнойыйалфункцивремени,т..разложениий будутприсутств оватьтолькокосинусоставляющоидальныесвесовыми коэффициентами an :

bn = 0,

τ / 2

Eτ

∫ Edt =

−τ / 2

T / 2

∫

s(t ) cos nω tdt =

∫

s(t ) cos nω tdt.

−T / 2

Произведениедвухчетныхфункций

s(t ) и

cos nω1t образуетчетную

функциювремени.Интотчетнойфунграл

кциинасиммеинтервалеричном

равенудвоензначениютегралазаомуполовинуинтервалаинтегриров

а-

ния.Выполняяпреобразования,получим

cos nω tdt =

sin nω τ =

2Eτ sin nω1

2 ,

/ 2

∫

T nω1

nω1

[an − j0]=

an ,

A =

2Eτ

sin nω1

τ 2

nω1

0, an > 0,

ϕn

= −arctg

−π , an < 0.

РядФурьезаданноголяпериодическогосигналавсоотаветствии

б-

лицей2мож.1имтрифеть

ормызаписи:

∞

Eτ

sin nω1

s(t ) = ∑

e jnω1t =

nω

n=∞ T

Eτ

∞

2Eτ

sin nω1

+ ∑

cos nω1t =

nω

n=1

Eτ

∞

2Eτ

sin nω1

+ ∑

cos(nω1t + ϕn ).

nω

n=1

Отношениепериодакдлительностипрямоугоимпуназывльсаного

а-

ютскважностью

q = T .

Рассмслучай,копериодтримгдавдвабольшезадлит,.. льности

q = T = 2. Откуда

	sin nπ	2	0,		n = 2m,
an = E					(−1)m+1
			= 2E
	nπ
					, n = 2m −1,
				π
2					2m −1
m = 1,2,3...

Суммагармоник,описывающанализирсигндляслаулячаяемый T = 2τ ,имеетвид

s(t )=	E	+	2E	cosω t −	2E	cos3ω t +	2E	cos5ω t − ...

2			π	1	3π	1	5π	1

играфическиизображенарисунке2.12.

s1(t )		s5 (t )
E	N =1	E	N = 5

s3 (t )

s7 (t )

N = 3

N = 7

s(t ) и

Рисунок2.12

− Времпредставнноесигналаение

1,3,5,7

усеченногорядаФурье

)

( ) (

Нарисун2по.12,каменяетсязанокфоргармоническихсу мы

колебансростомколичестваслагаемыхйрядаФурье.Чембольшеучтено

гармконическихл,темлучшебаноп й

сывразрывыютисследуемомя

сигнале.Кротмечаемт, горавноволновыйхарактерприближенияан

а-

лизирсигналуемомуменьшениеабсолютзначепогрешности. огоия

2.Частотное9.2представлениепериодическогосигнала

Наглядностьчастотногопредставл

енияпериодическогосигналаобе

с-

печиваетпостроениеспектральныхдиаграмм.Нарисунке2изображена.13

{Cn },которуюназ

совокупностькоэффицикомплрядаФурьентовксного

ы-

ваютчастотнымспектром.Нарисун2по.14совокупностьазеампны

литуд

гармоник {An },называемаяспектрамплитуд, овокупностьначальных

фаз {ϕn },называемаяспе

ктромфаз.

Полученндискретнымиспектрявляютсяыфункциямичастоты.Ко

м-

плексныекоэффицирасполагаютсянавсчентый

астосиотной

− ∞ до

+ ∞ .Аналсиявляетсягналзируемыйчетнойфункцивремени,поэтомуй

комплексныйкоэффициент

имееттолькодействительнуюсоставляющую.

}

C−1

− ω1

ω1

nω1

ω1

3ω1

5ω1 nω1

−3

{

}

ϕn

− π

nω1

Рисунок2.13

− Частотный

Рисунок2.14

− Спектрамплитуд{

An }

спектркоэффициентов{

Cn } испектрфаз{

ϕn }периодической

последовательностиимпульсов

Спектрамплитуд

{An } испектрфаз

{ϕn } расптолнпаькогаются

о-

ложительныхчаснулядоотахбесконечности.

Важноотметить,чтоабсолютноеколичествогармоник,приаппрокс

и-

мациисигналарядомФурье,беск,намплитудыонечноихпадаютсувелич

е-

ниемчастоты.Ш

иринаспектрареальсигналаого

– конвеличина.чная

Подширинойспектрапонимаютэффективнуюобластьчаст

от,впред

е-

лахкотсосредоточенайсновнаяэнерси.гналаия

2.Распределенпериодического9.3 мощностивспектресигнала

Повременномупредставлению ностьперипоследовательностидическойимпульсов

P = T1

Почастотномупредставлеопределимсредмощностьию усеченногоряда

Результатырасчввтаблицудемтов2.4.

	сигнала s(t) рассчитаемсреднююмо								щ-
τ / 2		E 2τ					E 2
∫E 2dt =		E 2τ			=		E 2	.
∫E 2dt =					=	2		.
−τ / 2			T			2
−τ / 2
ao	2	1		N		2
=	+			∑an .
=	+	2		∑an .
2		2		n=1
				n=1

Андатаблицылизнных2показывает.4,чтодлявосстановлениязада		н-
ногопериодическогосигналапоспектрумож	ноограничитьсяучетомпост	о-
яннойсоставляющейипервойгармоникирисунок( 2)Относительное.12
значениепогрешностиаппроксимацииприэтомнепревыш	ает0,1.

Таблица2.4

− Распределмощностпериодическойвспектреи

последовательностиимпульсов

Средняя мощностьэлементоврядаФурье

n = 0,1,2,...,7

Средняя

n = 0

n =1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7

мощность

сигнала P

Абс.

E 2τ

E 2

2E 2

знач.

π 2

9π 2

25π 2

49π 2

Норм.

100%

50%

40%

1,7%

2.Анализ9.связимежду4 длительностьюим,периодомульса

иш иринойспектра

Рассмотризменения,провспектресходящиеперипослдической

е-

довательностипрямоугоим измененииульсовридлительностиьных

м-

пульсаипериода.

Втаблице2дано.временное5 частотноепредставление

перипоследовательндическойпрямоугимпульсов,к ьныхройсти

е-

риоднеменяется,адлительностьимпульсаизменяется.

Поведениекомплексноспекчетырехпервыхраси,гпредстаналов

в-

Eτ

sin nω

ленныхвтаб

лице2определяетсяфункцией.5,

Cn =

.Всечет

ы-

респектразатухаютростомчастоты.Обращаемвниманиенапульсиру

nω1

ю-

щийхарактерспект.Первыйперчанольрезходчастотногоспектраодн

о-

значносвязандлительностьюимпульса.Однако,по

2π

ширинеглавного

е-

песткаспектра,заключенноговпределах

,невсегдаможносудить

полосечастот,вкот средоточенайсновнаячастьэнергиипеременной

составляющейпериодическогосигнала.

Сравниваяспектральныйсоставпер ого

итретьегосигналовтаблице

2видим.5,чтоуэтс хгзнаотличаютсячительноловпостоянныесоста

в-

ляющиеспектрыфаз.Спектрыам ервоголитудтретьегосигналовравны

междусобой,таккакпеременныесоставляющиеэт хгналовотличаются

толькосдви

гомвовремени.

Таблица2.5

− Спектрыперипоследовательностейдическихпрямоугол

ь-

ныхимпульсов,котопенеизмененриодых,адлительносяеться

N°

Времпредставлениенное

Спектральпредставсигналовоеение

сигналов sn (t )

{Cn }

s(t ) E

τ = 0,75T

{Cn }

Co =

2π

− nω1

− ω1 ω1

nω1

s(t ) E

τ = T 2

{Cn }

Co =

2π

− nω1

− ω1 ω1

nω1

s(t )

τ = T 4

{

}

Co =

2π

− nω1

− ω1 ω1

nω1

s(t ) E

τ = T 8

{Cn }

Co =

2π

− nω1

− ω1 ω1

nω1

s(t )

δ (t )

E =1 τ, τ → 0

{Cn }

Cn =

− nω1

− ω1 ω1

nω1

Наиболееузкоизппредстаятиолоснымсигналовявляетсяенных второйсигнал,укоторогод ительностьимпульсаравнаполовпер. иодане

Пятыйсигналпредставляетсобойпериодическуюпоследовательность

δ−функций.Комплексныйкоэффициент
	Cn разложебесконечнойсуммыия

δ−функцийврядФурьеравен

1 T / 2

δ (t )e

jnω1t

dt =

= const

Cn =

∫

−T / 2

Перипоследовдическательностья

δ−функцийможетбытьпредста

в-

ленабесконечнсуммойгармоническихлебайкрат ий

ыхчастотодин

а-

ковымиамплитудами

An = 2 Cn = 2 /T ,т.е.

∞

∑

δ (t + nT )=

∑ e jnω1t =

∑cos nω1t

n=−∞

n=1

Такимобразом,пятыйсигналхарактеризуетсябескополльшойнечно

осой.

Втаблице2дано.временное6 частотноепредставлениепериодич

е-

скпоследовательностийпрямоу

гольныхимпульсов,которойдлительность

импульсовнеменяется,апериодувеличивается.

Втабл2систематизированы.7церезультатыгармоническогоанализа

периодическсигнаразлвовдачнымимметриих.

Таблица2.6

− Спектрыперипоследоватедических

льностейпрямоугол

ь-

ныхимпульсов,которыхдлитнеизменнальность,периодувелич

ивается

N°

Времпредставлениенное

Спектральпредставсигналовоеение

сигналов sn (t )

{Cn }

s1(t )

T1 = 2τ

Eτ T1

− 2ω

− ω

2ω

nω

s2 (t )

T2 = 4τ

Eτ T2

− 4ω2 − ω2 ω2

4ω2

nω2

s3 (t )

T3 = 8τ

Eτ T3

− 8ω3

0 ω3

8ω3

nω3

s4 (t )

T4 =16τ

Eτ T4

−16ω4

16ω4

nω4

Таблица2.7

− Периодическиесигнаразлвысимметриидачными

ир

ядыФурье

№

Сигнал s(t )

РядыФурье

s1(t)

(t ) = 4E

∞

sin( 2n − 1)ω1t

∑

n=1

2n − 1

s2(t)

s2 (t ) =

∞

(−1)n+1

∑

cos( 2n − 1)ω1t

n=1 2n − 1

s3(t)

T2 = 4

πn

+ E

∞ sin

(t ) =

∑

cos nω2t

2 n=1

πn

s4(t)

s4 (t) =

∞

2 cos(2n − 1)ω1t

∑

n=1(2n − 1)

T2 = 2

s5(t)

nπ

s5 (t ) =

∞ sin

cos nω2t

+ 2

∑

nπ

n=1

s6(t)

(t) =

∞

(−1)n+1

sin nω2t

∑

n=1

s7t)

(t ) = 2E 1

+ π cosω

t −

∞

(−1)n

− ∑

cos 2nω2t

n =1

− 1

s8t)

(t ) = 2E 1

− π cosω

t −

∞

(−1)n

− ∑

cos 2nω2t

n=14n − 1

s9(t)

E=Um

s9 (t) =

∞

(−1)n

1 − 2 ∑

cos nω1t

n=14n

− 1

E=Um(1-cosΘ)

s10 (t ) =

E sin Θ − Θcos Θ

1 − cos Θ

ΘE

∞

sin( n − 1)Θ −

2Um

π (1 − cos Θ)

∑

(n − 1)Θ

n =1

−

sin( n + 1)Θ cos nω

UmcosΘ

(n + 1)Θ

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 276 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023126.95 Кб02750.pdf
#
05.02.2023249.87 Кб02753.pdf
#
05.02.2023466.68 Кб0279.pdf
#
13.02.20212.11 Mб12790.pdf
#
13.02.20211.28 Mб172797.pdf
#
13.02.202124.88 Mб22798.pdf
#
05.02.2023441.35 Кб2280.pdf
#
05.02.2023145.68 Кб02825.pdf
#
05.02.2023436.03 Кб02837.pdf
#
05.02.2023214.23 Кб02838.pdf
#
05.02.2023294.91 Кб02839.pdf