Учебники / Stroitelnaya_mekhanika
.pdfется как Ak = 5k F k . Поэтому размерность перемещения 5^
получается в виде:
размерность A ik
размерность Sik =
размерность Fk
Например, при нагружениях балок, показанных на рис. 7.14, имеем:
Рис. 7.14
Перемещения 5 ^ и S21 имеют одинаковую размерность.
7.6. Общая формула для определения перемещений плоской стержневой системы
Предположим, что стержневая система (рис. 7.15,а) под влияни ем заданных воздействий деформировалась, и требуется определить перемещение какой-либо ее точки i по заранее установленному на правлению, не обязательно совпадающему с истинным направлени ем перемещения этой точки. Рассматриваемое состояние системы будем обозначать как “состояние a ”, а внутренние силы в сечениях
элементов - через N a , M a , Qa . Бесконечно малый элемент этой
системы в деформированном состоянии испытывает, в |
общем |
случае, деформации удлинения Adx = s d x , изгиба d p |
= K dx |
191
и сдвига Az = у d x . Здесь через dx обозначена длина элемента,
через s - относительное удлинение (укорочение) его, через к = -----
р
кривизна изогнутой оси, через у - относительный сдвиг (угол
сдвига) граней элемента.
Для определения искомого перемещения Aia наряду с состояни ем a , которое является действительным состоянием системы, рас смотрим вспомогательное (фиктивное). Во вспомогательном состоя нии к той же системе по направлению обобщенного перемещения Aia приложим единичную обобщенную силу Fi = 1 (рис. 7.15,б).
а) состояние а состояние i
A ic
Рис. 7.15
Внутренние силы в этом состоянии (состоянии i ) системы обозначим через N i,M t, Qi . Так как это состояние является состоянием равнове
сия, то к нему применим принцип возможных перемещений. За возмож ные перемещения примем перемещения, вызываемые заданным воздей ствием. Суммарная работа внешних и внутренних сил состояния i на перемещениях состояния а должна быть равна нулю (7.3), то есть:
W (в о зм ) + A"внутр(возм) _ 1 Aia- Z j N i s d x - Z j M >Kdx - Z j Qi Ydx = 0
Интегрирование ведется по длине каждого стержня или участка стержня, на протяжении которого подынтегральное выражение представляется непрерывной функцией определенного вида.
192
Следовательно,
Aia = Z j N i s d x + Z j M i Kdx + Z j Qi y d x . |
(7.6) |
Полученная формула позволяет найти требуемое перемещение через деформации элементов системы в состоянии a , причем сама система может быть как линейной, так и физически нелинейной. Несущественно также и то, чем вызваны деформации элементов: силовым воздействием, изменением температуры окружающей сре ды, ползучестью материала или другими причинами. Поэтому фор мулу (7.6) можно рассматривать как общую формулу для определе ния перемещений стержневых систем.
Состояние системы под действием заданной нагрузки принято на зывать грузовым (состоянием F ). Из курса сопротивления материа лов известно, что деформации элементов линейно деформируемой системы в этом состоянии определяются через внутренние силы так:
, N Fdx |
M Fdx |
и QF dx |
s d x = —£— , |
Kdx = — £— , Y dx = |
------£-------, |
EA |
E J |
GA |
где EA , E J , GA - жесткости элемента соответственно на рас тяжение (сжатие), изгиб и сдвиг.
Подставляя эти выражения в (7.6), получим формулу для определе ния перемещений плоской стержневой системы в следующем виде:
A Z |
r N i N F dx |
+Z |
CM i M F dx |
, z ! M Q i QF dx |
(77) |
AiF = Z j |
EA |
+ Z J |
EJ |
GA |
<77) |
Ее называют формулой Максвелла-Мора для определения пере мещений упругих систем от заданной нагрузки.
Относительный вклад каждого из трех слагаемых формулы (7.7) в конечный результат зависит от вида стержневой системы и характе ра нагружения. В частности оказывается, что перемещения в балках зависят, в основном, только от второго слагаемого (изгибающих мо ментов); доля слагаемого, учитывающего влияние поперечных сил, составляет ничтожно малую часть от окончательного значения AIF .
193
Поэтому, с достаточной для практических целей точностью, пере мещения систем, работающих преимущественно на изгиб, можно вычислять по формуле:
A |
M i M F dx |
AiF= Z J |
— . |
По той же причине в расчетах (особенно “вручную”) рамных и арочных систем пренебрегают влиянием на перемещения про дольных и поперечных сил. В то же время, автоматизированный расчет этих систем с помощью компьютерных программ произ водится, как правило, с учетом влияния на перемещения изги бающих моментов и продольных сил.
В элементах шарнирно-стержневых систем, в том числе ферм, от узловой нагрузки возникают только продольные силы. Поэтому оп ределение перемещений узлов производится по формуле:
A |
_ Z |
\ N iN F dx |
A F |
= Z |
Ё л ~ |
Так как при узловой нагрузке на ферму продольная сила по дли не стержня не изменяется, то, при условии постоянной жесткости каждого стержня, формула переписывается в виде:
a = Z |
N kiN kF lk |
’ |
(7 o) |
AIF = Z |
EA |
^7-8^ |
|
k=1 |
EAk |
|
|
где lk - длина k -го стержня;
n- число стержней фермы.
Втаком виде (7.0) впервые в 1064 г. Дж. Максвеллом была получена формула для определения перемещений ферм. Спус тя 10 лет О. Мором (1035-1910) метод определения перемеще ний был развит на случай произвольных деформаций системы
(см. формулу (7.7)).
Поясним особенности выбора вспомогательного состояния. Единич ная обобщенная сила должна прикладываться к системе по направлению соответствующего обобщенного перемещения.
194
Произведение их, как известно, дает работу силы F = 1 на искомом пе ремещении. Если, например, для рамы в состоянии F (рис. 7.16,а) необ ходимо определить угол поворота р какого-либо сечения элемента, на пример, сечения D , то во вспомогательном состоянии в этом сечении необходимо приложить единичный сосредоточенный момент M = 1 (рис. 17.16,б), и тогда возможная работа внешней силы состояния i на
перемещении AIF состояния F будет равна M р = 1 AIF . В дальней
шем номер единичной силы во вспомогательном состоянии будет опре делять и номер этого состояния.
а) состояниеF |
б) состояние 1 |
||
I ^ |
f I |
< -4 M i= ] |
|
|
|
||
|
■kr |
D |
|
|
|
|
B |
в) состояние 2 |
г) состояние 3 |
||
|
F 2 =1 |
M3 =1 |
M3 = 1 |
F 2= 1 |
|
c 1 |
c 2 |
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
A |
B |
|
|
Рис. 7.16
Если требуется определить изменение расстояния между точка ми k1 и k2, то во вспомогательном состоянии (состояние 2) по направле нию прямой, соединяющей эти точки, следует приложить две направ ленные в противоположные стороны единичные силы (рис. 7.16,в); при необходимости найти угол взаимного поворота сечений с и с2 - во вспомогательном состоянии (состояние 3) в этих сечениях приклады ваются разнонаправленные единичные моменты (рис. 7.16,г).
Задаваемые во вспомогательных состояниях направления единичных сил соответствуют положительным направлениям перемещений AIF .
195
Если в результате вычисления окажется AiF < 0, то это будет озна чать, что искомое перемещение направлено в сторону, противопо ложную направлению силы Fi = 1.
7.7. Способы вычисления интегралов Мора
Задача о вычислении перемещений по формуле Мора сводится к
btM i M F dx |
, которые принято назы |
вычислению интегралов вида J |
|
EJ |
|
вать интегралами Мора. Для относительно несложных задач подын-
, |
f |
г, ч M i M F |
тегральная функция |
(х) = ----------- может быть такой, что неоп- |
|
|
|
E J |
ределенный интеграл F (х) можно выразить при помощи конечного
числа элементарных функций. Тогда определенный интеграл вы- b
числяется по формуле J f (х) dx = F (b) - F ( a ) .
Покажем, например, определение вертикального перемещения сечения 1 и угла поворота сечения 2 консольной балки (рис. 7.17), нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, с учетом влияния на прогиб только изгибающих моментов.
|
СостояниеF |
|
Состояние 2 |
|
I I I |
я |
|
|
M 2= 1 |
н и * |
|
|
|
|
1 |
'2 |
|
l/2 |
l/2 |
|
|
|
||
1 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Состояние 1 |
|
Состояние 3 |
|
|
1 |
|
|
q3=i |
|
1— |
|
|
|
и |
к* |
I I I |
f i i i i6 |
|
|
|
|||
х |
• |
Nj |
■ |
i |
|
j - x j |
|
||
|
|
Рис. 7.17 |
|
|
196
Для определения прогиба используем вспомогательное состоя ние 1. В дальнейшем обозначения усилий от безразмерных сил бу дут сопровождаться верхней чертой. Тогда:
M F —-0,5qx2, M 1 = -1 x .
Принимая жесткость балки E J неизменной по ее длине, получим:
Д(Г рт) = A1F = j M i M f dx —j ^
0 E J |
0 |
E J |
^ |
q l 4
( - x) ( - ^ - ) d x —
2 8EJ
Для определения угла поворота сечения посередине балки ис пользуем вспомогательное состояние 2. Тогда:
q x 2 — l —
M F —; M 2 = 0, если 0 < x < —; M 2 = 1,
если — < x < l : 2
l
|
^ г M M F dx |
2 1 |
Л |
. qx2 . , |
|
(P2 =A2F = Z j |
2 / T |
= j — |
0 |
( ^ V ) dx + |
|
|
|
EJ |
0 EJ |
|
2 |
l |
2 |
q x |
|
- 7ql3 |
|
1 |
qx |
|
|
||
+ j — |
1 (-------- ) dx — |
|
|
48EJ |
|
l E J |
2 |
2EJ 3 |
|
||
2 |
|
|
|
|
|
Для этого же примера при вычислении площади эпюры прогибов с помощью вспомогательного состояния 3 (балка нагружена еди ничной равномерно распределенной нагрузкой) получим:
„ , |
qx — |
x- |
M F —- - — , M |
3 —------, |
|
® = A 3F = j —
EJ
1
V
2 V |
„2 |
Л |
q |
2 H |
x |
|
|
q |
|
dx = - |
|
2 V |
2 |
J |
4E J |
l
x5 ql5
5 0 20E J
197
Указанный способ вычисления интегралов Мора может привести к существенным затруднениям, так как для неопределенного инте грала F (x) может получиться или очень сложная формула, или во все ее невозможно получить.
На практике интегралы типа
a f 3(x)
аналитическим способом или с помощью численного интегрирования.
Для случая, |
когда на участке интегрирования стержень имеет |
постоянную жесткость, то есть E J = f (x) = const, а одна из функ |
|
ций f i (x) или |
f 2 (x) является линейной, одним из наиболее рас |
пространенных |
является способ, предложенный А. Верещагиным. |
Поясним его сущность. |
|
|
Построим на участке интегрирования графики |
функций |
|
fl(x ) и |
f2(x) , то есть эпюры изгибающих моментов |
(x) и |
M F (x) |
(рис. 7.18). |
|
а)
б) y
Mi (x)
Рис. 7.18
198
Пусть, например, эпюра M t является прямолинейной (рис. 7.18,б). Точку пересечения оси x , на которой расположен стержень, с наклон ной прямой примем за начало координат. Тогда M t (x) = x t g a , а интеграл Мора преобразуется к виду:
b
Интеграл J x M F d x , по определению, представляет собой ста- a
тический момент площади эпюры M F (рис. 7.18,а) относительно оси у . Он, как известно, равен произведению площади о этой эпюры на расстояние от ее центра тяжести до оси у , то есть:
b
a
Учитывая соотношение xo =у о/ tga , получим:
(7.9)
Таким образом, интеграл Мора вычисляется посредством произ ведения площади криволинейной эпюры на ординату прямолиней ной эпюры, взятую под центром тяжести криволинейной.
Операцию вычисления интегралов по способу Верещагина назы вают иногда “перемножением” эпюр. Положительный знак произ ведения оу0 принимается тогда, когда эпюра M , площадь которой обозначена через о , и ордината у имеют одинаковые знаки, то есть когда они расположены с одной стороны стержня. На практике часто руководствуются более простым правилом: если обе эпюры усилий на некотором участке стержня расположены по одну сторо
199
ну от его оси, то результат “перемножения” их принимается поло жительным, если по разные - отрицательным.
При использовании правила Верещагина сложные по очертанию эпюры усилий следует представлять в виде суммы простых, для ка ждой из которых известны формулы для вычисления площади и положения ее центра тяжести. Примерами таких простых эпюр яв ляются эпюры изгибающих моментов для консольных или одно пролетных балок, нагруженных сосредоточенной силой или равно мерно распределенной нагрузкой (рис. 7.19).
| Я
i
2
(0 = - h i
*< a l 2 3 h = q -
8
2
hi (0 = —
3
8 2
Рис. 7.19
Для получения простых эпюр следует иногда использовать принцип независимости действия сил.
П р и м е р . Определить вертикальное перемещение точки D и угол поворота сечения C балки постоянной жесткости (рис. 7.20,а).
Эпюра изгибающих моментов для балки от заданной нагрузки показана на рис. 7.20,б.
200