Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

Очертания дисков выделены волнистыми линиями. Шарнир в точке С является двукратным.

Л = С0 + 2Ш + 3Ж - 3Д = 7 + 2 • 4 + 3 • 2 - 3 • 5 = 6 .

По формуле (8.3) получим:

Л = 3K - Ш = 3 • 4 - 6 = 6 .

Разбиение рамы (рис. 8.10) на отдельные диски примем таким, как показано на рисунке.

Рис. 8.10

Тогда получим: Д = 6 , Ш = 2, число жестких соединений Ж = 4. По формуле (8.1):

Л = С0 + 2Ш + 3Ж - 3Д = 9 + 2 • 2 + 3 • 4 - 3 • 6 = 7.

По формуле (8.3):

Л= 3K - Ш = 3 • 4 - 5 = 7.

Впредыдущем выражении принято Ш = 2, так как на схеме име­ ются два простых шарнира (каждый из них соединяет только два диска).

Впоследнем выражении Ш = 5, так как дополнительно к двум шарнирам в верхнем контуре учитываются два шарнира в нижнем левом контуре и один шарнир в нижнем правом контуре.

231

Степень статической неопределимости определяет то число до­ полнительных уравнений, которые нужно составить для определе­ ния неизвестных усилий. Этими неизвестными являются усилия в лишних связях.

8.3. Основная система и основные неизвестные

Последовательность операций по раскрытию статической неоп­ ределимости заданной системы сводится к следующему.

В заданной статически неопределимой системе удаляются лиш­ ние связи, а вместо них прикладываются неизвестные силы. Полу­ ченную таким образом систему называют основной системой метода

С целью уменьшения числа неизвестных опытные специалисты применяют иногда и статически неопределимые основные системы. Число неизвестных (n ) в этом случае будет меньше числа лишних связей ( Л ). Такой способ расчета требует дополнительных вычис­ лений для включенных в основную систему статически неопреде­ лимых фрагментов.

В дальнейшем, сопоставляя перемещения заданной и основной сис­ тем, получают уравнения для определения основных неизвестных.

Поясним некоторые особенности выбора основной системы. Прежде всего, отметим, что основная система должна быть геомет­ рически неизменяемой и неподвижной. Для любой статически не­ определимой рамы можно выбрать несколько основных систем. Рассмотрим следующий пример. Степень статической неопредели­ мости рамы, изображенной на рис. 8.11,а, равна трем. Возможные варианты основных систем показаны на рис. 8.11,б-в. На рис. 8.11,б показано, что за основные неизвестные метода сил приняты усилия в опорных связях заданной рамы, а по рис. 8.11,в основными неиз­ вестными являются X 1, X 3 - реакции в опорных связях и X 2 - си­

лы взаимодействия между примыкающими к шарниру стержнями. Системы, показанные на рис. 8.11,г,д, не могут быть выбраны в ка­ честве основных, так как являются мгновенно изменяемыми.

232

Все последующие вычисления в методе сил связаны с основной системой. Поэтому от удачного выбора варианта основной системы будет существенно зависеть трудоемкость расчета. Способы выбора рациональных основных систем изложены в разделе 8.8.

8.4. Канонические уравнения метода сил

Деформации заданной и основной систем будут одинаковыми только в том случае, если перемещения точек приложения основных неизвестных по их направлениям в основной системе будут такими же, как и в заданной системе, то есть равными нулю. Действительно, на­ пример, перемещение по направлению силы Xj или X 3 (рис. 8.11,в) равно нулю, также равен нулю в заданной системе и угол взаимного поворота сечений по направлению неизвестной X 2 (рис. 8.11,в).

Перемещения в основной системе по направлениям основных неизвестных зависят от действующей на систему внешней нагрузки и основных неизвестных, поэтому можно записать, что:

Д1(X1, X 2, - , X n, F )= 0;'

Дn X , X 2, - , Xn, F )= 0._

233

здесь Дi X = 1, • n) - полное перемещение по направлению неиз­ вестной X j , то есть перемещение, вызванное неиз­ вестными X,, X 2, •••, X n и внешней нагрузкой F .

Число n таких уравнений, естественно, соответствует числу ос­ новных неизвестных. Если воспользоваться принципом независи­ мости действия сил, то i -е уравнение из системы (8.4) можно запи­ сать в форме, позволяющей видеть вклад каждого силового фактора

новной неизвестной по ее направлению, вызванные силами X 1, X 2, • - , X n;

Д ^ - перемещение той же точки по тому же направле­ нию, вызванное внешней нагрузкой.

Перемещение по направлению i -й неизвестной, вызываемое си­

где Sik - перемещение по тому же направлению, вызываемое

силой X k = 1.

Учитывая выражения (8.5) и (8.6), систему уравнений (8.4) за­ пишем следующим образом:

Эти уравнения называют каноническими уравнениями метода сил для расчета системы на действие внешней нагрузки. Суть i -го

234

уравнения сводится к тому, что перемещение точки приложения неизвестной X t по ее направлению, вызываемое всеми неизвест­

ными и внешней нагрузкой, равно нулю.

В матрично-векторной форме записи система (8.7) имеет вид:

где:

- матрица коэффициентов при неизвестных в канонических уравнениях (матрица податливости основной системы):

- вектор свободных членов канонических уравнений (вектор грузовых перемещений):

Коэффициенты типа 5ц , то есть расположенные на главной диаго­

нали, называют главными (главные перемещения), а коэффициенты 5 ^ , если i Ф к- побочными (побочные перемещения). Согласно

теореме о взаимности перемещений 5ik = Ski,то есть матрица A

является симметричной.

При расчете статически неопределимой системы на тепловое

воздействие вектор B в уравнении (8.8) имеет вид:

235

где Дit - перемещение точки приложения i -й неизвестной по ее на­

правлению, вызванное изменением температуры стержней.

При расчете системы на смещение связей:

(8.13)

где Д ^ - перемещение i -й неизвестной, вызванное смеще­

нием связей.

8.5. Определение коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

Коэффициенты и свободные члены уравнений вычисляются по правилам определения перемещений, изложенным в главе 7. Для рамных систем, испытывающих преимущественно изгибные дефор­ мации, при неавтоматизированных вычислениях (“ручной” счет) ог­ раничиваются учетом влияния на перемещения только изгибающих моментов. Поэтому 5 ^ и ДF вычисляются по формулам:

ными силами соответственно X i = 1 и X k = 1 ;

M F - изгибающий момент, вызываемый внешней нагрузкой.

Так, например, если для рамы (рис. 8.12,а) принять основную систему по варианту рис. 8.12,б, то при определении перемещения S21 необходимо состояние рамы под действием X 1 = 1 (рис. 8.12,в)

рассматривать как грузовое, а второе, соответствующее действию

236

X 2 = 1 (рис. 8.12,г), - как вспомогательное. Тогда, после построе­

ния эпюр изгибающих моментов (рис. 8.12,е,ж), можно воспользо­ ваться известными способами вычисления интеграла Мора вида:

сz fM 2M 1 dx

1

Перемещение Д ^ (рис. 8.12,д) вычисляется с помощью эпюр

M F (рис. 8.12,з) и M 1 (рис. 8.12,е):

Дц^

237

Матричная форма определения перемещений изложена в раз­ деле 7.10.

Естественно, что значения коэффициентов и свободных членов уравнений получаются более точными, если при их определении учитываются, кроме изгибающих моментов, продольные и попе­ речные силы в элементах рамы.

После определения коэффициентов и свободных членов система канонических уравнений может быть записана в численном виде.

8.6. Построение окончательных эпюр усилий

Решение системы канонических уравнений позволяет найти значе­ ния основных неизвестных. Окончательные усилия (S е {M, Q, N }) в k -м сечении заданной системы, на основании принципа незави­ симости действия сил, вычисляются по выражению:

где SkF - усилие в k -м сечении от действия внешней нагрузки;

Ski - усилие в k -м сечении от X t = 1, i = 1, 2 ,• • •,n .

В соответствии с выражением (8.14) строятся окончательные эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил:

Q = QF + Q1 X 1 + Q2 X 2 + ''' + Qn X n ,

N = N f + N X 1 + N 2 X 2 + - + N n X n .

Построение эпюр Q и N по приведенным выше формулам не всегда удобно. Более простой способ построения эпюры Q основан

на использовании дифференциальной зависимости Q = ----- . dx

238

Чтобы воспользоваться этой зависимостью получим аналитиче­ ское выражение для определения изгибающего момента в сечении стержня рамы. Рассмотрим такой стержень как балку на двух опо­ рах. Предположим, что пролет балки загружен так, как показано на рис. 8.13,а. Оба опорных момента (левый ( л ) и правый (п )) - по­ ложительные.

Рис. 8.13

Построив для этого пролета эпюры моментов от нагружения его пролетной нагрузкой (рис. 8.13,б) и опорными моментами (рис. 8.13,в,г), определим, на основании принципа независимости действия сил, окончательную ординату в сечении k на эпюре M как сумму со­ ставляющих ее:

239

Взяв первую производную от выражения (8.16), получим форму­ лу для определения поперечной силы в том же сечении:

8.7. Алгоритм расчета. Проверка расчета

Процесс расчета статически неопределимых рам методом сил включает следующие операции.

1.Определение степени статической неопределимости системы.

2.Выбор основной системы.

3.Запись в общем виде системы канонических уравнений.

4.Построение эпюр усилий в основной системе от внешней на­ грузки и единичных значений основных неизвестных.

5.Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных членов канонических уравнений.

6.Запись системы канонических уравнений в численном виде и

решение ее.

7.Построение окончательной эпюры изгибающих моментов.

8.Построение эпюр Q и N .

Чтобы не ошибиться в ходе расчета, вычисления на каждом эта­ пе алгоритма следует проверять. Для этого, разумеется, необходимо глубоко понимать суть выполняемых операций и правильно ис­ пользовать знания, накопленные в ходе изучения курса строитель­ ной механики.

Поясним особенности контроля правильности расчета на от­ дельных этапах алгоритма.

Прежде всего, сделаем замечание к вопросу о выборе основной системы. Для всех возможных вариантов основной системы следует выполнить кинематический анализ их в той последовательности, кото­ рая рекомендована в главе 1. Особое внимание надо уделить анализу структуры системы и проверке ее на мгновенную изменяемость.

На этапе построения эпюр усилий в основной системе применя­ ется, как правило, статический метод. Для проверки эпюр наиболее часто используются условия равновесия фрагментов расчетной схемы, в частности, узлов рамы.

240