Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

главными). Остальные балки (второстепенные) будут геометриче­ ски изменяемыми, если их не присоединить недостающими связями к главным балкам. Взаимодействие элементов многопролетной бал­ ки становится более понятным, если многопролетную балку изобра­ зить в виде этажной схемы. На ней второстепенные балки показы­ вают опирающимися на нижерасположенные неподвижные (гео­ метрически неизменяемые), что осуществляется посредством замены каждого шарнира двумя простыми связями.

Расчет многопролетных балок сводится к расчету составляющих их простых балок. При этом расчет начинается с вышерасположенных второстепенных балок с постепенным переходом к расчету ни­ жележащих. Опорные реакции второстепенной балки, взятые с об­ ратным знаком, являются нагрузкой на главную.

Для построения линии влияния усилия в многопролетной балке необходимо сначала построить линию влияния усилия в простой балке, к которой относится рассматриваемое усилие. Затем, в соот­ ветствии с этажной схемой, необходимо продолжить ее построение на смежных балках.

При этом, если единичная сила располагается на нижележащей, главной балке, то вышерасположенные, второстепенные балки не работают. Следовательно, ординаты линии влияния рассматривае­ мого усилия на нижележащей балке (там, где движется сила) будут нулевыми.

Если же сила движется по вышерасположенной, второстепенной балке, то усилия в нижерасположенной, главной балке возникают. Для построения линии влияния на этом участке движения силы не­ обходимо иметь в виду следующее.

Ордината линии влияния в шарнире, соединяющем главную бал­ ку со второстепенной, является уже известной. При расположении подвижной силы над опорой давление на ниже расположенную балку не передается. Поэтому в этой точке (над опорой) ордината линии влияния равна нулю. Так как линии влияния усилий в стати­ чески определимых системах являются кусочно-линейными, то по­ лученные две ординаты позволяют построить очередной участок линии влияния в пределах соответствующей простой балки.

Рассмотрим построение линий влияния усилий в статиче­ ски определимой многопролетной балке, представленной на рис. 3.3.

71

Опора С относится к балке BCD, поэтому построение линии влияния опорной реакции RC начинаем с рассмотрения движения

силы F = 1 по этой балке. Строится линия влияния RC по зависи­

мостям (3.1), (3.2), как в простой двухопорной балке, каковой она и является (см. л.в. RB на рис. 3.2). После этого рассматриваем дви­

жение единичной силы, например, по балке DST. В шарнире D ор­ дината линии влияния известна и равна 1 + lK2 / 12. При расположе­

нии силы над опорой S она полностью воспринимается этой опорой, и все усилия во всей многопролетной балке, включая реакцию RC,

равны нулю (нулевая ордината над опорой S). Через эти две точки проводим прямую в пределах участка DST (рис. 3.3,в). При движе­ нии груза по балке TU проводятся аналогичные действия. Осталось рассмотреть движение груза по балке АВ, которая является главной и расположена на поэтажной схеме ниже балки BCD. Так как уси­ лия от нагрузки, расположенной на балке АВ, на верхние балки не передаются, то линия влияния RC на этом участке будет нулевой

(рис. 3.3,в).

Линии влияния изгибающего момента и поперечной силы в се­ чениях К и К 2 в балке BCD строятся аналогично (рис. 3.3,г,д,е,ж).

При построении линий влияния усилий в сечении К 2 (рис. 3.3,е,ж)

необходимо учитывать, что при расположении силы слева от этого сечения усилия в нем равны нулю. При движении силы правее се­ чения линии влияния усилий в нем строятся как для сечения в кон­ сольной балке (рис. 3.1).

Построение линий влияния QK3 проводится так же, как для се­

чения Kj в двухопорной балке на рис. 3.2,ж. На участке балки TU

линия влияния QK3 строится на основе рассмотренных выше усло­

вий взаимодействия главных и второстепенных балок. При движе­ нии груза по балкам АВ и BCD усилия в сечении К 3 будут отсутст­

вовать. Линия влияния поперечной силы в сечении К 3 представле­

на на рис. 3.3,з.

72

3.3. Кинематический метод построения линий влияния усилий

Кинематический метод построения линий влияния основан на принципе возможных перемещений, согласно которому для нахо­ дящейся в равновесии системы сумма работ всех сил на любых воз­ можных бесконечно малых перемещениях равна нулю.

Рассмотрим, например, двухопорную балку (рис. 3.4,а). Отбро­ сим правую опору, заменив ее действие реакцией RB (рис. 3.4,б). Полученная система превратилась в механизм. За возможные пере­ мещения примем перемещения, вызванные поворотом балки вокруг точки А на угол в (рис. 3.4,в).

Запишем сумму работ сил, действующих на систему, на рассмат­ риваемых бесконечно малых перемещениях:

- F ^ c +R B AB = ^ откуда получим выражение:

FAC

RB = A•B

При изменении положения единичной силы F будет изменяться и соответствующее ей перемещение АС как функция аргумента x .

Таким образом, числитель последнего выражения можно рассмат­ ривать как функцию, соответствующую эпюре возможных верти­ кальных перемещений точек балки, а знаменатель АB является

масштабным коэффициентом (положение реакции RB зафиксиро­ вано). Приняв АB равным единице, получим:

RB = АС .

Следовательно, очертание линии влияния RB(рис. 3.4,г) соответ­ ствует эпюре возможных перемещений балки (рис. 3.4,в). Переме­ щения точек С и В можно выразить через угол поворота в :

74

Подставляя их в выражение для RB, получим:

RB = xl .

Полученная зависимость совпадает с формулой (3.1), получен­ ной ранее статическим методом.

Для построения линии влияния изгибающего момента в сечении К рассматриваемой двухопорной балки (рис. 3.4,а) отбросим моментную связь (введем шарнир) в этом сечении (рис. 3.4,д). Воз­ можные перемещения системы показаны на рис. 3.4,е. Сумма работ силы F и моментов МК на соответствующих бесконечно малых пе­ ремещениях определяется выражением:

где р - угол взаимного поворота торцевых сечений элементов,

примыкающих к шарниру (рис. 3.4,ж).

Из (3.5) следует, что при F = 1:

М к = Ас .

Р

Приняв р равным единице, получим, что искомая линия влияния из­

гибающего момента в сечении К (рис. 3.4,з) совпадает с эпюрой возмож­ ных перемещений балки (рис. 3.4,ж). Используя обозначения, приведен­ ные на (рис. 3.4,е,ж,з), можно показать, что она в точности совпадает с линией влияния, построенной ранее статическим методом.

Таким образом, для построения кинематическим методом линии влияния некоторого усилия в сооружении необходимо отбросить связь, в которой возникает это усилие. После этого полученному механизму по направлению усилия в отброшенной связи задается перемещение, равное единице. Полученный график перемещений и будет представлять собой линию влияния рассматриваемого усилия.

Построим кинематическим методом линию влияния поперечной силы в сечении К двухопорной балки (рис. 3.5,а).

75