Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

Положение подвижного (свободного) плоского тела (диска) на плоскости характеризуется тремя независимыми параметрами, на­ пример: абсциссой x и ординатой у какой-либо точки A и углом на­ клона какой-нибудь прямой AB, принадлежащей диску (рис. 1.29). Таким образом, диск при движении на плоскости обладает тремя степенями свободы. Жесткий узел на плоскости, даже достаточно малых размеров, в отличие от шарнирного узла должен рассматри­ ваться как диск. Следовательно, жесткий узел на плоскости имеет три степени свободы.

Рис. 1.29

Впространстве свободное твердое тело рассматривается как пространственный блок и обладает шестью степенями свободы: тремя координатами любой его точки и тремя углами поворота лю­ бой его линии по отношению к осям неподвижной системы про­ странственных координат.

Вданном разделе ограничимся рассмотрением только пло­ ских систем.

Классификация связей плоских систем Всякое устройство, уменьшающее степень свободы тела или

системы тел на единицу, будем называть простой связью. Если уст­ ройство уничтожает несколько степеней свободы, то его будем рас­ сматривать как сложную (кратную) связь, эквивалентную несколь­ ким простым.

Каждая связь имеет как кинематическую, так и статическую ха­ рактеристику.

21

Кинематическая характеристика определяет, каким видам движения одного диска относительно другого препятствует связь, сколько степе­ ней свободы она устраняет. Статическая характеристика определяет ко­ личество и виды реакций, возникающих в соответствующей связи.

Впредь будем различать три основных вида связей плоских систем.

Ксвязям первого вида относятся простые связи, устраняющие одну степень свободы. Примером могут служить шарнирно под­ вижная опора, плавающая заделка (моментная связь), стержень с шарнирами по концам. Такие связи характеризуются только одной реакцией (реактивной силой или реактивным моментом).

Ксвязям второго вида относятся связи, эквивалентные двум простым, устраняющие две степени свободы. Связями второго вида являются шарнирно неподвижная опора; подвижная заделка; шар­ нир, соединяющий два диска. Такие связи характеризуются двумя реакциями (двумя силами или силой и моментом).

Связи третьего вида устраняют три степени свободы. К связям третьего вида можно отнести неподвижную заделку; жесткий узел

(спайку, сварку, соединяющую два диска). Они характеризуются тремя реакциями (двумя силами и моментом).

Подразделение связей только на три вида условно, разнообразие связей безгранично.

Таким образом, всякое сооружение можно рассматривать как систему дисков, соединенных связями, как между собой, так и с опорной поверхностью (землей). Землю (опорную поверхность) также можно рассматривать как диск. Чаще всего с землей связы­ вают неподвижную систему координат и по отношению к земле оп­ ределяют степень свободы исследуемой системы.

В кинематическом анализе диски и связи полагаются недеформируемыми, абсолютно жесткими.

Рассмотрим расчетные схемы связей, используемых в строи­ тельной механике.

Шарнирно подвижная опора эквивалентна одной простой связи, то есть связи первого вида. Диск, присоединенный к земле (опорной поверх­ ности) шарнирно подвижной опорой, теряет одну степень свободы. Сис­ тема из диска и опорного стержня имеет две степени свободы (рис. 1.30).

Одиночный стержень, соединяющий два диска и шарнирно к ним прикрепленный, также можно рассматривать как простую связь. Система из двух дисков, шарнирно соединенных одним

22

стержнем, теряет одну степень свободы (рис. 1.31). Суммарная сте­ пень свободы такой системы равна пяти, в противовес шести степе­ ням свободы для двух несвязанных дисков.

Одиночный шарнир (на расчетных схемах изображается кружком) эквивалентен двум простым связям. Соединяя два диска, шарнир уменьшает их суммарную степень свободы, равную шести, до четырех, так как положение двух связанных шарниром дисков характеризуется двумя координатами х и у точки A и двумя углами ери /, фиксирующи­ ми положение линий AB и BC (рис. 1.32,а). Землю (опорную поверх­ ность) можно рассматривать как неподвижный диск. Плоский подвиж­ ный диск, прикрепленный к земле (к неподвижной опорной поверх­ ности) шарниром, теряет две степени свободы, и его положение характеризуется только одним углом поворота относительно оси шар­ нира (рис. 1.32,б). Такое устройство можно рассматривать как шарнирно неподвижную опору, эквивалентную двум простым связям (рис. 1.32,в). Шарнирно неподвижная опора устраняет две степени свободы.

A

Рис. 1.32

Система из трех дисков, соединенных двумя шарнирами (рис. 1.33,а), имеет пять степеней свободы. Два шарнира устранили четыре сте-

23

пени свободы. В данной системе промежуточный диск можно рас­ сматривать и как простую связь (сравните с системой на рис. 1.31).

В кинематическом анализе, напомним, любой стержень может быть рассмотрен какдиск, и любой диск может быть заменен одним стержнем.

Часто два шарнира, соединяющие три диска, сближаются и сли­ ваются как бы в один шарнир на общей оси (рис. 1.33,б). Получает­ ся сложный, кратный шарнир, эквивалентный, в данном случае, двум простым шарнирам, или четырем простым связям.

Рис. 1.33

В общем случае, кратность такого сложного шарнира на единицу меньше количества соединяемых на одной оси дисков (стержней). Другими словами справедливо соотношение:

Ш = Д - 1

где Ш - кратность сложного шарнира;

Д- количество дисков, соединяемых сложным шарниром на одной оси.

Примеры простых шарнирных соединений представлены на рис. 1.34,а. На рис. 1.34,б показаны кратные шарнирные соединения.

24

Если два диска (стержня) монолитно (или с помощью сварки) объединяются в один диск, то такой стык называется жестким со­ единением, или жестким узлом.

Жесткие узлы также могут быть простыми (рис. 1.35,а) и кратными (рис. 1.35,б). Кратность жестких узлов определяется по формуле:

Ж = Д - 1,

где Ж - количество простых жестких узлов; Д - количество дисков, монолитно соединяемых в одном узле.

Простой жесткий стык устраняет три степени свободы. Он экви­ валентен трем простым связям.

Жесткая защемляющая опора, устраняющая способность диска (стержня) перемещаться относительно опорной поверхности, как и же­ сткий узел, также эквивалентна трем простым связям (рис. 1.7,а,б).

Жесткие узлы позволяют в случае необходимости разбивать один стержень (диск) на произвольное количество составляющих стержней (дисков) (рис. 1.36).

Рис. 1.36

От соотношения количества составляющих систему дисков и ко­ личества наложенных связей, а также от их взаимного расположе­ ния зависят кинематические и статические свойства системы.

25

Цель кинематического анализа как раз и состоит в том, чтобы выяснить:

•способны ли стержневые и иные системы воспринимать пере­ даваемую на них нагрузку без существенного изменения приданной им геометрической формы;

•каким должно быть соотношение между числом дисков и чис­ лом связей, и каким должно быть их взаимное расположение;

•какова последовательность и трудоемкость расчета по опре­ делению реакций, внутренних сил и перемещений в элементах со­ оружения.

Формулы для вычисления степени свободы (степени изменяемости) плоских систем

На основании введенных выше понятий легко определить сте­ пень свободы W любой плоской системы, составленной из Д дисков, соединенных между собой и опорной поверхностью простыми же­ сткими узлами Ж, простыми шарнирами Ш и простыми опорными связями Со .

Если бы система состояла только из свободных, несвязанных дис­ ков, то ее степень свободы равнялась бы 3Д. Каждый введенный про­ стой жесткий узел устраняет три степени свободы, каждый простой шарнир - две, а каждая простая опорная связь - одну степень свободы. Следовательно, общая степень свободы системы равна:

Для правильного применения полученной формулы следует помнить, что под Ж, Ш и Со понимается общее количество соответ­ ственно простых (однократных) жестких стыков, простых (одно­ кратных) шарниров и простых опорных связей. При этом необхо­ димо следить, чтобы каждый диск и каждая связь (каждое устрой­ ство) были учтены только один раз. Другими словами, если, например, шарнирное соединение одного из дисков с землей было учтено как простой шарнир, то это опорное устройство уже нельзя включать в количество простых связей как шарнирно неподвижную опору, эквивалентную двум простым опорным связям.

Степень свободы плоской системы, отделенной от опор (не имеющей опорных связей), то есть в монтажном или транспортном

26

состоянии, равна сумме ее степени свободы как жесткого целого (три степени свободы на плоскости) и степени изменяемости V ее элементов (внутренней изменяемости). Таким образом, можем за­ писать:

W =3 +V ,

откуда

V = W - 3.

Подставляя в последнюю формулу выражение W при условии, что в системе отсутствуют опорные стержни, получим окончатель­ ную формулу для вычисления степени изменяемости стержневой системы, отсоединенной от опор:

Если степень свободы (или степень изменяемости) системы по­ ложительна (больше нуля):

W > 0 (или V > 0 ),

то система геометрически изменяема. В ее структуре для обеспече­ ния геометрической неизменяемости недостает W (или V) связей.

Например, висячая система (рис. 1.37) составлена из четырех стержней, соединенных тремя шарнирами, и оперта на две шарнир­ но неподвижные опоры. Ее степень свободы равна:

W = 3Д - 2Ш - CO = 3 • 4 - 2 • 3 - 4 = 2.

Рис. 1.37

Следовательно, она геометрически изменяема. В ее структуре не­ достает двух связей для обеспечения геометрической неизменяемости.

27

Если степень свободы (или степень изменяемости) системы от­ рицательна (меньше нуля) W < 0 (или V < 0), то система содержит избыточное количество связей с точки зрения геометрической не­ изменяемости.

Двухпролетная двухъярусная рама (рис. 1.38,а) состоит из вось­ ми стержней-дисков. Стержни соединены двумя простыми шарни­ рами, тремя жесткими двукратными узлами (шестью однократны­ ми, простыми) и оперты на три жесткие защемляющие опоры. Сте­ пень свободы рамы равна:

W = 3Д - 3Ж - 2Ш - СO = 3 • 8 - 3 • 6 - 2 • 2 - 9 = - 7 .

С точки зрения геометрической неизменяемости данная рама со­ держит семь лишних связей.

Эту же раму можно рассмотреть и как составленную только из двух дисков, соединенных двумя шарнирами (рис. 1.38,б). На один из дисков наложены три жестких заделки (9 простых опорных стержней). В итоге получим тот же результат:

W = 3Д - 3Ж - 2Ш - С0 = 3 • 2 - 3 • 0 - 2 • 2 - 9 = -7 .

Количество лишних связей при правильной их расстановке, рав­ ное отрицательной степени свободы системы, определяет степень статической неопределимости системы. Следовательно, количество лишних связей, или степень статической неопределимости системы можно вычислить по формуле:

28

где Л - количество лишних связей.

Если степень свободы системы равна нулю:

W = 0,

то система имеет необходимое для геометрической неизменяемости и неподвижности количество связей и может быть статически опре­ делимой. Такая система представлена на рис. 1.39. Она состоит из 9 стержней-дисков, жестких узлов не имеет, стержни-диски соедине­ ны 12 простыми шарнирами (кратность шарнирных соединений указана на рисунке), три опорных стержня связывают ее с опорной поверхностью. Степень свободы системы равна:

W = 3Д - 3Ж - 2Ш - С0 = 3 • 9 - 0 - 2 -12 - 3 = 0.

Тот же результат можно получить и по-иному, считая, что система составлена из 11 стержней-дисков. Предполагается, что обе полубалки образованы каждая из двух стержней, спаянных жестко в четвертях пролета. Следовательно, появилось два дополнительных жестких узла. Количество шарниров и опорных стержней не изменилось. Возможны и другие варианты подсчета степени свободы данной системы.

Если степень изменяемости системы равна нулю:

V = 0,

то система имеет необходимое для внутренней геометрической не­ изменяемости количество связей и может быть внутренне статиче­ ски определимой. Например, степень изменяемости односкатной фермы без опор (рис. 1.40) равна нулю:

V = 3Д - 3Ж - 2Ш - 3 = 3 -13 - 0 - 2 -18 - 3 = 0.

29

Система содержит необходимое количество связей, чтобы быть внутренне геометрически неизменяемой и статически определимой. Но внешне, по отношению к земле, система подвижна, в ней недос­ тает, как минимум, трех опорных связей для придания ей непод­ вижности. Большее количество наложенных опорных связей пре­ вратит ее во внешне статически неопределимую систему.

Рис. 1.40

Подсчет степени свободы или степени изменяемости фермы, как и любой другой шарнирно-стержневой системы, может быть вы­ полнен и по более удобной формуле.

В шарнирно-стержневой системе узлы можно рассматривать как материальные точки, имеющие на плоскости две степени свободы. Стержни, соединяющие узлы, как и опорные стержни, можно рас­ сматривать как простые связи (связи первого вида).

Если бы шарнирные узлы не были связаны стержнями, то систе­ ма из У свободных шарнирных узлов имела бы 2У степеней свобо­ ды. Стержни, соединяющие узлы, и опорные стержни как простые связи устраняют по одной степени свободы. Следовательно, степень свободы шарнирно-стержневой системы может быть вычислена по

где У - количество шарнирных узлов; С - количество стержней, соединяющих узлы; С0- количество опорных стержней.

Соответственно степень изменяемости шарнирно-стержневой

30