Учебники / Stroitelnaya_mekhanika
.pdfа) |
-Н - |
|
|
-----------\ |
|
|
|
|
|
|
]Л"'dx |
N |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
% |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 7.7 |
|
|
По отношению к этому элементу силы N , M и Q , заменяющие
действие отброшенных частей системы на выделенный элемент, являются внешними. Внутренние же силы им равны, но противопо ложны по направлению, и сопротивляются деформациям элемента. Поэтому работа внутренних сил всегда отрицательна.
Замечание - В ф орм улах р азд ел а 7.3 и д ал ее будут и сп о л ьзо ван ы
обозначени я:
A - |
площ адь сечения стерж ня; |
J - |
осевой момент инерции сечения; обозначение момента инерции J у |
в формуле Ж уравского связано с приняты м обозначением осей на рис. 7.9;
EA - |
ж есткость стерж ня на растяж ение-сж атие; |
|
||
E J - |
ж есткость стерж ня на изгиб; |
|
||
GA - |
ж есткость стерж ня на сдвиг. |
|
||
Действие на элемент продольных сил N вызывает растяжение |
||||
его на Adx = A |
(рис. 7.8,а). На этом перемещении статически |
|||
возрастающая внешняя сила N |
совершит элементарную действи- |
|||
тельную |
работу: |
1ттт 1 л т- * 7 |
N 2 dx |
. . |
dWN = — N Adx = --------. Работа же |
dAN внут- |
|||
|
|
2 |
2EA |
|
ренних продольных сил будет ей равна, но отрицательна (направле ния внутренних сил и соответствующих им деформаций противо
положны). Следовательно, |
dAN = - d W N = |
---------- . |
|
’ |
N |
N |
2EA |
181
На угловом перемещении сечений d p , вызванном действием из
гибающего момента (рис. 7.8,б), его работа будет равна - 2 M dp .
Используя формулу для определения кривизны оси стержня
1 |
d 2y |
M |
|
|
|
— — —= ^ 7 , величину угла взаимного поворота сечений по- |
|||
Р |
dx2 |
E J |
|
|
|
|
dx |
M dx |
M 2 dx |
лучим в виде d p = — |
= . Тогда dAM = — |
2E J ' |
||
|
|
Р |
E J |
|
Рис. 7.8
Касательные напряжения в сечении, определяемые по формуле Журавского:
Q S 0
т=
J y b(z)
т
вызывают взаимный сдвиг сечений на AZ = y d x = — dx (рис. 7.9).
G
Для определения их работы выделим на торцевых сечениях эле мента dx соответствующие полоски площадью dA . Учитывая ста тический характер нагрузки, найдем, что:
182
dAg = — |
J (т dA) A z |
dx |
|
= ------- JT dA = |
|||
|
■A |
2 G |
|
|
2 |
||
|
SO |
||
Q 2 dx |
ju Q dx |
||
|
|
dA = — |
|
2 G |
A J y b(z) |
2 G A ! |
|
sy |
2 |
|
|
dA - безразмерный коэффициент, зави- |
|||
где u = A f |
|||
A J y b(z)
сящий от формы площади поперечного сечения. Для прямо угольного сечения u = 1,2; для круглого u = 1,18; для прокат ных двутавров приближенно u равно отношению площади двутавра к площади его стенки.
f - ■ |
1----------’r |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
— |
\Аф |
к |
/ d x ' ~
Полную действительную работу внутренних сил плоской стержневой системы получим, интегрируя выражения для элементарных работ по дли не каждого участка стержня и производя суммирование по всем участкам системы. Суммарнаядействительная работа внутренних силравна:
N 2dx |
M 2dx |
„ , uQ^2ddx |
(7.2) |
|
2EAJ |
X f |
X f - |
2GA |
|
2EJ |
|
|
||
Поскольку в формулу (7.2) |
величины |
N , M и |
Q входят в |
|
квадрате, то работа внутренних сил всегда отрицательна.
183
В линейно деформируемых системах зависимость между нагруз кой и перемещениями (усилиями) линейная. Зависимость же между нагрузкой и работой, как следует из формулы (7.2), нелинейная. Действительная работа группы одновременно действующих внеш них сил, не равна сумме действительных работ, вызванных каждой из сил в отдельности. Принцип независимости действия сил при вычислении действительной работы не применим.
7.4.Применение принципа возможных перемещений
купругим системам
Расширим понятия, изложенные в разделе 2.4.
Упругая система, испытывающая заданное внешнее воздействие, занимает определенное деформированное положение. Перемещения точек системы, отсчитанные от начального (недеформированного) состояния системы до соответствующего положения их в деформи рованном состоянии - это действительные перемещения.
Зададим рассматриваемой системе возможные перемещения. Так как положение упругой системы в деформированном состоянии характери зуется бесконечно большим числом параметров, то такая система явля ется системой с бесконечно большим числом степеней свободы. Число возможных перемещений для нее тоже будет бесконечно большим.
Как отмечено в разделе 2.4, при “переходе” системы из дефор мированного состояния в новое, в котором учитываются возможные перемещения, внешнее воздействие и внутренние силы не меняют ся. Поэтому работу внешних и внутренних сил на возможных пере мещениях необходимо определять по выражениям:
где F i - обобщенные силы;
Ai - соответствующие обобщенные перемещения;
где S i - обобщенные внутренние силы;
e i- соответствующие обобщенные деформации.
Работа внутренних сил всегда отрицательна.
184
Формальная запись принципа возможных перемещений остается такой же, как и в разделе 2.4:
W (возм) + А(возм) = 0 |
|
"г У1внутр |
w • |
Предполагается, что в упругой системе связи являются идеаль ными и на возможных перемещениях никаких затрат работы на преодоление трения или на образование и выделение тепла и т. п. не происходит; в неупругих системах это учитывается.
В практических приложениях за возможные перемещения при нимаются конечно малые перемещения, которые могут быть вызва ны силовыми или другими воздействиями. Например, для состоя ния балки, показанного на рис. 7.10 (состояние “i ”), в качестве возможных перемещений можно принять перемещения этой же балки, нагруженной другой группой сил (состояние “ к ”). Тогда возможная работа внешних сил состояния “ i ” на этих перемещени ях запишется в виде:
W (возм) = F 1 A,k + F2 A2k.
Возможная работа внутренних сил состояния “ i ” на деформаци ях балки в состоянии “ к ” будет равна:
Авнтмр= —X J N i NE d x —X f M |
i ^ d i —X j u Q i Q ^ . |
|
Состояние i |
Состояние к |
|
Fll |
F2 |
|
|
|
О |
~- A
A li |
A 2 i |
Рис. 7.10
Принцип возможных перемещений является одним из основных принципов механики. Он позволяет найти условия равновесия, что очень важно, без определения неизвестных реакций связей.
185
Если за возможные перемещения принять действительные, то возможная работа внешних и внутренних сил будет определяться по выражениям:
W (возм) = X F-А ,
(7.3)
где W (возм^ - возможная работа внешних сил;
л(возм') |
г |
Авнутр |
- возможная работа внутренних сил. |
Отметим, что понятие возможного перемещения (обозначается символом 5 ) было введено Лагранжем. В классическом трактате “Аналитическая механика” (1788; рус. пер., т. 1-2, 2 изд., 1950) он в основу всей статики положил “общую формулу”, являющуюся принципом возможных перемещений, а в основу всей динамики - “общую формулу”, являющуюся сочетанием принципа возможных перемещений с принципом Д'Аламбера.
7.5. Теоремы о взаимности работ и взаимности перемещений
Предположим, что линейно деформируемая система (рис. 7.11,а) последовательно нагружается вначале силой Fi , а затем силой F \ .
а) |
б) |
Рис. 7.11
186
При “переходе” балки из положения 1 в положение 2 силой Fi
на перемещении Аи совершается действительная работа, равная
W ■= 1 F ■А ■■ гг 2 г г■*
При “переходе” балки из положения 2 в положение 3 сила Fk со
вершает действительную работу W^ Fk А ^ , а сила F , оставаясь
в это время неизменной, совершает на перемещении А^ возможную
работу Wjk = Fj А ^ . Суммарная работа двух сил будет равна:
W = Wjj+ Wkk +Wjk .
Если осуществить нагружение балки в обратной последовательности - вначале силой F k , а затем силой Fj (рис. 7.11,б), - то получим:
W2 = Wkk +Wjj+ Wki.
Так как значение работы внешних сил равно потенциальной энергии системы и поскольку, независимо от последовательности нагружения, в обоих случаях совпадают начальные и конечные по ложения балки, то W1 = W2 . Значит, имеет место равенство:
Wjk = Wkj, |
(7.4) |
или в развернутой форме записи:
F А k = Fk Аk .
Получена формальная запись теоремы о взаимности работ (тео ремы Бетти (1823-1892)): работа сил состояния i на перемеще ниях состояния k равна работе сил состояния k на перемеще
ниях состояния .
187
Заметим, что в приведенной формулировке термин “сила” следу ет понимать как “обобщенная сила”, которой может быть и группа сил, а термин “перемещение” - как “обобщенное перемещение”.
Аналогичная зависимость о взаимности имеется и для возмож ных работ внутренних сил на соответствующих деформациях. То гда формулировка теоремы о взаимности работ может быть дана в такой форме: возможная работа внешних (внутренних) сил со стояния i на перемещениях (деформациях) состояния k равна работе внешних (внутренних) сил состояния k на перемещени ях (деформациях) состояния i .
Пр и ме р . Балка (рис. 7.12) постоянного сечения в состоянии 1 на гружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q , а в
состоянии 2 - сосредоточенным моментом M , приложенным в конце вом сечении. Показать справедливость теоремы о взаимности работ.
Состояние 1 |
Состояние 2 |
q \qdx
Рис. 7.12
Обобщенной силой в состоянии 1 является нагрузка q . Ее воз
можную работу определим как сумму элементарных работ сил q dx
на перемещениях у состояния 2:
W12 = j q dx У2 |
= q \ У2 dx = q со, |
0 |
0 |
где со - площадь эпюры вертикальных перемещений балки. |
|
Для определения со найдем уравнение изогнутой оси балки. Дифференциальное уравнение изогнутой оси запишется в виде:
188
^у2(x) = - M -x .
Последовательное интегрирование дает:
E J У2 (x) = - ~2J x + c1, |
|
|
||||
M |
3 |
+ C1 x +c2 . |
|
|
||
E J У2 (x) = - — |
x |
|
|
|||
6 l |
|
|
|
|
|
|
Используя граничные условия |
x = 0 |
У2 = 0 |
и x = l у 2 |
= 0 , |
||
найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
x3 |
Л |
|
|
E J У2 (x) = M |
l |
|
|
|||
------- +1 x |
|
|
||||
6 |
|
l |
|
|
|
|
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
\ |
M l 3 |
|
- — |
+I x dx = |
|
||||
о = j У2(x)dx = -------J |
|
|
||||
6 E J |
V |
l |
|
J |
24 EJ |
|
Возможная работа: |
|
|
|
|
|
|
|
q M l |
|
|
|
|
|
W 12 = 24 E J |
|
|
|
|||
Возможная работа сосредоточенного момента равна W21 = M |
срв . |
|||||
Прогибы и углы поворота балки в состоянии 1 определяются из
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q lj3 |
|
q lj 3 q x 4 |
||||
У1(x ) = |
E J |
x - — x +■ |
24 |
||||
24 |
|
12 |
|
||||
|
|
q l |
3 |
q l |
3 |
q x |
|
У1(x) = — |
|
2 |
|||||
24 |
4 |
x |
6 |
||||
1 |
E J |
||||||
189
При x = l |
|
l3 |
y1(x) =фв = — q------ . |
||
|
1 |
24 E J |
Направление действия момента M совпадает с направлением перемещения р в , поэтому:
W 21= M q L . 21 24 E J
Следовательно, Wl2 = W 21.
Если обобщенные силы в состояниях “i ” и “ k ” будут равны единице (перемещения от единичных сил обозначаются буквой 5, рис. 7.13), то из теоремы (7.4) следует, что:
Sik = Sla . |
(7.5) |
Состояние 1 |
Состояние 2 |
Fi= 1 |
Fk=1 |
|
I |
|
Sk |
Рис. 7.13 |
|
Равенство (7.5) выражает одно из общих свойств линейно деформируемых систем и является формальной записью тео ремы о взаимности перемещений (теоремы Максвелла (1831— 1879)): перемещение по i -му направлению от k -й единич
ной силы равно перемещению по k -му направлению от i -й единичной силы.
Замечание о размерности перемещений Sik. Обобщенное пе ремещение Atk , вызываемое обобщенной силой F k , определя
190