Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2798

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.02.2021

Размер:

24.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2711 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

100

	∞
W (ω) = ∫ B(τ )e− jωτ dτ
W (ω) = ∫ B(τ )e− jωτ dτ
	−∞
	1	∞			.
	1	∞	jωτ
B(τ ) =		∫W (ω)e		dω
B(τ ) =	2π	∫W (ω)e		dω
	2π	−∞

ПолнаяэнерсиможетгналаиябытьопределенапоАКФприусловии, что τ = 0.

∞

Э = В(0) = ∫s2 (t )dt .

−∞

Расчетполнойэнергииможновыппоэнергетическомулнитьспектру

∞

Э =

2π

∫S

(ω)S

(ω)dω.

−∞

Нетруднопоказать,что(4и(4.37)дают.один38)тотжерезультат:

∞

jω t

∫s

(t )dt = ∫

dω

2π

∫S (ω )e

s(t )dt =

−∞

s(t )

∞

jω t

∞

(ω )dω.

∫

= 2π

(ω ) ∫s(t )e

dω dt

2π

∫S

(ω )S

−∞

(ω )

4Выводы.15

1. Вфункциональныхузлахканаласвязисигналыподвергаютсяра

личнымнелинейнымпреобразованиям.Клинейным

ваниям относятсуммирование,усиление,дифф,интегрировренцирование

ние,задевориемжкусввоевременелинейныхрткуни.Врезультате

преобразсигналованийертходитпекплотностейтральных,

ремещениеспектрсигнализоднвблчастотнойв и

йосивдругуюит.п.

(4.36)

(4.37)

(4.38)

(4.39)

з- о- а-

е-

		101
2. Теоспреусмыктраханвзоднозначноевливаютимносоотве			т-
ствием изменеждусигналоввовременниямиобластипреобразований			я-
миихспектрвчаст.Такимовтнойбразом,существует		возмпиожность	з-
менениямсигналоввовременной		областисудитьизменихспенияхктров
вчастотни(наоб)Кр. тоо,йчастротгомеподходканализутныйсигналов
связаниспользовтогожематематическогониемппарата,которыйприм			е-
няетсяприанализецепей.
3. Линейныепреобразованиясигналсопр ождаю		тсяперераспред	е-
лениемэнергиимеждусуществующимиспектральнымисоставляющими.
Например, д ффересигналаповременицированиипроисходперера т			с-
пределенэнергиивсторонувысокчастоте,приинхегрировании		– наобо-
рот.
4.	Задержкапроизвольногосигнала	вовременинесвязанаизменен	и-
емэнергетическихсоотношений.Этоидеальноематематическоепр образ			о-
вание,т.к.егор алинапрактзацвотфизическихяситкевозможностей
обеспеченияодинаковойзадержсоставляющихех тральныхнавсех
текущихча	стотах.

5.Центраположениесредилинейныхьноепреобразованийзанимает сверткасигнвовремени,приловкоторойчастотнойобластипроисходит перемножениеспектральныхплотностей.

6.Принелинейныхпреобразованияхсигналчастобласти, тной кромеужесущ ествующихспектральсоставляющих,возникаютыховые, другойоблчастотнойос.Нелинейныепреобразсопровождаютсявания переносомчастиэнергииизоднойоблчастотнойосвдругуюи.

102

5ПРЕОБРАЗОВАНИЕЛАП			ЛАСА
5Двусторонне.1		епреобразованиеЛапласа
СпомощьюпреобразованийФурье,несмотрянаприменениеобобще					н-
ныхфун,удаетсякцийпроанализэкспонеироватьгнциальныеалы					ида:
		s(t ) = e±α t , − ∞ < t < ∞ .			(5.1)
Крто,примгомепреобразованийнениеФурье			дляанализалинейных
электрическихцепрохожденияейсигналапроизвольнойфопредстамы					в-
ляетбольшие,подчаснепреодолимыематематтрудности.С ,ческиегналы
какправило,разрывные,дифференциуравненияэлектрическогольные					в-
новесияимеютдостаточно		выспо.Эторядоккийприводит		n-кратному
дифференцированиюдельта		–функцийпоследующприменениюначалму			ь-
ныхуслдляотысканиявийрешения.Этипроблемыустраняютсяперех					о-
додействительноймчастоты		ω ,меняющейсявбесконечныхпр		еделах,к
комплекснойчастоте	p ,характеризующейсясвоимположением			p - плоско-
сти.Рассмотримпереходдействительнойчастоты			ω ккомплекснойчаст		о-
те p .
s(t)		s+(t)
s-(t)		s(t ) =	s+ (t ), 0 ≤ t < ∞		(5.2)
		s(t ) =	s− (t ), 0	≥ t > −∞.	(5.2)
			s− (t ), 0	≥ t > −∞.

	0
	η(t)
−с2t	−с1t
e	e

Рисунок5.1 −Произвольныйсигнал

Перемножимпроизвольныйсигнал η(t ) (рисунок5Результирующийсигнал.1).

условДиямр(3и.(х3дл1).е32)юбыхянеинтесигв(наловрируемых томчиэкспоненциальныхсле),т..число большим,ноконечным.Примесиг алуим

η(t )	=	e−c1t , 0 ≤ t < ∞	(5.3)
η(t )	=	e−c2t , 0 ≥ t > −∞.	(5.3)
		e−c2t , 0 ≥ t > −∞.
t		Здесь c1 > 0 , c2 < 0 .
t
s(t ) ивспомогательнаяфункция			η(t )
s(t ) ивспомогательнуюфункцию
	s(t )η(t ) будовлетворять
c можновыбратьскольугодно
	s(t) η(t) прямпреобразов		а-

ниеФурье.

103

−

−(c + jω )t

∞

−(c + jω )t

∫s−

(t )e

dt + ∫s+ (t )e

dt .

s(t )e

−∞

S (c + jω)

−

(c + jω)

S (c + jω) = S

−

+ jω) + S

(c + jω).

(5.4)

Обозначая c + jω = p, c1 + jω = p1, c2 + jω = p2 ,получимдвустороннее преобразовЛаплас,состиздвухоаящеедностороннихние:

S ( p) = S −( p2 ) + S + ( p1 ).	(5.5)
ПравостороннеепреобразовЛапласопредедляпониеложяется	и-
тельвременнаинтервалеыхинтегрированияот	0 до ∞ :

							∞	s(t )e− p1t dt .
		S		+		( p ) =	∫	s(t )e− p1t dt .
				+		1	∫
ЛевостпреоЛапласроннеебразовопределяетсядляотраницател							0
ЛевостпреоЛапласроннеебразовопределяетсядляотраницател									− ∞ до 0 :
ныхвременнаинтервалеинтегрированияот							0		− ∞ до 0 :
							0		s(t )e− p2t dt .
		S	−		( p ) =		∫		s(t )e− p2t dt .
			−			2	∫
							−∞
Новыефунк		ции S ( p) , S + ( p), S − ( p) называютсяизображениямипо
Лапласу.	S ( p) − результатдвустороннегопреобразовЛаплас. ания
S − ( p)− результатыоднос				тороннихпреобраз.ИзображениеЛапласуваний
рассматриваются		p		−		плоскостях.Представленныенарисунке5.2

(5.6)

ь-

(5.7)

S + ( p) и

p − плоскосхаракдекартовымиеризуетсяосямикоординат.Ось		–
мнимая Im( p) = jω ,осьабсцисс	– действительная Re( p) = c.
jω	jω	jω

0 c1


а) c1 > Re( p) > c2			б) Re( p) < c1	в) Re( p) > c2
− ∞ < t < ∞			∞ > t > 0	− ∞ < t < 0
Рисунок5.2	− а)	p − плоскостьдвустороннегопреобразовЛаплас, ания
	б)ив)	p − плоскостидностороннихпреобразовЛапласаний

		104
Если Re( p) равнанулю,токомплекснаячас		тота p равначистомнимой
величине jω ,идвустороннеепреобразовЛапласпереходитпреобрание
зованиеФурье.Такимобраз,преоЛаплмбразовможноассматрние
ватькакобобщениепреобразованийФурье.		S ( p) ,можновосстановить
Знаяизо	бражесигнпоЛаиепласу

нал s(t ) подобнотому,какэтоделаетсяпоФурье. ПроведемрассуждениядляправостпреоЛапласбразовроннего. ания

−c1t

∞

jω t

s (t )e

2π

∫

S (c + jω)e

dω .

−∞

Выполняемзаменуперем

енных p1 = c1 + jω .

∞

d ( jω + c )

s+ (t)e−c1t =

∫ S (c1 + jω)e( jω +c1 )t e−c1t

2π

−∞

c1 + j∞

S ( p )e p1t e

−c1t

dp1

∫

2π

− j∞

e −c1t ,получимобратное

Сокпраилевующчнафункциюстия

преобразовЛаплас: ания

c1 + j∞

(t ) =

∫

S ( p )e p1t dp ,

2πj

− j∞

где p1 = c1 + jω , Re( p) < c1.

Проведя аналогичныерассужденияевостороннегопреобразования

Лапласа,запишем:

c2 + j∞

−

(t ) =

∫

S ( p )e p2t dp

2πj

c2 − j∞

где p2 = c2 + jω ,

c2 < Re( p).

Объединяявыражения(5(5.получимдвусторо8).9), обратнонее

преобразовЛаплас. ание

s(t ) = s+ (t ) + s−(t ) =

c1 + j∞

c2 + j∞

∫

S( p )e p1t dp +

∫

S( p

)e p2t dp .

2πj

c − j∞

− j∞

а- и-

г-

(5.8)

(5.9)

(5.10)

105

Замечание. Вспецлитературеальнойдвустороннеепреобразование Лапласаприменяетсябезпояснительныхиндексов.Прямоедвустороннее преобразовЛаплас: ание

∞

S ( p) = ∫s(t )e− pt dt + ∫s(t )e− pt dt .

Обратноедвустороннее

−∞

преобразовЛаплас: ание

c+ j∞

s(t )

∫S ( p)e pt dp.

(5.11)

2πj

c− j∞

Изображение

S ( p)

чащевсегопредставляетсобойдробно

рациональнуюфункцию

A( p)

B( p) = 0,называемые

B( p).Коуравнения

полюсами,вобщемслучае

являютсякомплексными:

= αk + jωk .

Знакреальнойчасти

Re( pk ) однозначопретипеляетносторонн

е-

гопреобразовЛаплас.Еслиреальныеч всехстинияполюсовимеютодин

а-

ковыезнаки,томестоодностетпреобразованроннее

иеЛапласа,если

разные – двустороннее.

p - плоско-

Нарисунке5изображено.3.располюсовтрехожение

стяхполюсов.

jω

-α+jω0

α+jω0

-α+jω0

α+jω0

-β

-α-jω0

с1

с2

α-jω0

а)

б)

в)

Рисунок5.3

− Располвдвустороннеможениеюсова),(

правостороннемб(),левостороннем()преобразовЛапласании

Большеераспр записьлучстранениевыраженияла(5форме.11)

p :

криволинейили(кон)интегратурногокомппеременнойлекснойа

s(t) =

∫S ( p)e pt dp ,

2πj

							106
где l − обозначаетконтур,изобрисункеаже5двойной.2штрихоный										c1 > Re( p) > c2).	в-
койконтур( лежитвпределахобластисход мости										c1 > Re( p) > c2).
ДвусторонпреобразовЛапласнееиверсаль.Возможние ностями
двустороннегопреобразованиявовсейихполнот										епользуютсядовольноре	д-
коанализ( электромагполей,решекраевыхзадачни,расчеттныххаракт											е-
ристикстациослучайныхестацарныхпроцессовит.д.онарных)Бол.											ь-
шинствозадачпрасчетцепей,анализесихсигналовтемрешаются
рамкаходносторонн	егопреобразовЛаплас.Наиболеешипрнияокоимен										я-
етсяправостпреобраЛапласроннеедляизовпереходныхучеанипр я									t < 0 (таккакоткликнеможет		о-
цессов,поскопоследнравнынулюькуприе									t < 0 (таккакоткликнеможет
опережатьвоздействие).
5Свойства.2 право			стороннегопреобразованияЛапласа
5.Основные2.1определения
ПрямоеиобратноепреобразовЛапласППЛ(иОПЛ)связаныния
междусобойпаройинтегральныхпреобразований:
				+[	]=	∞		− pt
	S ( p)	=	L	+[	]=	∫s(t )e		− pt	dt	,	(5.12)
	S ( p)		L	s(t )		∫s(t )e			dt		(5.12)
						0
					1		c+ j∞
s(t ) = L−[S ( p)]=							∫S ( p)e pt dp.				(5.13)
s(t ) = L−[S ( p)]=					2πj		∫S ( p)e pt dp.				(5.13)
							c− j∞
Сравнивая(5(.6)		5.а12),также(5и(5.8)отмечаем.13),чтопреобр									а-
зованияЛапласаформальнонеизмени,заисктогол,ючениемисьчтовоб											о-
значенияхопущеныиндексы.ПреобразовЛаплустанвзсааниявливают											м-
однозначноесоответствиемежду							оригиналами s(t ) и изображениями
S ( p) .

Сигнал s(t ) называется оригиналом, есливыполняютсятриусловия: 1) сигнал s(t ) односторонний,.е.

s(t ) = f (t )σ (t );

2)	сигнал s(t ) увеличивается сростом			t небыстрее,чем
		s(t )	< Me c0t ,
		s(t )	< Me c0t ,
	где M > 0 − любоекончисл, чное			c0 ≥ 0 - показательроста;
3)	сигнал s(t ) можимразрыетперь,одапричемвогоы,к личество

разрывовконкаждомаечинтервалеконечдли. нойы

107

Замечание.

Кпространствуоригиналовнельзяотнестиразрывную

функцию f (t ) = 1

илифункцию

f (t ) = et 2 ,т.к.онудовлетворяютиук

а-

заннымусловиям.

S ( p)называется изоб-

Аналитическаядробно

-рациональнаяфункция

ражением,еспроизведениядля

pnS ( p)

справедсоотнельноеливо

о-

шениевида:

limS ( p) = 0

,где n = 0.

(5.14)

Re p→∞

Выполняяв(5интегрирование.12)частя

мипереходякпределупри

Re p → ∞

,получимдляпроизвольногозначения

≥

lim pS ( p) = lim s(t ),

Re p→∞

t →+0

lim p2S ( p) = lim

s(t ),

(5.15)

Re p→∞

t →+0 dt

lim pnS ( p) = lim

d n−1

s(t ) .

Re p→∞

t →+0 dt n −1

Свойства(5.помог14)устан(5,ч.15)илиютаовить

инаяфункция

аргумента p непредставсобойрезупреобразовляетьтатЛапласотн ания

е-

которогоисходногооригинала.

5.Сложение2.2сигналов

					L+[s(t )]=		S		( p).
L+		s (t )	=	∑	L+[s(t )]=	∑	S	i	( p).
	∑ i			∑		∑		i
	i			i		i
	i			i		i

Сложениюригиналовсоответствусложениизображений. т

5.2Из.3масштабаенениевремени

∞

L+[s(at )]= ∫s(at

Умножениепараметра вокдит елениюпараметра

			∞		p
)e− pt dt		1		−		at	1	p

				a		d(at ) =
	=		∫s(at )e					S	.
		a					a
			0					a
t						a > 0 вобластиоригпр налов
	наконстанту
p наконстанту					a > 0 вобластиизображений.

(5.16)

(5.17)

и-

108

5.Сд2во.4временииг

∞

L+[s(t − tз )]= ∫s(t − tЗ )e− pt dt =

∞	0

= ∫s(t − tз )e−з(t −tз +tз )d(t − tз ) = S (p)e− pt з .
0	t − tз вызываетумножениеизображ
Заменапеременныхворигинале
ниянаэкспоненциальнуюфункцию	e− pt з (оператор сдвига).

5.Умножение2.5оригиналаэкспонефункциюциальную

(5.18)

е-

+ [

−αt

]

∞

−αt

− pt

∞

−(α + p)t

dt =S ( p +α )

(5.19)

s(t )e

= ∫s(t )e

dt =∫s(t )e

e−αt соответ-

Умножениюоригиналаэкспоненциальнуюфункцию

S ( p +α) .

ствуетзаменапеременныхвизображении

5.Диффе2.6

ренцированиеоригинала

Переддоказательствомследуетут,дифференцированиичнитькакой

функцииидр.еОрчьтназываетсягиналодносигналстм,пороннийлуче

н-

ныйврезультатеперемноженияпроизвольнойфункции

s(t ) иединичного

скачка σ (t ).Дифференцированиюподвергаетсяфункция

s(t )

(анепроизв

е-

дение s(t )σ(t ) )впредп,чтонложепрерывноадифференцируеманиина

отрезке

(0,∞).Требуопризобетсяделитьражение

гиналавида

sʹ(t )σ (t )(приусловии,что

sʹ(t )σ (t ) обладаетсвойсоригинала).вами

∞

− pt

∞

− pt

[sʹ(t )σ (t )]= ∫sʹ(t )e

=s(t )e

dt =

− (−p)∫s(t )e

= − lim

s(t ) + pS ( p) = pS ( p) − s(0),откуда

t →+0

]

= pS ( p) − s(0)

,где s(0) = lim

s(t )

(5.20)

s (t )

t →+0

или s(0) = lim

pS ( p).

p→∞

109

Повторноедиффеп кивоенцированиеслерезультатамдитующим:
L+ [sʹʹ(t )]= p2S ( p) − ps(0) − sʹ(0),		(5.21)
где sʹ(0) = lim s(t ) =	lim p2S ( p).
t →+0	p→∞
Выполним n−кратноедиффеоригинаенцирование	ла:
L+ [S (n) (t )]= pnS ( p) − pn−1s(0) − ...... − p0s(n) (0).		(5.22)
ДостоиноднопреобразовстороннеговомЛапласявляетсяавт“ ания		о-
матичучет”ненулевыхскийначальныхусловий.При	n−кратномди	фферен-
цированииоригиналапроисхумнизображенияжениедитна	pn	иприб ав-

лениедополнитслагаемыхльных	pn −m s(m ) (0),отражающихненул	евые
начальныеусловия.
5.Дифференцирование2.7 изображения

−		1	c+ j∞	pt		1		pt	c +
−	[Sʹ( p)]=	1		pt		1		pt	c +
L			∫Sʹ( p)e		dp =		S( p)e		c −
L		2πj	∫Sʹ( p)e		dp =	2πj	S( p)e
		2πj	c− j∞			2πj
			c− j∞

L−[S ʹ( p)]= (−t )s(t ).

Выполнение n−кратногодифференцированияизображениявызывает

умноженоринапараметргинла	(−t )n .
	L− [S (n ) ( p)]= (−t )n s(t ).

j∞	c+ j∞
j∞	∫S( p)e pt dp	= (−t)s(t) .
− t	∫S( p)e pt dp	= (−t)s(t) .
j∞	c− j∞
	c− j∞

		(5.23)

(5.24)

5.Интег2.8 оригиналарование

t		∞ t		t		1
L+ ∫s(τ )dτ	= ∫∫s(τ )dτe− pt dt = ∫s(τ )dτ							e− pt
L+ ∫s(τ )dτ	= ∫∫s(τ )dτe− pt dt = ∫s(τ )dτ						− p	e− pt
0		0 0		0		0
			t			0
			t			S ( p)
		L	+			S ( p)
		L	∫s(τ )dτ		=	p .
			0

Выполнение n-кратнооригиналаинтег п коделеводният
изображениянапараметр	pn .
t		x	S ( p)
L+ ∫.... ∫s(τ )dτ =			S ( p)	.
L+ ∫.... ∫s(τ )dτ =				.
	0	0	pn
	0	0

	+ 1		∞
∞			∫s(t)e− pt dt = S ( p) .

0		p	0	p

(5.25)

нию

(5.26)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2711 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023126.95 Кб02750.pdf
#
05.02.2023249.87 Кб02753.pdf
#
05.02.2023466.68 Кб0279.pdf
#
13.02.20212.11 Mб12790.pdf
#
13.02.20211.28 Mб172797.pdf
#
13.02.202124.88 Mб22798.pdf
#
05.02.2023441.35 Кб2280.pdf
#
05.02.2023145.68 Кб02825.pdf
#
05.02.2023436.03 Кб02837.pdf
#
05.02.2023214.23 Кб02838.pdf
#
05.02.2023294.91 Кб02839.pdf