Учебники / Stroitelnaya_mekhanika

72

-E J Z , + - E J Z 2 - 15 = 0;

Естественно, что окончательная эпюра моментов будет такой же, как и на рис. 11.2,ж.

Отметим следующее. Удаление дополнительной связи в основной системе (рис. 11.7,а) позволило перейти от системы уравнений (11.2) к системе (11.3). Этот переход можно было осуществить и без рас­ чета балки как дважды кинематически неопределимой системы.

Применим для решения системы уравнений (11.2) жордановы исключения (способ Гаусса). Коэффициенты и свободные члены системы (11.2) запишем в форме табл. 11.1 (множители E J перед неизвестными Z i в таблицу не внесены) и сделаем один шаг обык­ новенных жордановых исключений, принимая за разрешающий эле­ мент коэффициент Г33.

351

Переход от табл. 11.1 к табл. 11.2 производится по следую­ щим правилам.

личиной.

2.Остальные элементы разрешающего столбца (s ) делятся на разрешающий элемент.

3.Остальные элементы разрешающей строки (r ) делятся на

разрешающий элемент и меняют знаки.

4. Прочие элементы вычисляются по формуле

при i Ф r , j Ф s (по правилу прямоугольника).

В табл. 11.2 представлена запись коэффициентов и свободных членов системы уравнений (11.3). Нулевой столбец можно было не записывать в таблицу. Из этой же таблицы следует, что:

E J Z 3 = - 1 E J Z 2 - — .

3 2 2 2

П р и м е р 3. Показать расчет балки (рис. 11.2,а) смешанным методом.

Существует множество вариантов основных систем смешанного метода. Некоторые из них изображены на рис. 11.10. Для демонст­ рации особенностей смешанного метода выберем основную систе­ му, показанную на рис. 11.11,а.

Единичные и грузовая эпюры изгибающих моментов приведены на рис. 11.11,б—д.

352

Система канонических уравнений для принятых основных неиз­ вестных имеет вид:

Su X 1 + 812 X 2 + ^13Z3 + A1f = 0;

*21X 1 + 822X 2 + 823Z3 + А2F = 0;

r31 X 1 + r32 X 2 + r33 Z3 + R3F = °.

Свободные члены первого и второго уравнений определим, как и в методе сил, посредством “перемножения” эпюр моментов:

Так как rik = - 8 ki, то r32 = 0,5 , а 823 = -0,5 .

Определение других коэффициентов при неизвестных произво­ дится по правилам, изложенным в главах 8, 9.

В численной форме записи канонические уравнения имеют вид:

354

Окончательная эпюра моментов, построенная по выражению:

M.M= M F + M.M1X 1 + M.M2X 2+ M.M3Z3,

Рис. 11.12

355

Расчет балки на смещение опор выполняется методами, рассмот­ ренными ранее. Покажем решение методом сил.

Пусть основная система будет такой, как показана на рис. 11.12,б. Свободные члены каноническихуравнений определим по формуле (7.13). Используя распределение реакций в опорных связях (рис. 11.12,в-д), найдем:

1 С2 + 1 С3 = - 0,0 1 . 3 6

Коэффициенты при неизвестных имеют те же значения, что и в примере 1.

Запишем канонические уравнения для расчета на заданные сме­ щения опор:

Решив их, получим

X 1 = -5,5 • 10-3E J кН-м;X 2 = -4,0 • 10-3E J кН-м;

X 3 = 6,0 • 10-3 E J кН-м.

Эпюра M изображена на рис. 11.12,е.

356

11.3. Построение линий влияния усилий

Для построения линий влияния усилий статическим методом (см. раз­ делы 8.11, 9.11) необходимо, в общем случае, выполнить расчет неразрез­ ной балки на действие силы F = 1, приложенной в ряде характерных точек каждого пролета, и составить матрицу влияния усилий L$ . По зна­

чениям элементов i -й строки можно построить линию влияния S t .

Рассчитаем балку (рис. 11.13,а) на действие единичной силы в обозначенных на рисунке сечениях и по результатам расчета по­ строим линии влияния усилий.

Форма линии влияния на протяжении каждого пролета, как правило, определяется значениями ее ординат в трех промежуточных сечениях. Например, для построения л.вл. M c (рис. 11.13,б) или л. вл. M 5

(рис. 11.13,в) достаточно найти соответствующие моменты при положе­ ниях силы F = 1 в сечениях, делящих пролет на четыре части.

Некоторые особенности очертания линии влияния изгибающих моментов возникают при построении их для сечений, расположен­ ных вблизи опор. Так, при построении линии влияния момента для сечения K 2 (рис. 11.13,г) оказывается, что сила F = 1, расположен­ ная правее второго пролета, не вызывает в этом сечении изгибающе­ го момента (точку K 2 называют левым фокусом второго пролета).

Если же некоторое сечение K 1 будет расположено между точ­ ками B и K 2 , то линия влияния изгибающего момента в этом про­ лете будет двузначной (рис. 11.13,д). Поэтому, во избежание оши­ бок, в пролете, к которому относится исследуемое усилие, число пробных установок силы F = 1 следует принимать увеличенным.

Известно, что форма линии влияния, в соответствии с кинематиче­ ским методом (см. раздел 8.11), подобна эпюре перемещений балки, вызываемой смещением соответствующей связи по ее направлению на единицу. Например, чтобы получить очертание л.вл. Q5 (рис. 11.13,е)

необходимо торцы балок, примыкающие к пятому сечению, раз­ двинуть по вертикали на длину, равную единице, так, чтобы они оставались параллельными один другому. Численные же значения ординат линии влияния удобно вычислять статическим методом.

357

Для установления формы л.вл. VB (рис. 11.13,ж) необходимо в

балке удалить опорную связь в точке B и дать ей единичное пере­ мещение по направлению удаленной связи. Положение изогнутой оси балки будет соответствовать очертанию искомой линии влия­ ния. Ординаты линии влияния определены статическим методом.

11.4. Огибающие эпюры усилий

Неразрезные балки, как и большинство других конструкций, за­ гружаются как постоянной нагрузкой, так и временной, характер действия которой, в общем случае, оказывается достаточно произ­ вольным: она может быть во всех пролетах балки или только в неко­ торых из них. Экстремальные усилия в сечениях балки определяются с помощью невыгодных загружений линий влияния (см. главу 3). Однако такой способ нахождения их при отмеченном характере дей­ ствия временной нагрузки является достаточно сложным и, к тому же, не дает наглядного представления о распределении максималь­ ных и минимальных усилий по длине балки.

Более просто задача об определении экстремальных усилий ре­ шается с помощью огибающих эпюр усилий. Рассмотрим задачу построения огибающих эпюр изгибающих моментов в неразрезной балке, загруженной постоянной (рис. 11.14,а) и временной нагруз­ ками (рис. 11.14,б). На рис. 11.14,в показана эпюра моментов от по­ стоянной нагрузки, на рис. 11.14,г-ж - от последовательного загружения каждого пролета временной нагрузкой.

Максимальный и минимальный изгибающие моменты в сечени­ ях балки определим по выражениям:

max М = Мпост + S M в+р ; min M = M пост + Z M вр ,

где M пост - изгибающий момент от постоянной нагрузки в

данном сечении;

M +р - изгибающие моменты от временных нагрузок, вызы­

вающие в этом сечении положительный момент;

M вр - изгибающие моменты от временных нагрузок, вызы­

вающие в этом сечении отрицательный момент.

359

,1 0 к H / м

а)

i 10 11 12 _lЩIШ14 15 16

l. 6м I. 6м_____ J,

Рис. 11.14

360